关于数学观的变化漫谈

1、 关于当今数学观的变化 20世纪下半叶数学发生了重大变化，这是数学教育改革的一个基本立足点。在综合性大学、理工科大学的教学改革文件中，已经多次提到这种变化。未来的高中数学课程标准，从未来高中数学教师所应具备的的数学修养提出了新的视角要求用数学现代化的观点审视高等师范院校数学系的课程设置。 1. 数学发展的历史进入了新阶段 在2000年8月于东京举行的国际数学教育大会上，日本著名数学家藤田宏在一小时的大会报告中指出：人类历史上，数学发展经历了以下四个阶段： 古希腊以欧几里得为代表的演绎数学； 17世纪以牛顿、莱布尼兹为代表的微积分数学； 19世纪到20世纪初，以希尔伯特为代表的现代公理化数学；

2、20世纪下半叶，一计算机技术为代表的信息时代数学。 我们正处在一个崭新的数学时期之中。信息时代的数学和牛顿时代的数学有很多相似之处：数学问题来自实际，数学和其他科学密切联系，数学和生产力发展紧密相关，数学的理论表现蓬勃发展的态势。数学已经发展到新阶段，但是我们的数学观点，也许还停留在第三阶段，即偏重纯粹数学的公理化、形式演绎、逻辑推理的层面。对于数学的直觉思维、发散创新；以及数学应用、数学与计算机技术、数学与其他学科的联系方面，则不予重视，甚至轻视。这种数学观上的过度倾斜，往往成为高师数学教育改革的障碍。 在中学数学教学中，把数学等同于逻辑，崇尚形式化演绎而轻视数学应用的倾向，主要是受高师数学

3、系的影响。在高师数学界，应用数学的队伍比较弱，应用数学的呼声不高，存有着某种水准上的不平衡。 2. 数学从社会的幕后走到了台前 自1995年以来，国内外很多著名的数学家十分强调数学的应用。 1996年5月，北京大学数学系教授、姜伯驹院士在“国家数学与力学教学指导委员会”第二次工作会议上这样说：“我记得我做学生的时候，老师讲数学的重要性，就是两句话：数学是思想的体操，数学是科学的语言。数学要通过其他科学发挥作用。但是，现在数学已经不必通过其他学科，而直接在科技前沿发挥作用了。很多高精尖的东西根本上取决于控制，完全靠数学模型。数学已经从幕后走到前列了。” “数学往往是最后取胜的法宝。数学用得好，你

4、就赢了。” “数学在20世纪下半叶有很大的发展，其中最大的发展是应用。跟第二次世界大战以前不一样现在到处在用数学，多的地方在试图用数学。所以，数学系、数学专业起什么作用？如果还是培养数学家、数学教授，就业的情况摆在哪儿，社会的需求量不是很大。学系是毕业生，相当多的人，甚至多一半的人，要到其他行业里去起作用。”（引自中国数学会通讯1996年第9期） 1995年，时任国际数学家联合会主席D.芒福特（Mumford，1974年以研究代数曲面簇的工作获费尔兹奖）在巴黎答记者问时这样说：“一个重要的问题是恢复纯粹数学家和应用数学家之间的思想交流。在19世纪，你能够看到绝绝大部分的数学家都是一身二任的。例

5、如傅立叶（Fourier）发现和研究级数，就是受了应用的刺激。但以后发生了分隔，尤其在美国。对科学的投资，将不至于简单地化很多钱去搞纯粹数学研究，而是相反，理应引向一个共同目标，使得纯粹数学研究人员能在应用中受到启发，使用他们的理论思维更有效地解决实际问题”（引自1996年第3期） 以上的引语，是两位纯粹数学家在担任数学团体公职时发表的谈话。这清楚地表明，数学在20世纪下半叶确实发生了变化。数学已从社会活动的幕后走到台前，直接在生产过程、经济管理、金融活动、航空航天等科技前沿发挥作用，产生经济效益。以前在代数、几何、分析等纯粹数学领域工作的专家，必须注重工程控制、图象处理、模糊识别、运筹优化、

