分式的概念与基本性质

1、分式的概念当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式整式与分式统称为有理式在理解分式的概念时，注意以下三点：分式的分母中必然含有字母；分式的分母的值不为0；分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开分式有意义的条件两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义 如：分式，当时，分式有意义；当时，分式无意义分式的值为零分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于

2、0的整式，分式的值不变上述性质用公式可表示为：，()注意：在运用分式的基本性质时，基于的前提是；强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式；分式的基本性质是约分和通分的理论依据一、分式的基本概念【例1】 在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？，【考点】分式的基本概念【解析】根据分式的概念可知，分式的分母中必然含有字母，由此可知，为分式 ，为整式注意：中分母中的是一个常数，因此它不是分式，分式的概念是针对原式的，尽管原式化简后可以是整式的形式，但原式仍是分式.【答案】，为分式，为整式【例2】 代数式中分式有（ ）A.1个 B.1个 C.1个 D.1个【考点】分式的基本概

3、念【解析】分母中含有字母的式子是分式，所以上式中分式有.选【答案】选二、分式有意义的条件【例3】 求下列分式有意义的条件：【考点】分式有意义的条件【解析】分式有意义的条件是；分式有意义的条件是，即；分式有意义的条件是，即，；分式有意义的条件是，即为任何实数；分式有意义的条件是，故或者；分式有意义的条件是，即且；当我们求使分式有意义的字母的取值范围时，同样要看原式，而不是化简之后的结果.分式有意义的条件是，即【答案】；为任何实数；故或者；且；即【例4】 要使分式有意义，则须满足的条件为 【考点】分式有意义的条件【解析】x-30【答案】【例5】 为何值时，分式有意义？要使分式没有意义，求的值.【考

4、点】分式有意义的条件【解析】且，则且根据题意可得或，所以或【答案】（1）且（2）或【例6】 为何值时，分式有意义？【考点】分式有意义的条件【解析】根据题意可得：，解得且【答案】且【例7】 为何值时，分式有意义？【考点】分式有意义的条件【解析】且，则，且，且，【答案】则，且，且【例8】 若分式有意义，则 ；若分式无意义，则 ；【考点】分式有意义的条件【解析】分式有意义，根据题意可得：，解得且;分式无意义，根据题意可得：或,即或;【答案】（1）且；（2）或【例9】 若有意义，则( ).A. 无意义 B. 有意义 C. 值为0 D. 以上答案都不对【考点】分式有意义的条件【解析】 有意义的条件为,

5、. 同理有意义的条件为. 所以有意义，不一定有意义，应选D.【答案】D【例10】 为何值时，分式有意义？【考点】分式有意义的条件【解析】根据题意可得：，解得且;【答案】且【例11】 若分式有意义，则 ; 若分式无意义，则 ;【考点】分式有意义的条件【解析】 若分式有意义，则且且; 若分式无意义，则或或;【答案】（1）且且；（2）或或三、分式值为零的条件【例12】 当为何值时，下列分式的值为0？【考点】分式值为零的条件【解析】，此时分母不为0，故当时，原式的值为0；或者，但当时，分母为0，故时，原式的值为0；由，又，故；由可知，无论为何值，分式的值都不为0；由或者，又，故；由，又且，故【答案】时

6、；无论为何值，分式的值都不为0；【巩固】当为何值时，下列分式的值为？ 【考点】分式值为零的条件【解析】根据题意可得：，则根据题意可得：，则，所以根据题意可得：，则根据题意可得：，则根据题意可得：，则根据题意可得：，则根据题意可得：，则【答案】；【例13】 若分式的值为0，则的值为 【考点】分式值为零的条件【关键词】2010年，昌平一模【解析】【答案】【巩固】若的值为0，则 .【考点】分式值为零的条件【解析】根据题意可得： ，即且.【答案】且.【巩固】若分式的值为0，则x的值为 【考点】分式值为零的条件【关键词】2010年，朝阳一模【解析】【答案】【巩固】若分式的值为0，则x的值为 【考点】分式

7、值为零的条件【关键词】2010年，房山二模【解析】0【答案】0【例14】 如果分式的值是零，那么的取值是 【考点】分式值为零的条件【关键词】2010年，石景山二模【解析】2【答案】2【巩固】若分式的值不为零，求的取值范围【考点】分式值为零的条件【解析】当时，原分式的值不为零由得：且由得：若原分式的值不等于零，的取值范围是且且【答案】且且【例15】 为何值时，分式分式值为零？【考点】分式值为零的条件【解析】若分式值为零，.【答案】【巩固】为何值时，分式值为零？【考点】分式值为零的条件【解析】根据题意可得，解得，若问此分式何时无意义，则或或.【答案】或或【巩固】若分式的值为0，则 .【考点】分式值

8、为零的条件【解析】，根据题意可得： ，所以.【答案】【巩固】 若分式，则 .【考点】分式值为零的条件【解析】分式值为零，根据题意可得：，解得.【答案】四、分式的基本性质【例16】 填空：（1） （2）（3） （4）【考点】分式的性质【答案】（1）；（2）；（3）；(4)【例17】 若，的值扩大为原来的倍，下列分式的值如何变化？【考点】分式的性质【解析】，不发生变化，是原来的倍，是原来的倍【答案】不发生变化是原来的倍是原来的倍【巩固】把下列分式中的字母和都扩大为原来的5倍，分式的值有什么变化？（1） （2）【考点】分式的性质【解析】（1）扩大5倍后的分式为。因此分式值不变。（2）扩大5倍后的分式

9、为，因此分式值为原来的。【答案】（1）分式值不变。（2）分式值为原来的【例18】 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数【考点】分式的性质【解析】【答案】【巩固】不改变分式的值，把下列各式分子与分母的各项系数都化为整数。（1）； （2）【考点】分式的性质【解析】（1）原式（2）原式【答案】（1）（2）【例19】 不改变分式值，使下列各式分子与分母中的最高次数项的系数为正数：（1）； （2）【考点】分式的性质【解析】（1）原式（2）原式【答案】（1）（2）【例20】 求下列各组分式的最简公分母，【考点】分式的性质【关键词】最简公分母【答案】；【例21】 通分：， ，【考点】分

10、式的性质【关键词】通分【答案】；先分解因式，而后找公分母为，先分解因式，而后找公分母为，【例22】 下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式。（1） （2） （3）； （4）【考点】分式的性质【关键词】最简分式【解析】分式的分子和分母中没有公因式的分式是最简分式。因此最简分式是（3）和（4）。（1）和（2）分别化简得和【答案】最简分式是（3）和（4）。（1）和（2）分别化简得和【巩固】以下分式化简：；。其中错误的有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【考点】分式的性质【关键词】约分【解析】约分是约去分子和分母中的公因式，而不是分子与分母中的部分因式或多项式式中的某些项，故、错误。而式中约分应得，所以选D。【答