勾股定理专题

1、贡献者方瑞 勾股定理 知识网络 （1）对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。（2）勾股定理的验证方法一：，化简可证方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为大正方形面积为所以方法三：，化简得证（3）常用结论：有一个角是30的直角三角形，30角所对的直角边等于斜边的一半。有一个角是45的直角三角形是等腰直角三角形。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。题型一：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。（1）在RtABC中，C=90若a=5，b=12

2、，则c=_；若a=15，c=25，则b=_；若c=61，b=60，则a=_；若ab=34，c=10则RtABC的面积是=_。（2）如果直角三角形的两直角边长分别为，2n（n1），那么它的斜边长是（） A、2nB、n+1C、n21D、（3）在RtABC中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是（ ）A. B. C. D.以上都有可能（4）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A、25B、14C、7D、7或25题型二已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。（1）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_。（2）已知RtABC中，C

3、=90，若a+b=14cm，c=10cm，则RtABC的面积是（） A、24B、36 C、48D、60（3）已知x、y为正数，且x2-4+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ A、5 B、25 C、7D、15 勾股定理的逆定理1如果三角形的三边长a,b,c有关系，那么这个三角形是直角三角形。2常见的勾股数（3n,4n,5n）,(5n,12n,13n)，(8n,15n,17n)，(7n,24n,25n)，(9n,40n,41n)（n为正整数）3直角三角形的判定方法：如果三角形的三边长a,b,c有关系，那么这个三角形是直角

4、三角形。有一个角是直角的三角形是直角三角形。两内角互余的三角形是直角三角形。如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形例1：勾股数的应用（1）下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）A. 4，5，6 B. 2，3，4C. 11，12，13 D. 8，15，17（2）若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（） A、234 B、346 C、51213 D、467例2：利用勾股定理逆定理判断三角形的形状（1）下面的三角形中：ABC中，C=AB；ABC中，A：B：C=1：2：3；ABC中，a：b：c=3：4：5；ABC中，三边长分别为8，15，17

5、其中是直角三角形的个数有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个（2）若三角形的三边之比为，则这个三角形一定是（ ）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.不等边三角形（3）已知a，b，c为ABC三边，且满足(a2b2)(a2+b2c2)0，则它的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形 C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形（4）将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )A 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形（5）若ABC的三边长a,b,c满足试判断ABC的形状。（6）ABC的两边分别为5,12，另一边为奇数，且a+b+c是3

6、的倍数，则c应为 ，此三角形为 。考点三：勾股定理的应用1如图，ABC为直角三角形，分别以AB，BC，AC为直径向外作半圆，用勾股定理说明三个半圆的面积关系，可得（ ）A. S1+ S2 S3 B. S1+ S2= S3 C. S2+S3 S1 D. 以上都不是 2如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，则它们之间的关系是（ ）A. S1- S2= S3 B. S1+ S2= S3 C. S2+S3 S1 D. S2- S3=S13如图1，某货船以24海里时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60的方向上。该货船航行

7、30分钟到达B处，此时又测得该岛在北偏东30的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。4如图 （1），正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ）A 25 B. 12.5 C. 9 D. 8.5 5如图（2） ，正方形网格中的ABC，若小方格边长为1，则ABC是 （ ）A. 直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对6如图（3），小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是 ( )A 25 B. 12.5 C. 9 D. 8.5 （图1） （图2） （图3）7如图所示，在RtABC中，C90，A30，BD是ABC的平分线，CD5，求AB的长ABCD8如图已知正方形ABCD中，求证： 9在高为3米,斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯,则地毯的长度至少需要多少米?若楼梯宽2米,每平方米地毯30元,那么这块地毯需花多少元? CBDA第10小题10在Rt如图网格都是边长为1的小正方形，点A，B,C 在格点上，D为AB中点，则CD的长为 11第七届国际数学教育大会的会徽主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的. 设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰三角形，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A8A9=1，请你先把图中其它8条线段的长计算出来