6、模型实验等等科学问题。数学在变，高师数学系的课程当然要跟着变了。 3. 走出数学绝对主义的孤岛 数学的绝对主义思潮以前风靡一时，在我国数学界的传播十分广泛，直到今天，它对我国的数学教育仍然有很大的影响。 数学的形式主义学派以前希望把数学真理奠定在公理体系之上，完全避免客观的经验事实。这个梦想，早在1930年代，就被哥德尔的两个不完备性定理所粉碎。拉卡托斯的证明与反驳的出版，标志着经验主义的复兴。 布尔巴基学派提倡的结构主义数学，在1950年代以前十分流行，对世界数学发展作出了重要贡献。但是，作为现代公理化数学的积极倡导者，在1970年前后开始衰落。计算机技术为代表的数学技术迅速兴起，数学家开始

7、转向更加具体问题的研究。值得回味的是，当布尔巴基学派走向下坡路的时候，我们却在1980年前后广泛宣传布尔巴基的成就，并未提到它的局限和缺陷。究其原因，还是“形式主义”“绝对主义”数学情结的反映。 数学创造和逻辑证明的功能需要区别对待。1994年，A.贾弗（Jaffe）和A.奎因（Quine）在美国数学会公报（Bulletin of AMS）发表文章，提出数学研究也许需要分工：象理论物理一样，能够有一部分数学家从事理论探索、实行猜想和构思，另一部分数学家则从事证明（如同实验物理学家那样）。文章以前激起很多世界一流数学家（如Atiyah，Mandelbrot，Thurston，Mumford等）的

8、共鸣和讨论。从讨论中发现，很多最富创意的数学家和数学工作，往往会犯小错误，理论上不太严密。他的价值在于深邃的洞察力、直觉的想象力，和整体的构建力。数学仅靠逻辑是不够的。大数学家H.外尔曾这样描述逻辑和数学的关系：“逻辑是数学得以保持自身健康的卫生习惯”。数学创造的确比逻辑要多得多。 绝对主义的思潮，在数学史领域中也有反映。翻开19世纪的数学史，主旋律必定是“人类思维的自由创造”。例子则是“复数和四元数”，“群论的产生”，“非欧几何的建立”，“分析基础的严密化”。至于傅立叶的热传导方程，麦克斯韦尔的电磁学方程，G.斯多克斯的流体力学方程等影响人类进步的数学工作，往往是一笔带过。这种忽视数学应用的

9、观点，能够说影响了几代人的数学观。 4. 核心数学依然强劲 数学是统一的。纯粹数学依然在数学发展中处于核心地位。数学的最新进展表明，未来数学还会实行下列的转变： 从线性数学发展为非线性数学； 从交换数学发展到非交换数学； 从1维的数学发展到高维数学，特别是四维的数学和无穷维的数学； 局部与整体、随机与确定、离散与连续等的数学现象彼此交融，相互促动。 能够说：核心数学更加核心，应用数学更加应用。 这里，我们节录1997年发表的面向21世纪数学研究规划（973规划）的一些要点： 核心数学 解析数论、代数数论与代数几何； 群与代数及其表示论； 流形和复流形拓扑学； 整体微分几何； 经典分析的前沿问题

10、； 随即分析与无穷维分析。 非线性问题的数学理论与方法 非线性偏微分方程； 变分理论和几何分析； 动力系统； 经典和量子理论中的数学问题； 随机系统的数学问题。 金融和高科技中的数学问题 数学物理的高性能计算； 高维流体动力学的计算方法； 数学机械化和现代组合方法； 高维、定性和不完全数据的统计分析； 经济和高科技中的统计建模、推断与计算； 高科技中计算运筹的理论和算法； 金融财政中的数学问题。 复杂系统的建模、分析、控制与优化 复杂系统的建模； 随机系统的控制和适合控制； 非线性现象的分析、控制和利用； 无穷系统控制； 复杂系统的优化与决策； 大规模多层次系统的油画理论和方法。 从上述的研究

