专升本高等数学(二)-微分方程求解方法、无穷级数解题方法、向量与空间解析几何

1、专升本高等数学(二)-微分方程求解方法、无穷级数解题方法、向量与空间解析几何(总分：70.97，做题时间：90分钟)一、B选择题/B(总题数：9，分数：9.00)1.函数y=xex是微分方程y+ay=ex的解，则a的值为_ A.0 B.-1 C.1 D.2（分数：1.00）A.B.C.D.解析：2.若二阶常系数线性齐次微分方程的通解为y=C1e-2x+C2ex，则该微分方程为_ A.y+y=0 B.y+2y=0 C.y+y-2y=0 D.y-y-2y=0（分数：1.00）A.B.C.D.解析：3.求解微分方程y+3y+2y=sinx时，应设一个特解为y*=_ A.asinx B.acosx C

2、.asinx+bcosx D.x(asinx+bcosx)（分数：1.00）A.B.C.D.解析：4.微分方程的通解是_ A.x=y(y2+C) B.y=x(x2+C) C.x=y(2y2+C) D.x=y3+C（分数：1.00）A.B.C.D.解析：5.正项级数收敛，那么的收敛性为_ A.发散 B.收敛 C.可能收敛，也可能发散 D.无法判断（分数：1.00）A.B.C.D.解析：6.已知幂级数在x=2处收敛，那么级数在x=1处的敛散性为_ A.发散 B.收敛 C.条件收敛，但不绝对收敛 D.无法判断（分数：1.00）A.B.C.D.解析：7.空间坐标系中，方程y=2x-5代表_ A.直线

3、B.平行于x轴的平面 C.平等行于y轴的平面 D.平行于z轴的平面（分数：1.00）A.B.C.D.解析：方程中缺少z，故平面平行于z8.点(1，0，-1)在_上 A.y轴上 B.xoz平面上 C.xoy平面上 D.yoz平面上（分数：1.00）A.B.C.D.解析：坐标中y=0，故点在xoz平面上9.直线代表_ A.z轴 B.x轴 C.y轴 D.xoy平面上的直线（分数：1.00）A.B.C.D.解析：该线是平面yoz与xoz的交线，故代表z轴二、B填空题/B(总题数：1，分数：14.00)(1).=_（分数：1.27）填空项1:_（正确答案：*）解析：(2).=_（分数：1.27）填空项1

4、:_（正确答案：*）解析：(3).=_（分数：1.27）填空项1:_（正确答案：*）解析：解析 由公式 * 两式相减得 * 令*得 * 从而 *(4).已知级数收敛，则a的取值范围是_（分数：1.27）填空项1:_（正确答案：(1，+)）解析：(5).级数的收敛区间是_（分数：1.27）填空项1:_（正确答案：-1，1）解析：(6).极限用定积分可表示成_（分数：1.27）填空项1:_（正确答案：*）解析：(7).点(-2，3，-4)是第_卦限的点（分数：1.27）填空项1:_（正确答案：第6卦限）解析：(8).平行于向量a=(6，7，-6)的单位向量是_（分数：1.27）填空项1:_（正确答

5、案：* 因a=(6，7，-6)的模*，平行单位向量有两个，即*）解析：(9).点(a，b，c)关于xoy平面对称的点的坐标是_，关于y轴对称的点的坐标是_，关于坐标原点对称的点的坐标是_（分数：1.27）填空项1:_（正确答案：(a，b，-c)；(-a，b，-c)；(-a，-b，-c)）解析：(10).点P(-3，4，5)到x轴的距离是_；到y轴的距离是_；到z轴的距离是_（分数：1.27）填空项1:_（正确答案：两点P1P之间d2=*）解析：解析 点P(-3，4，5)在z轴上的投影为点P1(-3，0，0)，故点P到x轴的距离为两点P1P之间的距离，而*同理，点P到y轴的距离为d2=*，点P到

6、z轴的距离为*(11).过点M(2，9，-6)且与连接坐标原点及点M的线段OM垂直的平面方程为_（分数：1.27）填空项1:_（正确答案：2(x-2)+9(y-9)-6(z+6)=0，即2x+9y-6z-121=0）解析：三、B解答题/B(总题数：3，分数：48.00)判别级数的敛散性（分数：10.00）(1).（分数：2.00）_正确答案：(解 *，由于*收敛，所以*也收敛)解析：(2).（分数：2.00）_正确答案：(解 *，由于*发散，所以*也发散)解析：(3).判定级数的敛散性（分数：2.00）_正确答案：(解 利用比值法，可知*这种方法失效因为*是单调增加趋于e的，所以*，有*，即u

7、n+1un，从而*0，原级数发散)解析：(4).求极限 (1) (2)0，则级数发散；级数的基本性质 （分数：2.00）_正确答案：(因为级数*收敛，所以由收敛的必要条件可知一般项的极限* 同理，级数*收敛，所以由收敛的必要条件可知一般项的极限*)解析：(5).求级数的和函数（分数：2.00）_正确答案：(* 其中，对结果中前一半再求导： * (收敛半径自己求) 对两边积分得 * 而(1)式第2部分 * (收敛半径自己求) 所以*收敛半径取以上两个收敛半径的公共部分 两边积分得 * =-xln(1-x)-2x-2ln(1-x)解析：判定级数的收敛性（分数：4.00）(1).（分数：2.00）_

