计量基础知识概率和术语-不确定度基础知识

1、1,不确定度评定基础知识,计量基础知识,2,第一章概率统计的基本知识,第一节基本概念 一、概率论和数理统计：研究大量随机现象的统计规律性的数学学科。 二、事件：观测或试验的一种结果。 与测量结果相关联的不确定度是事件，相应的每个误差也是事件。 确定性事件 不确定性事件,3,第一章概率统计的基本知识,第一节基本概念 概率论和数理统计就是从两个不同的侧面来研究不确定事件的统计规律性。 在概率统计中，把事件区分为最典型的三种情况： 必然事件、不可能事件、随机事件。 三、随机变量：如果某一量（例如测量结果）在一定条件下，取某一值或在某一范围内取值是一个随机事件，则这样的量叫随机变量。即随机变量是用来表

2、示随机现象结果的变量。测量结果及其不确定度均为随机变量。,4,第一章概率统计的基本知识,第一节基本概念 随机变量根据其取值的特征可分为两种： 连续型随机变量：随机变量X可在坐标轴上某一区间内取任一数值，即取值布满区间或整个实数轴。如重复测量中所得的一组观测值属于连续型随机变量。 离散型随机变量：随机变量X的取值可离散地排列为x1，x2，即只取有限个或可数个实数。例如在取有效数字的位数时，数字的舍入误差属于离散型随机变量。,5,第一章概率统计的基本知识,第一节基本概念 四、事件的概率 在n次独立的连续试验中，事件A发生了m次，m称为事件的频数， m /n称为相对频数或频率。当n极大时频率 m /

3、n稳定地趋于某一个常数，此常数称为事件A的概率，记为P(A)= p 。 概率p是用以度量随机事件A在试验中出现可能性大小的数值。 0P(A) 1 测量值X落在x0到 x0+ x区间的概率可表示为 P(x0 x x0 + x) 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0,6,第一章概率统计的基本知识,第一节基本概念 五、概率的一些重要性质 p()=0 若A1 ，A2， ，An是两两不相容事件，则P(A1 A2 An) =P(A1)+P(A2)+ +P (An) 设A、B是两个事件，若AB，则P(B-A)=P(B)-P(A)；对于任一事件A ， P(A) 1 对于任一事件A ， 对于任意两事件A、B

4、，有 P(A B) = P(A) + P(B)- P(A B),7,第一章概率统计的基本知识,第一节基本概念 五、概率的一些重要性质 例如: 加工某零件100件，要求尺寸在(1000.01)mm，加工后发现尺寸小于99.99的零件有2件，尺寸大于100.01的零件有3件，则尺寸超差的概率为： P(A)=2%+3%=5%,8,第一章概率统计的基本知识,第一节基本概念 六、概率分布 （随机变量的）概率分布定义：一个随机变量取任何给定值或属于某一给定值集时的概率随取值变化的函数。 测量结果的值和 该值出现的概率之间 的对应关系称为测量 结果的概率分布。,9,第一章概率统计的基本知识,第一节基本概念

5、六、概率分布 离散型随机变量的概率分布： 设离散型随机变量X所有可能取的值为xi(i=1,2, )， X取所有可能值的概率，即事件X= xi的概率为P X= xi= pi ，则由概率的定义可知： pi0，且 P X= xi= pi (i=1,2, )为离散型随机变量X的概率分布或分布率。离散型随机变量的概率分布可用表格形式表示。,10,第一章概率统计的基本知识,第一节基本概念 连续型随机变量的概率分布 设X是一随机变量，x为任意实数，函数F(x)=PX xi称为X的分布函数。对于任意实数x1、x2(x1x2)，有 Px1 X x2 = PX x2 - PX x1 =F(x2)- F(x1),1