11、项目清单能够看出，中国数学的发展已经迈向新的阶段。核心数学和数学应用的结合，是未来数学发展的主旋律。在这样的形势下，未来的数学课程设置也应该向着这个方向努力。原来的数学观和数学价值取向，必须加以发展，努力跟上时代的步伐。 国内外的数学教育观也有了新的变化 随着数学观的变化，数学教育的目标也出现了积极的改变。在保持我国数学教育优良传统的基础上，应该有更广阔的视野，更好地体现创新精神。 1. 遏止数学教学“学院化”的倾向 数学本来上和社会、科学、以及工程技术密切相关的。但是，本世纪以来中学和大学的数学教学日趋“学院化”，数学逐渐和大众隔离，变成仅仅少数人能够接近和欣赏的“经院式”的东西，数学家则被

12、看作与常人不同的怪人。在教学上，这种以定义、定理、证明为线索展开，完全形式化的、逻辑推理堆砌的抽象教学方式，引起越来越多人们的怀疑。枯燥无味的教学，使学生对数学失去兴趣，迫使大量学生远离数学。 还数学的本来面目！大学数学教学需要改革。近几年来，美国出现了“微积分革命”，一批改革型的大学数学入门教材问世。哈佛大学的微积分，美国“数学及其应用联合会”花了多年的时间编著的数学的原理与实践先后出版，中文译本也相继问世。这种有益的尝试，已经引起国内数学教育界的重视。一些综合性大学和理工科院校开始了试验。应该说，高师院校数学系的行动比较缓慢，应该及早赶上。 2. 数学知识、数学水平和数学意识 多年以来，我

13、国的中学数学课程的教学目标，首先是强调基础：基本知识和基本技能。其次是培养三大水平：基本运算水平，空间想象水平，以及逻辑思维水平。其中以逻辑思维水平为核心。中学的这种数学水平观，实际上是经过高师数学系坚持、提倡才形成的。它同样是高师数学教学所遵循的原则。 事实上，认为数学不但是一个“演绎体系”，更重要的是理解数学思想，形成数学意识。数学作为人类的一种文化现象，是生动活泼的，不是枯燥呆板的。数学有两个侧面：丰富生动的创新，以及形式演绎的表述。前国际数学教育委员会主席、数学家弗赖登塔尔说过：“当今的数学总是把火热的思考变成冰冷的美丽”。当数学的表达以纯粹的形式化为“美丽”时，数学发展的原始动力，社

14、会背景，创新思想，统统被淹没在逻辑的海洋里。数学教学，就应该恢复活跃的、火热的数学思考，把直觉的理解放到首位加以处理。 清代学者袁枚提出，做学问需要才学识。“学如箭镞，才如弓弩，识仪以领之，方能中鹄”。说明数学知识仅仅一直箭，会解常规数学问题则是一张弓。没有弓，箭是没有用的。但是有了处理形式化数学的水平，还需要数学意识的指引，才会有的放矢，打中目标，才有真正有所创、造有所发明。好的数学仅靠逻辑是不够的。“微积分”不能靠“欧氏几何”的逻辑证明得出来，而是从实际问题出发，开始时逻辑上并不严格地创造出来的。 3. 要讲推理，更要讲道理 数学教育必须培养学生的逻辑思维水平，学会演绎推理，理解数学形式化

15、的重要意义。这是数学的特点，为大家所共识。但是数学毕竟不等于逻辑。在萧树铁先生领衔制定的高等数学研究报告（非数学类专业）中指出：“要讲推理，更要讲道理”。这是针砭时弊的“实话实说”。纵观我国的数学教学，崇尚的是推理。课堂上讲一些数学的来龙去脉，说说数学何以产生如此这般的道理，却被认为是“废话太多”，似乎数学只能是干巴巴的一副样子。例如，实变函数论讲可列可加测度，似乎是天上掉下来的。极少和我们日常的面积、体积的概念相联系，指出彼此间的继承和发展。高师院校数学系课程中的学习测度论的目的，也许不能仅限于“为积分号下求极限”服务，讲一点人类关于度量的历史，从“长度”到“测度”，结合日常生活中相关度量方