8、正确答案：(cos=(-1)n，n=1，2，原级数转化为* 这是一个交错级数因*，且*，则它是收敛的而*故*是发散的所以原级数是条件收敛的)解析：(2).（分数：2.00）_正确答案：(*，则 * 所以原级数绝对收敛 注意：此题级数*收敛性判定的区别!)解析：求下列级数收敛半径和收敛域（分数：34.00）(1).（分数：2.00）_正确答案：(由于 * 所以收敛半径R=1 当x=-1时，原级数为*，它是一个交错级数，且通项单调递减，趋于零，故它是收敛的； 当x=1时，原级数为*，它是一个正项级数，由于通项*，由比较判别法和调和级数敛散性知，它是发散的 所以，原级数的收敛域为-1，1)解析：(2

9、).（分数：2.00）_正确答案：(这是一个缺偶次项的幂函数，由 * 得 * 当*时，原级数变为*，通项不趋于零，故它是发散的 所以原级数的收敛半径是*，收敛域是*)解析：(3).求幂级数的收敛域及其和函数（分数：2.00）_正确答案：(方法一 令y=2x+1，则原幂级数化为*，由收敛半径公式得新幂级数的收敛半径R=1当y=1时，幂级数化为*，因其通项不趋于零，故该级数发散所以*的收敛域为-1y1，从而原幂级数的收敛域是-12x+11，即-1x0记和函数*两边积分得*为了消去n，再对上式中*积分，得*对上式求导得*故*因此，原幂级数的和函数为*方法二 为了求幂级数*的和函数，对几何级数*两边求

10、导，得*对该等式两边乘以y2后求导，得*即得*)解析：(4).将有理分式函数展开成x的幂级数（分数：2.00）_正确答案：(将有理分式部分分式化为 * 由基本展开式*，得 * 且f(0)=1)解析：(5).将有理分式函数展开成x+4的幂级数（分数：2.00）_正确答案：(因*，而 * 所以所求的幂级数为 *)解析：(6).已知两点和B(3，0，2)，试计算向量方向余弦，方向角，及在x轴上的投影（分数：2.00）_正确答案：(由*和B(3，0，2)得*，且易得*方向余弦：*方向角：*在x轴上的投影PrjxAB=-1，就是向量在x轴上的分向量)解析：(7).求向量a=(4，-3，4)在向量b=(2

11、，2，1)上的投影（分数：2.00）_正确答案：(由a=(4，-3，4)，b=(2，2，1)得 *)解析：(8).设a=(3，5，-2)，b=(2，1，4)，问与满足怎样的关系，才能使a+b与z轴垂直?（分数：2.00）_正确答案：(a+b与z轴垂直的充要条件为(4+b)(0，0，1)=0而 a+b=(3，5，-2)+(2，4)=(3+2，5+，4-2) 所以 (3+2，5+，4-2)(0，0，1)=0 即 -2+4=0，=2 故当且仅当=2时，a+b与z轴垂直)解析：(9).已知A(1，-1，2)，B(3，3，1)，C(3，1，3)，求与同时垂直的单位向量（分数：2.00）_正确答案：(*=

12、(2，4，-1)，*=(0，-2，2) 由叉积的定义有 * 所求单位向量为 *)解析：(10).求过三点(1，1，-1)，(-2，-2，2)，(1，-1，2)的平面方程（分数：2.00）_正确答案：(设三点分别是A，B，C，则*就是这一平面的法向量，*=(-3，-3，3)，*=(0，-2，3)，因而所求平面的法向量为 * 从而平面方程为 -3(x-1)+9(y-1)+6(z+1)=0 即 x-3y-2z=0)解析：(11).求过两点A(3，-2，1)，B(-1，0，2)的直线方程（分数：2.00）_正确答案：(*=(-4，2，1)是所求直线的方向向量，故所求的直线方程为 *)解析：(12).求

13、过点(2，0，-3)且与直线垂直的平面方程（分数：2.00）_正确答案：(由已知直线的方向向量即为所求平面的法向量 * 由点法式得所求平面方程为 -16(x-2)+14(y-0)+11(z+3)=0 即 16x-14y-11z-65=0)解析：(13).求过点(3，1，-2)且通过直线的平面方程（分数：2.00）_正确答案：(因为平面过已知直线，故平面也过点B(4，-3，0)，并且平面平行于向量s=(5，2，1) 又因为平面过点A(3，1，-2)，所以向量*=(1，-4，2)也平行于平面，从而所求平面的法向量为 * 由点法式得所求平面方程为 -8(x-3)+9(y-1)+22(z+2)=0 即

14、 8x-9y-22z-59=0)解析：(14).求点(-1，2，0)在平面x+2y-z+1=0上的投影（分数：2.00）_正确答案：(过点A且垂直于平面的垂线方程为 * 将其化为参数方程 x=-1+t，y=2+2t，z=-t 代入平面方程得 (-1+t)+2(2+2t)-(-t)+1=0 即*，所以垂足为*，即为所求的投影)解析：(15).求直线在平面4x-y+z=1上的投影直线的方程（分数：2.00）_正确答案：(设过直线*的平面方程为 (2x-4y+z)+(3x-y-2z-9)=0 即 (2+3)x+(-4-)y+(1-2)z-9=0 要使该平面与平面4x-y+z=1垂直，需且只需它们的法向量互相垂直，即 (4，-1，1)(2+3，-4-，1-2)=0 由此得*，代入待定式得投影平面方程为17x+31y-37z-117=0 故投影直线方程为 *)解析：(16).设一平面垂直于平面z=0并通过从点到直线和垂线，求此平面方程（分数：2.00）_正确答案：(直线*的对称式方程为* 设点(1，-1，1)到直线L的垂足为B(0，k，1+k)，则*=(-1，k+1，k)垂直于L的方向向量l=(0，1，1)从而*l=0，即-10+(k+1)1+k1=0，也即*故垂足的坐标为* 又所求平面