6、1,第一章概率统计的基本知识,第一节基本概念 七、分布函数F(x)的基本性质 若F(x)是一个不减函数，则 F(x2)- F(x1)= Px1 X x2 0 ，x1x2 若0 F(x) 1，则 若 F(x+0)= F(x)，则F(x)是右连续,12,第一章概率统计的基本知识,第一节基本概念 八、概率密度函数 概率分布函数的导数即为概率密度函数，用f(x)或p(x)表示 若已知概率密度函数，则测量值落在(x0 , x0+x)区间内的概率为：,13,第一章概率统计的基本知识,第一节基本概念 八、概率密度函数 P=0.9表明该区间包含了概率密度分布曲线下面积的90%，即测量值在该区间的置信度为0.9

7、 ，所以P 又称为置信概率或置信水平，该区间称为置信区间。 置信限：置信区间的界限。半宽度：置信区间的上限与下限之差的一半。（a） 置信因子：当a用k倍标准偏差表示时， k称为置信因子。,14,第一章概率统计的基本知识,第一节基本概念 概率密度函数的性质 f(x) 0， 假设x1x2，则 若f(x)在x点处连续，则,15,第二节期望、方差和标准偏差,一、期望 1、定义：无穷多次测量的算术平均值的极限，在统计学中把期望称为总体均值或均值。 常把X量期望用E(X)表示 测量值X的期望是无穷多次测量的测量值xi与其相应概率pi的乘积之和，即以概率加权的算术平均值。 当已知概率密度函数时，期望可写为：

8、,16,第二节期望、方差和标准偏差,2、数学期望的运算法则 (1) 常数c的期望等于常数本身，E(c) =c (2) 设X为一随机变量，c为一常数，则E(cX)=cE(X) (3) 设X、Y为两个独立的随机变量，则E(XY)=E(X) E(Y) (4) 设X1，X2.Xn为任意的随机变量， a1，a2， an是任意常数，则,17,第二节期望、方差和标准偏差,二、方差 1、定义： 无穷多次测量的测量值与其期望之差平方的算术平均值的极限. 或者说：方差就是测量的随机误差（测量值-期望）平方的数学期望. 测量值平方的期望减去期望的平方. 如果已知概率密度函数，则,18,第二节期望、方差和标准偏差,2

9、、方差的运算法则 (1) (2) 常数的方差为零 D(c) =0 (3) 设X为一随机变量，c为一常数，则D(cX)=c2D(X) (4) 设X、Y为两个独立的随机变量，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y) (5) 设X、Y为任意两个随机变量，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2XY, XY=E(x-X)(y-y)称为随机变量的协方差，它描述了两个变量相互依赖的程度。,19,第二节期望、方差和标准偏差,三、标准偏差 方差的正平方根，用来表征测量值的分散程度。 小表明测量值比较集中， 大表明测量值比较分散。 表征测量设备的重复性和复现性，因为它是在无穷多次测量情况下定义的，所以又称总体偏差。

10、,20,第二节期望、方差和标准偏差,四、算术平均值与实验标准偏差 1、算术平均值是期望的最佳估计值 算术平均值定义：值的总和除以值的个数。 通常在测量时，用算术平均值作为测量结果，它是期望的无偏估值。,21,第二节期望、方差和标准偏差,2、实验标准偏差是总体标准偏差的估计值 实验标准偏差的估值方法： 贝赛尔公式法 残差 n-1=为自由度。计算残差平方和时具有独立项的个数。即总和中的项数减去其受约束的条件。当待测量为t个，测量次数为n，约束条件为r个时，自由度为n-t-r。,22,第二节期望、方差和标准偏差,2、实验标准偏差是总体标准偏差的估计值 极差法 较差法（阿仑方差）,23,第二节期望、方

11、差和标准偏差,例：对某量测量9次，测得数据为：1225、1258、1258、1253、1252、1252、1256、1189、1240 贝赛尔公式法： 极差法,自由度为=8,自由度为=6.8,24,第二节期望、方差和标准偏差,3、算术平均值的实验标准偏差 4、实验标准偏差的标准偏差 当测量次数n=6时，相对标准偏差估计值约为31.6% 当测量次数n=9时，相对标准偏差估计值约为1/4，即25%。 当测量次数n=19时，相对标准偏差估计值约为1/6，即16.7%。,25,第二节期望、方差和标准偏差,五、协方差和相关系数 1、相关与独立的概念 相关：两个随机变量X、Y，如果其中一个量的变化会导致另