16、法的理解，再加上概率测度的需要，对于中学教师数学素质的提升，应该不是多余的。 4. 关于“淡化形式、注重实质” 已故的西南师范大学陈重穆教授在谈到中学数学教育时，认为理应“淡化形式、注重实质”。陈先生绝无否定数学需要形式化的意思，而是反对过度的形式化。他所举的例子包括：“0是否虚数的讨论”，“含有未知数的等式叫方程”这样的黑体字是否需要背诵和考试，“平行四边形是不是梯形”，“53对不对”等等。这些人为的约定并不涉及数学的真谛，不过是表述问题时的一种习惯而已。所以需要淡化。我们应该把注意力放在数学的实质性问题上来。以上的观点同样适用于高师数学系的教学。 一个突出的例子是关于微积分的教学。我们的很

17、多学生，能够熟练地背诵导数的定义，求一些初等函数的导数，但是对于变化率的思想却不甚了了。微积分的价值并不能为学生所理解。由直观描述到“语言”的使用，仅仅形式地记忆，却没有从内心上感到需要。这样的教学也是过度地追求形式处理，需要淡化。没有理解的严谨，只会带来拘谨。只从细节上观察数学，就丧失了广阔的数学视野。 5. 关于打好数学基础的理解 中国数学教育以基础扎实闻名于世。“打好基础”是成为一名优秀数学工作者的必由之路。这个优良传统，我们需要继承、巩固、发扬，成为中国数学教育的固有特征。但是，关于基础，也需要动态地观察，做到“与时俱进”，随着时代的变化而变化。 一个人的“基础”是随着时代的进步而改变

18、的。几十年前，中国的必要基础是“写就一手毛笔字”，现在多数人都做不到了，但是社会并没有所以而停步。欧美各国的中小学，从1958年后取消了欧氏几何的论证学习。近半个世纪以后，他们的数学和科学，并没有所以而落伍。计算机时代的数学基础，如果不会使用现代信息技术去解决理论与实际的数学问题，恐怕会是“基础不够”的一个标志。 打基础有各种不同的指导思想。一种是在创新目标指导下的打基础，以支持科学大厦、摘到科学“果子”为目的。另一种则是盲目打基础。越深越好，越厚越好，用花岗岩方方正正地累起来，最后却在这样的基础上造了间茅草房。这样的基础往往是为“有创新意识”的别人准备的，弄得不好就成了“出售基础”的数学教育

19、。 数学知识仍在爆炸。一万年以后怎么办？数学基础不可能永远是一个样子。某些心事市充实进来，一部分知识则被简化、整合、抛弃。新陈代谢，不可抗拒的规律。 胚胎式的整合。人的胚胎发育，起初象一条鱼，十月怀胎旧乡经历了动物的几亿年的历史进化过程，最后成为婴儿出生。数学基础也许同样会以这样的方式实行整合。原来大讲特讲的内容，后来觉得其价值只要几个小时就够了。更新的观点会使原来难懂的东西变得十分简单。有了代数，术文字题就能够简单些。几何画板的计算机软件，也许使学生很快能够理解某些几何学的精髓。1980年代，线性代数就把多项式理论给整合掉了。把黎曼积分和勒贝格积分打通的设计，也许并非异想天开的。 总来说之，

20、我们需要好的数学基础，要发展地、动态地实行分析，不可盲目地打基础，更不能够“打基础”的需要来阻止必行的改革。 数学教学改革中若干问题的探讨 1.扩招带来的新问题 2.按“文理分科”不分专业的招生方案 3.中学和大学的衔接问题 4.奥林匹克数学竞赛和其他竞赛的积极作用和消极影响1. 对基础课的理解和改革 基础课的处理关于基础课的设置有以下两种看法： 北京师大：数学系课程应建立“完整和宽厚的数学基础”。他们认为，大学教育实际上仍是打基础阶段。没有坚实基础就没有后劲。 华东师大：少而精的基础课，坚实但适当的基础。他们主张削减专业课时数。原来每周4学时的，现在一律改为2.53.5学时。因为总课时减少，

