初二数学培优讲义二十#菱形与矩形

1、第20讲 菱形与矩形考点方法破译1理解并掌握菱形的定义、性质和判定方法，并运用它们进行计算与证明；2理解并掌握矩形的定义、性质和判定方法，并运用它们进行计算与证明；3理解“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”并会应用经典考题赏析【例1】(衢州)如图，四边形ABCD是矩形，PBC和QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内求证：PAPQABCDQP【解法指导】证明线段相等的方法有如下：若在同一三角形中可利用等腰三角形的判定定理；若在不同三角形中可利用全等三角形证明；利用三角形中位线定理与直角三角形谢边上中线等于斜边一半证明；(4)利用特殊四边形的边与对角线的关系证明等证明：四边形AB

2、CD为矩形，PBC、QCD都是等边三角形BACDCQ，PBA30，BPCP，DCPBCQ30，PCQ30在ABP和QCP中BACQ，ABPQCP，BPCPABPQCP，PAPQ【变式题组】01(荆州)如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AEAD，DFAE与F，连接DE求证：DFDCABCDEF02(荆州)如图，矩形ABCD中，DP平分ADC交BC于点P，将一个直角三角板的直角顶点放在P点处，且使它的一条直角边过A点，另一条直角边交CD于E找出图中与PA相等的线段并说明理由ABCED6图duAD,AB)_P03如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分BAD交BC于E，CAE15，求BO

3、E的度数ABCEDOABCEDO【例2】已知：如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，AEDE，BEBC，点O是线段CE的中点试说明CE平分BED；若AB3，BC5，求BO的长；在直线AD上是否存在点F，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是菱形？如果存在，试画出点F的位置，并作适当的说明；如果不存在，请说明理由【解】四边形ABCD是矩形，ADBC，BCEDEC又BEBC，BCEBECBECDEC，CE平分BED在Rt中，AB3，BEBC5，AE4在RtCDE中，CD3，DE1，EC在RtBOC中，BC5，CO，BO(注：此处用面积法求BO也可)在直线AD上存在点F，使得以B、C、E、F为顶点的

4、四边形是菱形ABCOxy延长ED至F，使得EFBC，此时四边形BCFE是菱形AEDE，BECE，因此在EA的延长线上不存在点F，使得四边形BCEF为菱形【变式题组】01(烟台)如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，菱形OABC的对角线OB在x轴上，顶点A在反比例函数y的图像上，菱形的面积为_Error! Reference source not found.02(益阳)两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中A60，AC1固定ABC不动，将DEF进行如下操作：如图1，DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动)，连接DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断的变化，但它的面积

5、不变化，请求出其面积；如图2，当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由ABCFED图1FCEBDA图2【例3】(全国联赛)如图，在矩形ABCD中，已知AD12，AB5，P是AD边上任意一点，PEBD，PFAC，E、F分别是垂足，则PEPF_ABCFEDOPGFEDAPCOB【解法指导】因为P是AD上任意一点，故想求出PE、PF长的具体数据是不可能的，从特殊位置考虑，当P与A重合时，PEPF就等于点A到BD的距离，因而只需要求出A到BD的距离，事实上利用面积法可以证明下列命题“等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高”解：如图，过A作AGBD于G，等腰三角形

6、底边上的任意一点到两腰距离之和等于腰上的高PEPFAGRtABD中，AD12，AB5，BD13SABCABADBDAG，AG，PEPFError! No bookmark name given.【变式题组】01观察与发现：讲矩形纸片AOCB折叠，使点C与点A重合，点B落在点B处(如图1)，折痕为EF小明发现AEF为等腰三角形，你同意吗？请说明理由实验与应用：以点O为坐标原点，分别以矩形的边OC、OA为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系，若顶点B的坐标为(9，3)，请求出折痕EF的长及EF所在直线的函数关系式ABCFEBOABCFEBOyx图1图202(佳木斯)如图，将矩形纸片ABCD沿对角线A