12、一个量的变化，就说X、Y这两个量是相关的。 独立：如果两个随机变量的联合概率分布是他们两个概率分布的乘积，则这两个随机变量是统计独立的。 注意：如果两个随机变量是独立的，则肯定不相关，但反之不一定成立。,26,第二节期望、方差和标准偏差,五、协方差和相关系数 2、协方差 两个随机变量X、Y的协方差定义为各自随机误差之积的期望。 Cov(X,Y)=E(x-x)(y-y) 协方差是两个随机变量相关性的一种度量，协方差为零表示不相关。 在有限次测量时，协方差的估计值为,27,第二节期望、方差和标准偏差,五、协方差和相关系数 3、相关系数 两个随机变量的协方差与他们的标准偏差乘积之比，即 相关系数估计

13、值,28,第三节 常用的概率分布,一、正态分布（高斯分布） 曲线与x轴所围面积为1； 为形状参数， 为位置参数； 如=1， =0，标准正态分布。 特点： 对称性 单峰性 渐进线 有拐点,29,第三节 常用的概率分布,一、正态分布,30,第三节 常用的概率分布,一、正态分布,31,第三节 常用的概率分布,一、正态分布 正态分布时测量值落在k 区间内的概率,32,第三节 常用的概率分布,2、均匀分布 数学期望： 标准偏差： 设区间半宽度为a，则,33,第三节 常用的概率分布,2、均匀分布 设区间半宽度为a，则 （ P=100% ,U100= a ） 如果 P=95% , U95=0.95a, k=

14、1.65,34,第三节 常用的概率分布,3、三角分布 标准偏差（区间半宽度为a） ： 如果 P=95% , U95=0.7764a , k=1.9,35,第三节 常用的概率分布,4、梯形分布 当 =0时，为三角分布；当 =1时，为均匀分布,36,第三节 常用的概率分布,5、反正弦分布 标准偏差 （区间半宽度为a）,37,第三节 常用的概率分布,6、t分布 t 分布又称学生分布，是连续型随机变量t 的概率分布。在概率中它表征对样本中所取子样的分布，或称抽样分布。如果无穷多次测量的整体分布是正态分布，那么t分布就是描述其有限次测量的分布。 有限次测量时算术平均值与其期望之差与算术平均值的标准偏差之

15、比,38,第三节 常用的概率分布,6、t分布 其中： 为 函数， 为分布的自由度，当 时，t 分布 正态分布 通常我们所说的1 （k=1）和3 （k=3）所对应的置信概率为68.27%和99.73%指的是正态分布，即自由度为无穷大，在有限次测量的情况下，应为t 分布.,39,第二章计量学通用术语及概念,第一节 基本术语 1、测量 以确定量值为目的的一组操作。 量值： 一般由一个数乘测量单位所表示的特定量的大小。 例如:某信号的频率为100kHz 某棒的长度为3.45m,40,第二章计量学通用术语及概念,第一节 基本术语 测量的分类： 按测量方法不同分为直接测量、间接测量； 按测量状态不同分为静

16、态测量和动态测量； 按操作方式不同分为手动测量和自动测量； 按测量场所不同分为现场测量、在线测量和远距离测量； 按测量器具是否接触测量对象分：接触测量和不接触测量。,41,第二章计量学通用术语及概念,第一节 基本术语 2、校准 定义：在规定条件下，为确定测量仪器或测量系统所指示的量值，或实物量具、标准物质所代表的量值，与对应的由测量标准所复现的量值之间关系的一组操作。 （在规定的条件下，为确定计量器具示值误差的一组操作。） 校准结果有下列三种形式： 1、给出校准值，如10 的标准电阻，其校准值为9.9 。 2、给出修正值（校准值-标称值），如10 的标准电阻，其修正值为-0.1 。 3、给出校