21、计算机课程增加，选修课范围扩大，原来的专业课不得不压缩。2. 基础课和专业课的关系：“平台论” 很多高等师范院校的教学改革方案在课程设置上有基本一致的思考，归纳起来，大致为以下四句话： 少而精的基础课 广而约的专业课 多样化的选修课 高质量的数学教育课 北京大学姜伯驹院士提出数学系课程改革理应建立一些平台，在平台上继续往前走。“平台”是借用计算机科学的名词，例如Windows文字处理平台，拿来用就是了，除少数专家之外，一般人只要会用，不必详细了解它的编制过程。数学的情形也是一样，很多数学家已经为我们建立了坚实的基础，如“几何基础”、“实数理论”等等，我们只要了解它的基本原理，然后在这基础上向前

22、走就行，不必再花大力气去开课。3. 数学建模和数学实验课的设置 前已论及，在信息时代，数学已经不但仅是一种基础理论，而且也是一种能够直接产生经济效益的数学技术。计算机给数学研究和数学教学带来的影响市十分长远的。近几年来，国内外的大学生数学建模竞赛发展迅猛，很多师范大学也积极参与，形成了良好的势头。几何学的改革。华东师大沈纯理教授的经典几何，涵盖从解析几何、射影几何、非欧几何、到黎曼几何的历史发展，总结了几何学的经典思想，如果处理得好，将会是高师“几何课程”的重大收获。此外，如概率统计课与软件包的使用，高等几何是否包含非欧几何和黎曼几何的实验，常微分方程与偏微分方程的整合，非绝对积分的引入，“数

23、学大观”、“现代数学思想方法”、“运筹学”等选修课程的开设，都是很有价值的尝试。4. 数学史课程的建设 5. 师范院校的“师范性”及教育类课程问题 长期困扰数学系的“师范性”症结，得到了一定的解决。一种比较合理的说法是：“所谓师范性，是指善于将知识的学术形态转化为教育形态的水平”。 应该看到，无论是大学教师或中小学教师，所有教师都要善于做这种“转化”工作。教材上的数学知识，包括原理、定理、证明和思想方法都是演绎地表现的，往往仅仅显示了数学内容的学术形态，一个教师要使学生能够理解教材上的东西，教师就必须加工，使之成为易于理解的“教育形态”，为学生所接受。所以，师范性要体现在高等师范院校数学系的每

24、门课程，乃至每堂课上。也就是说，师范大学的教师要比其他学校的教师更注意教学方法，为学生作出“把学术形态转变为教育形态”的榜样。6. 多元化的培养目标 近几年来，绝绝大部分师范院校的数学系，在培养目标和课程设置上表现多元化的趋势，即以培养数学教师为重点，兼顾其他数学工作者。事实上，其他大学能够在教师职位上和师范院校竞争，师范院校的毕业生自然也能够在数学研究、数学应用、计算机科学等等领域实行职业岗位的竞争。具体说来，有以下的要点： 高等师范院校数学系的目标是培养中学数学教师。课程依此设置，不可动摇。但是，胜任数学教师的毕业生，当然也可能胜任其他的职业岗位，其间没有不可逾越的鸿沟。 数学系的课程设置

25、分基础课和选修课，选修课设三个系列： （1）纯粹数学系列 （2）应用数学系列 （3）数学教育系列 他们将来能够胜任中学数学教师，也能够分别考取研究生，受聘于其他职业岗位，乃至成长为纯粹数学家、或应用数学家、或者教育家。 一个中学里的数学教师，能够有不同的学术背景。有些教师长于纯粹数学，有些则善于数学的应用，还有一些教师擅长教育科学。这样的学术组成，比完全一样的学术背景更加合理，更加有效。 7. 高师院校数学系中的高等数学与初等数学问题 初等数学的地位，一直是高师数学系一个特有的问题。在人文科学和其他自然科学，都无所谓“初等”与“高等”的泾渭分明的区别。例如没有“初等历史”与“高等历史”的说法，