7、C折叠使点B落到B的位置，AB与CD交于点E试找出一个与AED全等的三角形，并加以证明；若AB8，DE3，P为线段AC上的任意一点，PGAE于G，PHEC于H，试求PGPH的值，并说明理由ABCEDHGPB【例4】(沈阳)如图1，在ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM直线a于点M，CN直线a于点N，连接PM、PN；延长MP交CN于点E(如图2)求证：BPMCPE；求证：PMPN；若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其他条件不变，此时PMPN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，

8、其他条件不变请直接判断四边形MBCN的形状及此时PMPN还成立吗？不必说明理由ABCMNPaABCMNPaEAaNPMBC图1图2图3【解法指导】证明：如图2，BM直线a于点M，CN直线a于点N，BMNCNM90，BMCN，MBPECP，P为BC的中点，BPCP，又BMPCPE，BPMCPE，BPMCPE，PMPE，PMME，在RtMNE中，PNME，PMPN；成立，如图3，ABCDOMA6045证明：延长MP与NC的延长线相较于点E，BM直线a于点M，CN直线a于点N，BMNCMN90，BMNCNM180，BMCN，MBPECP，P为BC的中点，BPCP，BPMCPE，BPMCPE，PMPE

9、，PMME，则在RtMNE中，PNME，PMPN四边形MBCN是矩形，PMPN成立【变式题组】01(绵阳)如图，一副三角板拼在一起，O为AD的中点，ABa将ABO沿BO对折于ABO，M为BC上一动点，则AM的最小值为_02(营口)如图1，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作APC和BPD，使PCPA，PDPB，APCBPD，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；、当点P在线段AB的上方时，如图2，在APB的外部作APC和BPD，其他条件不变，中的结论还成立吗？说明理由如果中，APCBPD90，其他条

10、件不变，先补全图3，再判定四边形EFGH的形状，并说明理由ABCHGFEDPABCHGFEDPABP图1图2图303(北京)如图所示，一根长为2a的木棍(AB)，斜靠在与地(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍的中点为P若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由；在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值ABOPMN演练巩固 反馈提高01(仙桃)将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，BAE30，AB，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处则BC的长为(

11、 )AB2C3DOABCxyCDABCFEBABCEDA第3题图第2题图第1题图02(长春)菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，AOC45，OC，则点B的坐标为( )A(，1)B(1，)C(1，1)D(1，1)03(浙江丽水)如图，在ABC中，ABAC，D、E分别是AB、AC上的点，ADE沿线段DE翻折，使点A落在边BC上，记为A，若四边形ADAE是菱形，则下列说法正确的是( )ADE是ABC的中位线BAA是BC边上的中线CAA是BC边上的高DAA是ABC的角平分线04(山东临沂)如图，菱形ABCD中，B60，AB2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则AEF的周长

12、为( )ABCD3ACDEFBABCFEDHGABCDEFABCFEDOH第4题图第5题图第6题图(方案一)(方案二)05一次数学课上，老师让大家在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，折出一个菱形甲同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH(见方案一)，乙同学沿矩形的对角线AC折出CAEDAC，ACFACB的方法得到菱形AECF(见方案二)，请你通过计算，比较这两种折法中，菱形面积较大的是( )A甲B乙C甲乙相等D无法判断06(大兴安岭)在矩形ABCD中，AB1，AD，AF平分DAB，过C点作CEBD于E，延长AF、EC交于点H，下列结论中：AFFH；BOBF；CACH；BE3ED，正确的

13、结论为_07(临沂)如图，矩形ABCD中，AB2，BC3，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，则CE的长为_ABCDFE第8题图60第9题图ABCDMB第10题图第7题图CFEDOAB08如图，四边形ABCD为矩形纸片把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，若CD6，则AF_09红丝带是关注艾滋病防止问题的国际性标志将宽为1cm的红丝带交叉成60角重叠在一起(如图)，则重叠四边形的面积为_cm10(荆州)如图，一张长方形纸片ABCD，其长AD为a，宽AB为b(ab)，在BC边上选取一点M，将ABM沿AM翻折后B至B的位置，若B为长方形纸片ABCD