17、准曲线。 证书、校准结果的不确定度。,42,第二章计量学通用术语及概念,第一节 基本术语 3、检定 定义：由法定计量技术机构确定与证实测量器具是否完全满足要求而做的全部工作。 (为评定计量器具的计量特性，确定其是否符合法定要求所进行的全面工作） 注：也可称为计量检定 4. 测量 定义：以确定被测对象量值为目的的全面操作。 5、测试 定义：对给定的产品、材料、设备、生物体等，按照规定的程序确定一种或多种特性的技术操作。 （具有试验性质的测量。）注：测试也可以理解为测量和实验的综合。 出据“测试报告”。,43,第二章计量学通用术语及概念,44,检定、校准、测试比较,45,第二章计量学通用术语及概念

18、,5、计量确认 定义：保证测量设备满足预期使用要求所需的一组操作。 目的：保证设备的计量特性能满足使用要求 包括两方面工作： 确定测量设备的计量特性，如测量参数、范围、不确定度、最大允许误差极限、分辨力、稳定性等 确认测量设备是否满足预期使用要求,46,第二章计量学通用术语及概念,5、计量确认 内容：对测量设备进行检定或校准，必要时进行调整或修理，以及修理后的再校准或再检定。然后将这些测量设备与使用要求相比较，满足使用要求的予以计量确认，贴相应计量确认标记。,47,第二章计量学通用术语及概念,5、计量确认 计量确认间隔 根据测量设备技术指标、使用条件、变化趋势、使用要求等 间隔调整方法 自动调

19、整或阶段调整 控制图法 倒计时法,48,第二章计量学通用术语及概念,测量过程控制体系 测量设备的计量确认 测量过程控制 测量过程 一组相互关联的与实施测量有关的资源、活动和影响量。 资源：测量人员、程序、设备、方法等 影响量：由环境条件引起的对测量结果有影响的各种因素。,49,第二章计量学通用术语及概念,测量过程 输入：被测件、测量设备、人员等 输出：校准证书或报告 用测量结果的不确定度是否符合预先规定的要求来衡量测量过程的质量,50,第二章计量学通用术语及概念,测量过程控制,51,第二章计量学通用术语及概念,6、比对 在规定条件下,对相同准确度等级的同种测量标准或测量器具之间的量值进行比较

20、7. 能力测试(能力验证) 用来考核实验室的校准和测试所能达到的能力和水平所组织的实验室间的比对测试,52,第二节测量设备和测量标准,一、测量设备,进行测量所需的测量器具、测量标准、标准物质、辅助设备及其技术资料的总称。它包括测量器具、实物量具、测量仪器和测量传感器等。,53,第二节测量设备和测量标准,1、测量器具 单独地或者连同辅助设备一起用来进行测量的装置，包括实物量具和测量仪器。 2、实物量具 具有固定形态，用来复现或提供给定量的一个或多个已知值的测量器具。如：砝码、量块、标准电池、千分尺、卡尺等 测量仪器 将被测量值转换成可直接观察的示值或等效信息的测量器具。 如：电流表、压力表、干涉

21、仪、天平等 测量传感器 提供与输入量有确定关系的器件。如：热电偶、力传感器等 计量装置 为确定被测量值所必须的计量器具和辅助设备的总称。 如：光学高温计检定装置、晶体管图示仪校准装置。,54,第二节测量设备和测量标准,2、（测量）标准 定义：为了定义、实现、保存或复现量的单位或一个、多个量值，用作参考的实物量具、测量仪器、参考物质或测量系统。 国际测量标准 国际协议承认的，作为国际上对有关量的其他测量标准定值依据的测量标准。 国家测量标准 国家承认的，作为国家对有关量的其他测量标准定值依据的测量标准。 主标准 具有最高计量特性的，其量值的确定不必参照相同量的其他标准的，被指定的或普遍承认的标准

22、。 副标准 通过与相同量的主标准比对而定值的标准。 国防最高测量标准 国防系统中具有最高计量特性的，并经授权在国防系统中进行量值传递的测量标准。 参照标准 在指定地区或组织内通常具有最高计量特性的，并在该地区或组织内进行量值传递的测量标准。 工作标准 用于日常校准（检定）或核查实物量具、测量仪器或标准物质的标准。 传递标准 （用作媒介物以比较测量标准的标准。） 核查标准 用来控制测量过程建立数据库且被过程所测量的测量设备、产品或其他物质。,55,第三节 描述测量结果的术语,一、 测量误差 定义：测量结果减去被测量的真值。 =X-X0 绝对误差 x = x-x0 相对误差x=x/x0 测量误差按