26、从小学到大学的历史课程，只有深浅、详略、粗细之分。中学的物理学能够讲到原子核、相对论，生物学则会提到分子水平的DNA和克隆技术。只有数学，中学里讲17世纪以前的初等数学，高等数学则是大学的事。中学数学教师只需知道初等代数和初等几何，对于数学的近代发展能够一无所知。更不要谈20世纪的数学了。 因为这样的分野，高师数学系的课程中便出现了初等几何、初等代数、初等数学复习研究这样的课程，而且认为是主要课程，对未来十分有用的课程。一部分同志甚至认为近现代数学课程的设置过多，理应扩大和增强初等数学课程的教学，把它视为“师范性”的重要组成部分。这种意见在一些师范专科学校更为常见。 但是，这种人为地将数学分为

27、“初等”和“高等”，而中学只需要“初等数学”的看法，正在受到更多的质疑。理由如下： 中学里不再只教“初等数学”。“中学数学”是一个持续发展变动的概念，显示出高等数学和初等数学正在逐渐走向融合。微积分、概率统计、向量矩阵、数学建模、离散数学、算法程序、线性规划等等正在不声不响进入中学数学的范围。以前的初等代数与初等几何能够覆盖这些内容吗？ 初等数学的内容理应用高等数学的观点加以提升、简化和发展。以往大量讲授的平面几何证题术，如西摩松线、九点圆之类还有必要吗？请问：“我们为什么要讲弧度？”“抛物线是否都相似？”“整数和多项式为什么都能够因子分解？”，“0.999是否等于1？”等等问题需要解答。 关

28、于大学数学教学方法的讨论 1. 心理机制 美国数学家Dubinsky杜宾斯基在大学数学教学中倡导APOS理论，值得借鉴。他的建议是，任何一个数学概念的建立，都要经过操作（ACTION），过程（PROCESS），对象（OBJECT）和概型（SCHEME）四个阶段。以函数为例，先要观察具体变量（操作），然后形成一般的“对应”（过程），再次构成独立的f（x）实行四则运算和复合运算（对象），最后形成一个总体的函数概念（概型）。其实，导数、定积分的形成，也都需要照此模式。上来就形式化地给定义是不足取的。 2. 返璞归真 著名数学家项武义教授以前对作者谈起：我们很多微积分著作的“导数”概念，是形式化地引入

29、的：极限连续比的极限力学解释（瞬时速度）。如果返朴归真地看，瞬时速度理应看做原始概念。一辆快车赶上慢车的一刹那，快车的速度一定比慢车快，这就是瞬时速度。所以微积分的任务是用平均速度求“瞬时速度”，不必定义了导数才出来“瞬时速度”。这正如小学生学习面积，面积是原始的朴素观点，客观存有的。我们的任务是“求面积”。在数学分析教学中，尽量做到返璞归真，是很重要的事。 3. 数学分析课程的价值观 因为大学扩大招生，高等教育走向大众教育。数学系和其他学科一样，也正在走出“精英教育”的轨道。过去的数学教学理念，是把学生都当成数学家（而且是纯粹数学家）那样实行培养，现在的培养目标则是培养到各行各业去使用数学解决问题的数学工作者。他们不但要有纯粹数学的“价值观”，也要有其他行业的“价值观”，这样，才能更好地为其他行业认真服务。杨振宁教授以前要求物理学家不要学太多的数学，因为一旦欣赏数学的价值观，就会失去物理学的价值观，不会做物理了。钱伟长说，我们力学家学习数学是为了作好解决问题的“屠夫”，而不是做一个数学家那样的“刀匠”。所以，现在的数学分析教学，要更多地考虑各行各业“屠夫们”的需要，不能仅仅刀匠的需要（即使刀匠永远