初二]竞赛专题选讲之――不等关系

1、初中数学竞赛专题选讲不等关系一、内容提要1. 不等式三个基本性质： 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。 不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。2. 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集。 设ab,不等式组的解集是xa 的解集是xb的解集是 bxa 的解集是空集3. 几何中证明线段或角的不等关系常用以下定理 三角形任意边两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和。 在一个三角形中，大边

2、对大角，大角对大边。直角三角形中，斜边大于任一直角边。 有两组边对应相等的两个三角形中 如果这两边的夹角大，那么第三边也大；如果第三边大，那么它所对的角也大。任意多边形的每一边都小于其他各边的和二、例题例1. 已知：x2，求下列代数式的取值范围：73x,解：x2，两边乘以3，得3x6两边加上7，得73x7673x1设y, x+1=xy, (y1)x=1x=2，在两边乘以y1时，根据不等式基本性质2和3，得不等式组：或或y1.5或y1即1.5或1例2.设实数a,b满足不等式，试决定a,b的符号。(1995年全国初中数学联赛题)解：不等式两边都是非负数，两边平方不等号方向不变两边平方得，a22(a

3、+b)+(a+b)2a， 可知a0，a+b0两边除以得，a+b显然不等式要成立，只有， 故a， 显然只有a+b0,又a0a,b的符号是：a0例3.已知：O是ABC内的一点求证：1分析：本题实质是要证明2（OAOAOC）ABBCCA且OAOBOCABBCCA证明：OAOBABOBOCBCOCOACA2（OAOBOC）ABBCCA延长BO交AC于D，ABADOBOD，ODDCOCABACOBOC，同理ABBCOAOC，BCCAOAOB即2（ABBCCA）2（OAOBOC）1例4.求证直角三角形两条直角边的和，小于斜边与斜边上的高的和已知：ABC中，ACBRt，CDAB于D求证：CACBABCD证明

4、：设CDh,a,b,c是A，B，C的对边根据勾股定理，a2+b2=c2,a2+b2c2h2 根据三角形面积公式ab=ch 2ab2ch ：（a+b）20, c+h0 a+b0, ac0 (直角三角形中斜边大于任一直角边) (a+b)(c+h)0 (a+b)(c+h) 再证明：学完四点共圆后，可证CACDABCB在AB上截取BEBC，在AC上取CFCD，两等腰BCE和CDF顶角B=DCF底角21四边形CDEF是圆内接四边形EFACDERtAFAE ，即AFCFABBE ， ACCDABCBCACBABCD例5.已知：ABC中，D，E分别在BC，AC上，B12如果ABC，ADC，EBD的周长依次为

5、m,n,p求证：（1989年全国初中数学联赛题）证明：设BCa，ACb，ABc12，DEAC，ABCEBDDAC，即DCBDBCDCa=，例6.已知：ABC中，ABAC，D是三角形内的一点，ADBADC求证：DBCDCB分析：为使已知条件ADBADC集中在一起，把ABD绕着点A旋转，使AB和AC重合，即作ABD的全等三角形ACE证明：作CAEABD，使AEAD，连结CE，DE那么ACEABD，ACEBD，ACEADBADCADEAED，DECEDC，DEDCCE，即DCBDDBCDCBBC三、练习1. 已知a，那么96a的值是2. 已知b= , 当a3时，b的取值范围是3. 已知aBC， 求证

6、 ACAO8.已知：AD，BE，CF三条高相交于一点H，求证：9.已知：ABC中，A90，ABAC，边AB，AC的中垂线，分别交BC于D和E求证：BDB，则AD11.在ABC中， 若AD是中线，则DACDAB 若AD是角平分线，则AB+CDAC+BD12.已知：ABC 中AB=AC，点这点P是三角形内的一点，PBCPCB求证：PABAPC13.已知：ABC中M是BC的中点，D，E分别在AB，AC上，DME=Rt 求证 ：BD+CEDE14.ABC中，AC2AB，则B2C15.已知：正有理数a1是.的一个近似值，设a2=1+ 求证 ：介于a1和a2之间提示：设 a1证a2证a1练习题参考答案1. 两边乘以6，再加上9得96a12. 仿例1，a-2 4. 1ADAB,PB+PCBC,PC+PAAC得PAPBPC1.5过点P作EFBC，AEPAFPAPE，PAAEPBBEEP，PCCFFP6. 作CEAD交AB于E8.直角