23、其性质分为： 随机误差 系统误差,56,第三节 描述测量结果的术语,1、随机误差 在同一量的多次测量过程中，每个测得值的误差以不可预知方式变化，就整体而言却服从一定统计规律。 随机误差具有抵偿性 测量结果减去在重复条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值。=X-,57,第三节 描述测量结果的术语,2、系统误差 在同一量的多次测量过程中，对每个测得值的误差保持恒定或以可预知方式变化。 按其呈现特性,可分为常值系统误差和变值系统误差 在重复条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减去被测量的真值。 = -X0,58,第三节 描述测量结果的术语,2、系统误差 由上述定义可知： 误差 =

24、测量结果 - 真值 = 测量结果 总体均值 + 总体均值 - 真值 = 随机误差+系统误差,59,第三节 描述测量结果的术语,3、测量准确度 定义：测量结果与被测量值之间的一致程度。 准确度是一个定性概念 正确使用准确度 不要用精密度表示准确度 仪器说明书指标中规定的准确度指的是该仪器最大允许误差 精密度：在规定条件下获得的各个独立测量值之间的一致程度。,60,第三节 描述测量结果的术语,4、修正值 以代数法相加于未修正测量结果，用于补偿系统误差的值。 测量结果的修正值= - 系统误差估计值 5、测量结果的重复性 在相同测量条件下，对同一被测量连续进行多次测量所得结果之间的的一致性。 重复性用

25、测量结果的分散性定量表示，即由测量结果的实验标准偏差表示。,61,第三节 描述测量结果的术语,6、测量结果的复现性 在变化的测量条件下，同一被测量的测量结果之间的一致性。 复现性由各测量结果的实验标准偏差表示，即组间标准偏差表示。 7、测量不确定度 定义：与测量结果相关联的参数，表征合理赋予被测量值的分散性。,62,第三节 描述测量结果的术语,7、测量不确定度 与测量结果相关联的参数，意指测量不确定度是一个与测量结果在一起的参数，在测量结果的完整表述中应该包括测量不确定度。所以仪器本身没有不确定度，只有用仪器得到的测量结果才有不确定度。 测量结果表示的是测量值的分散性，因此不确定度是个区间，表

26、示测量结果以某概率分布于此区间。 测量不确定度是测量者赋予测量结果的，因此测量不确定度与人的经验及知识水平有关。,63,第三节 描述测量结果的术语,7、测量不确定度 定义中的“合理”是指应该考虑各种因素对测量的影响所作的修正，特别是测量应处于统计控制过程中。即测量应在重复性条件或复现性条件下进行。 为了表征这种分散性，测量不确定度用标准偏差来表示。在实际使用中，往往希望知道测量结果的置信区间，因此测量不确定度也可用标准偏差的倍数或者用说明了置信水平的区间的半宽度来表示，分别称其为标准不确定度和扩展不确定度。,64,第三节 描述测量结果的术语,7、测量不确定度 标准不确定度：用标准偏差表示的测量

27、不确定度，用u表示。 合成标准不确定度：由各个不确定度分量合成得到的标准不确定度，用uc 表示。 扩展不确定度：用标准偏差的倍数或说明了置信水平的区间半宽度表示的测量不确定度，用U表示。,65,测量不确定度与误差的主要区别,66,第三节 描述测量结果的术语,8、标准不确定度分量的评定方法： 分为A类评定方法和B类评定方法 A类标准不确定度：用对测量样本统计分析进行不确定度评定的方法称为不确定度的A类评定，用A类评定方法得到的标准不确定度称A类标准不确定度。用实验标准偏差表征。 B类标准不确定度：用不同于测量样本统计分析的其他方法进行不确定度评定的方法称不确定度的B类评定。,67,第三节 描述测

