初中培优竞赛 第3讲 整 式

1、一、选择题1.（4、5）（数学、初中数学竞赛、整式、绝对值、选择题）已知a，b，c都是整数， m=|a+b|+|b-c|+|a-c|,那么（ ）A.m一定是奇数 B.m一定是偶数C.仅当a，b，c同奇或同偶时，m是偶数 D.m的奇偶性不能确定分析：|a|与a的奇偶性相同，所以m与(a+b)+(b-c)+(a-c)=2(a+b-c)同为偶数 . 答案：B技巧：找准奇偶性的本质，从本质入手，化简式子，从而方便判断.本题也可以按奇偶性分类讨论.易错点：容易陷入讨论的误区，被绝对值迷惑导致出错.2. （1、2）（数学、初中数学竞赛、整式、高次方程、代数式、选择题）若x3+x2+x+1=0，则 x-27

2、+x-26+x-1+1+ x+x26+x27的值是（ ）A. 1 B. 0 C -1 D. 2 分析：由x3+x2+x+1=0得x=-1，所以x-27+x-26+x-1+1+x+x26+x27=-1 .答案：C技巧：将条件进行提公因式解出x，就非常方便求解了.3. (3、4)（数学、初中数学竞赛、整式、高次方程、代数式、选择题）已知m2=n+2,n2=m+2，mn，则m3-2mn+n3的值为（ ）A . 1 B . 0 C . -1 D . -2 分析：m2-n2=(m+n)(m-n). m3-2mn+n3=2（m+n）=-2.答案：D技巧：本题关键在于将条件和所求代数式进行处理化简，最终求解

3、.易错点：在化简和变形的时候容易出错.二、填空题4. （1、2）（数学、初中数学竞赛、整式、高次方程、代数式、填空题）设m2+m-1=0,则 m3 +2m2 +1997 = 分析：m3 +2m2 +1997= m(m2+m+m)+1997 ,因为m2+m-1=0m2+m=1 .答案：1998.技巧：特殊观察，将条件和所求都变形，从而求解.易错点:代数式变形时不要出错.5. (3、4)（数学、初中数学竞赛、整式、高次方程、代数式、填空题）当m=2n 时，多项式am3+bm+1的值是0，则多项式4n3+bn+512= 分析：通过变形发现， a(2n)3+b2n+1=8an3+2bn+1=0 .而4

4、an3+6n+512=-12+512=5 . 答案：5 .技巧：将条件进行变形就能集体代入求解.易错点：代入变形时易出错.6. (3、4)（数学、初中数学竞赛、整式、高次方程、代数式、填空题）已知m，n互为相反数，a，b互为负倒数，x的绝对值等于3，则x3-(1+m+n+ab)x2+(m+n)x2004+(ab)2005= 分析：由题意知m+n=0, ab=-1 , =3 , 代入就可以求解.详解: x3-(1+m+n+ab)x2+(m+n)x2004+(ab)2005 =x3-1 =26或-28技巧:这类题直接把条件列出来代入到式中,结果基本就出来了.易错点:容易出现遗漏的情况.7.如果x2

5、+2x=3，那么x4+7x3+8x2-13x+15= 8.（2006年四川省竞赛题）设a1，a2，ak，为k个不相同的正整数，且a1+a2+ak=2005，则k的最大值为 9.（2001年重庆市竞赛题）若a2-3a+1=0，则3a3-8a2+a+3a2+1= 10.（1999年江苏省竞赛题）已知a，b，c，d是四个不同的有理数，且(a+C)(a+d)=1,(b+c)(b+d)=1，则(a+c)(b+c)= 11.（2006年全国初中数学竞赛题）已知a，b，c为整数，且a+b=2006,c-a=2005.若ab1.则a+b+c的最大值为 三、解答题12.(3、4) （数学、初中数学竞赛、整式、高

6、次方程、解答题）已知a2+4a+1=0,且a4-ma2+I2a3+ma2+2a=3,求m的值. 分析 ：因为a2+4a+1=0 , 所以a4+1=(a2+1)2-2a2=14a2.代入求解 .详解：a2+4a+1=0 , a4+1=(a2+1)2-2a2=14a2 . 由a4-m22+12a3+mx2+2a=3得(14-m)a2=32a(a2+1)+ma2，即14-m=3(m-8),m=192 答：m的值为192.技巧：在于将题目中的条件进行灵活变形，然后代入求解.易错点：代数式变形时不要出错.13. (3、4) （数学、初中数学竞赛、整式、方程、解答题）已知m，n为自然数，且满足12+92+