14、的对称中心，则的值是_11(郴州)一种千斤顶利用了四边形的不稳定性如图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变ADC的大小(菱形的边长不变)，从而改变千斤顶的高度(即A、C之间的距离)若AB40cm，当ADC从60变为120时，千斤顶升高了多少？(1414，1732，结果保留整数)ABCD手柄12如图所示，四边形OABC是矩形，点D在OC边上，以AD为折痕，将OAD向上翻折，点O恰好落在BC边上的点E处，若ECD的周长为2，EBA的周长为6矩形OABC的周长为_；若点A坐标为(，0)，求线段AD所在直线的解析式ABCEDOxy13如图，ABC中，ACB90，ACBC，MEAC，

15、MFBC，D是AB的中点求证：DEF是等腰直角三角形ABCFEDM14 如图，矩形ABCD中，AC2AB，O为AC的中点，延长AB到E，使BEAB，连接EO并延长交BC于F，交AD于M求证：四边形AFCM是菱形CFEDOMBA15如图，矩形ABCD，E是CB延长线上一点，且CECA，F是AE的中点求证：DFBFABCFED16(南平)如图1，在ABC中，ABBC，P为AB边上一点，连接CP，以PA、PC为邻边作APCD，AC与PD相交于点E，已知ABCAEP(090)求证：EAPEPA；APCD是否为矩形？请说明理由；如图2，F为BC的中点，连接FP，将AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到M

16、EN(点M、N分别是MEN的两边与BA、FP延长线的交点)猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论图1ABDCEP图2ABDCEPMNF培优升级 奥赛检测01在一次函数yx3的图象上取一点P，作PAx轴，垂足为A，作PBy轴，垂足为B，且矩形OAPB的面积为，则这样的点P共有( )A4个B3个C2个D1个02(杭州)如图，在菱形ABCD中，A110，E、F分别是边AB和BC的中点，EPCD于点P，则FPC( )A35B45C50D5503(安顺)如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则微型机器人停在

17、_点DCBAEFPDCBAEFG第2题图第3题图CBAOxByxB第4题图第5题图04(湖州市竞赛试题)如图，在平面直角坐标系xOy中，长方形OABC的顶点B的坐标为(15，6)，直线yxb恰好将长方形OABC的面积两等分，那么b_05(烟台)如图，将两张长为8、宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是_06RtABC中，BAC90，AB3，AC4，P为边BC上一动点，PEAB于E，PFAB于F，M为EF中点，则AM的最小值为_PCAEFBMABCDE第6题图第7题图ABCDQA第8题图ABCO第9题图xy07(四川省初

18、二联赛试题)已知如图，在矩形ABCD中，AEBD，垂足为E，BC且ADB30，则ECD的面积为_08(河南)动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB3，AD5如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A处，折痕为PQ，当点A在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A在BC边上可移动的最大距离为_09(潍坊)已知边长为a的正三角形ABC，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC长的最大值是_10(全国初中数学竞赛试题)如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别时O(0，0)，A(0

19、，6)，B(4，6)，C(4，4)，D(6，4)，E(6，0)若直线l经过点M(2，3)，且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是_DCBAEOMylyYBxyYB11(山东烟台)如图，菱形ABCD的边长为2，BD2，E、F分别是AD、CD上的两个动点，且满足AECF2求证：BDEBCF；判定BEF的形状，并说明理由；设BEF的面积为S，求S的取值范围12某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕矩形ABCD(ABBC)的对角线交点O选择(如图123)，图中M、N分别为直角三角板的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点该学习小组中一名成员意外地发现：在图1(三角板的一直角边与OD重合)中，BN2CD2CN2；在图3(三角板的一直角边与OC重合)中，CN2BN2CD2请你对这名成员在图1和图3中发现的结论选择其一说明理由；试探究图2中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的关系，写出你的结论，并说明理由ABCDON图3图1OABCDNABCDONM图213(四川省初二联赛试题)如图，在凸四边形ABCD中，M为边AB的中点，且MCMD，分别过C、D的垂线，设两条垂线的交点为P求证：PADPBCDCBAMP14如图已知五边形ABCDE中，ABCAED90，BACEAD，F是CD的中点，求证：BFEFABCFED15(