28、量结果的术语,小结：关于误差和测量不确定度 1、误差和测量不确定度是两个完全不同而又相互有联系的概念，它们相互之间并不排斥，相反它们是误差理论的进一步发展； 2、误差和测量不确定度的概念是不同的，因此不能混用和误用。应该根据误差和不确定度的定义来加以判断，该用误差的地方就用误差，该用不确定度的地方就用不确定度； 3、误差仅与测量结果及被测量的真值（或约定真值）有关。对同一被测量，不管测量仪器、测量方法、测量条件如何，相同测量结果的误差是相同的；,68,第三节 描述测量结果的术语,小结：关于误差和测量不确定度 4、在重复条件下进行多次重复测量，得到的测量结果一般是不同的，因此它们的测量误差也是不

29、同的； 5、测量不确定度和测量仪器、测量方法、测量条件有关，而与测量结果无关。在重复条件下进行测量时，不同测量结果的不确定度是相同的，但它们的误差肯定是不同的； 6、知道了测量误差后，可以对测量结果进行修正，得到已修正的测量结果，而不确定度是不能用来对测量结果进行修正的；,69,第三节 描述测量结果的术语,小结：关于误差和测量不确定度 7、仪器没有不确定度，因为没有对仪器不确定度下过定义。但仪器的示值误差或最大允许误差与用仪器得到的测量结果的不确定度有关； 8、若仪器经过校准而已知其示值误差，则有时将该示值误差的不确定度称为仪器的不确定度；若仪器未经过校准，则仪器的最大允许误差就可作为评定该仪

30、器在测量中所引入的不确定度分量的依据。在已知分布的情况下，可以由最大允许误差得到该不确定度分量的标准不确定度。,70,第三节 描述测量结果的术语,小结：关于误差、偏差和修正值 误差：测量结果减去被测量的真值 偏差：一个值减去其参考值 修正值：以代数法相加于未修正测量结果，用于补偿系统误差的值 误差= - 偏差 误差= - 修正值 偏差= 修正值,71,实物量具和测量仪器误差和偏差,72,第四节描述测量器具计量特性的术语,1、测量范围 定义：测量器具的误差处在规定极限范围内的一组被测量，又称“工作范围”。 注意：测量范围、标称范围、量程的区别 标称范围是可得到的示值范围，量程是标称范围两极限之差

31、。 某电压表的示值范围为-10V10V，而在-5V5V范围内满足0.01%的指标，则其测量范围为-5V5V ，标称范围为-10V10V，量程是20V。,73,第四节描述测量器具计量特性的术语,2 、测量器具的最大允许误差 定义：技术规范、规程中规定的测量器具的允许误差极限值。 有时也称测量仪器的允许误差限。 它是由规范或仪器生产厂规定的不得超过的误差限，一般有上限和下限，在大多数情况下，为对称限。,74,第四节描述测量器具计量特性的术语,最大允许误差的表示形式 （1）以绝对误差形式表示: =a 最大允许误差限不随示值而变； 注意应有数值和测量单位。 例如：精密玻璃水银温度计，测量范围为050C

32、 ，最大允许误差为0.2 C 。 即如果测量30 C , 则允许范围为29.8 C 30.2C 。,75,第四节描述测量器具计量特性的术语,最大允许误差的表示形式 （2）以相对误差形式表示 = /x100% 其中：x为测量仪器的示值或实物量具的标称值。 最大允许误差限随示值而变； 没有测量单位。 例如：标称值为1M的电阻，注明允许误差限为 1%，则该电阻的允许误差上限为10k ，下限为 -10k ,76,第四节描述测量器具计量特性的术语,最大允许误差的表示形式 （3）以引用误差形式表示: = /xN 100% xN为引用值（特定值），通常是量程上限，或满刻度值。 引用误差不随示值而变，但与量程有关 例如:0.25级弹簧式精密压力表的最大允许误差为“0.25% 满刻度值”，在仪器任意刻度值上允许误差限不变。,77,第四节描述测量器具计量特性的术语,最大允许误差的表示形式 4）以绝对误差和相对误差组合的形式表示 例如:标准钢卷尺为=(0.04mm+410-5L) 脉冲宽