7、92+22+m2=n2，求m, n的值. 分析：依题意得(n+m)(n-m)=167=1167，而m，n为自然数，故n+m=167,n-m=1，最后求解.详解：(n+m)(n-m)=167=1167，而m，n为自然数，故n+m=167,n-m=1，解得：m=83, n=84. 答：m、n的值分别为83、84.技巧：利用平方差公式展开，很方便解决.易错点：将167拆分的时候容易出错.14. (3、4) （数学、初中数学竞赛、整式、方程、解答题）已知a=19992-+1998,b=20002-+1999,C=20012-+2000，求(a-b-c) - (a+b-c)-（-a-b+c）的值 . 分

8、析:因为a=19992-+1998.=-+1=1,同理可求b=1,c=1,代入求解.详解：因为a=19992-+1998.=-+1=1,同理可求b=1,c=1,所以 a-b-c-a+b-ca-b+c=1-1-1-1+1-11-1+1=-1-1+1=-1技巧：将a、b、c进行化简，然后代入求解.易错点：化简、代入求值时，都要谨防出错.15.（第8届希望杯竞赛题）已知a是实数，且，求a+11996+a3+3a2+3a+2=017.（第13届迎春杯竞赛题）已知当x=2,y=-4时， ax3+12by+5=1997.求当x=-4,y=-1 2 时，代数式3ax-24by3+4986的值. 18.（天津

9、市竞赛题）数码不同的两位数，将其数码顺序交换后得到一个新的两位数，这两个两位数的平方差是完全平方数，求所有这样的两位数， 答案与解析1.B |a|与a的奇偶性相同，所以m与(a+b)+(b-c)+(a-c)=2(a+b-c)同为偶数 . 2.C 由x3+x2+x+1=0得x=-1，所以x-27+x-26+x-1+1+x+x26+x27=-1.3.D m2-n2=(m+n)(m-n).4. 1998 m3+2m2+1997=m(m2+m-1)+(m2+m-1)+1998=1998.5.5 因为a(2n)3+b(2n)+1=8an3+2bn+1=0.所以4an3+6n+512=-12+512=5.

10、6. 26或- 28 m+n=0,ab=-1,x=3.原式=26或-28.8. 62 设a1a2a3ak，要使k最大，则需使前面的ai（i=l，2，k-l） 尽量小，于是取以a1=1为首的连续m个正整数相加，得m(m+1)22005，即m(m+1)4010.经验证m62.故当a1=1,a2=2,a61=61,a62=114N,kmax=62.9.2 因为a2-3a+1=0，所以a2=3a-1.而a显然不等于0，所以 a-3+1a=0，即a+Ia=3.所以3a3-8a2+a+3aa2+1=3a(3a-1)-8a2+a+33a=a2-2a+1a=a2-3a+a+1a=-1+a+1a=-1+3=2.

11、10. 11. 5013 由a+b=2006,c-a=2005得a+b+c=a+4011.因为a+b=2006,ab,2a2006，a为整数，所以a的最大值为1002.于是，a+b+c的最大值为5013 12.因为a2+4a+1=0,所以a4+1=(a2+1)2-2a2=14a2.由a4-m22+12a3+mx2+2a=3得(14-m)a2=32a(a2+1)+ma2，即14-m=3(m-8),m=19213.依题意得(n+m)(n-m)=167=1167，而m，n为自然数，故n+m=167,n-m=1，所以n=84,m=83.14.因为a=19992-+1998.=-+1=1,同理可求b=1,c=1,所以a-b-c-a+b-ca-b+c=1-1-1-1+1-1-1-1+1=-1-1+1=-115.由已知得（a+1）3+1=0,所以a+1=-1，所以(a+1)1996+(a+1)1997+ (a+1)1998=116999-998=999（998106+998103+999）-998（999106+999103+998）=9992-+998=199717.当x=2,y=-4时， ax3+12by=8a-2b，所以8a-2b+5=1997,b=4a-996.当x=-4,y=-12时， 3ax-2