高中数学 第一章 导数及其应用 1.7 定积分的简单应用教学案 新人教A版选修2-2

1、1.7预习课本P5659，思考并完成下列问题(1)利用定积分求平面图形的面积时，需要知道哪些条件？(2)两条曲线相交围成的平面图形能否用定积分求其面积？1定积分与平面图形面积的关系(1)已知函数f(x)在a，b上是连续函数，由直线y0，xa，xb与曲线yf(x)围成的曲边梯形的面积为S.f(x)的符号平面图形的面积与定积分的关系f(x)0Sf(x)dxf(x)g(x)，那么直线xa，xb与曲线yf(x)，yg(x)围成的平面图形的面积为Sf(x)g(x)dx.点睛对于不规则平面图形面积的处理原则定积分只能用于求曲边梯形的面积，对于非规则的曲边梯形，一般要将其分割或补形为规则的曲边梯形，再利用定

2、积分的和与差求面积对于分割或补形中的多边形的面积，可直接利用相关面积公式求解2变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数vv(t)(v(t)0)在时间区间a，b上的定积分，即sv(t)dt.3力做功(1)恒力做功：一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s，则力F所做的功为WFs.(2)变力做功：如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从xa移动到xb(a4时，P点向x轴负方向运动故t6时，点P离开原点后运动的路程s1(8t2t2)dt(8t2t2)dt.当t6时，点P的位移为(8t2t2)dt0

3、.(2)依题意，(8t2t2)dt0，即4t2t30，解得t0或t6，因为t0对应于点P刚开始从原点出发的情况，所以t6为所求，(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误活学活用一质点在直线上从时刻t0(s)开始以速度vt24t3(m/s)运动，求点在t4 s时的位置及经过的路程解：在t4 s时该点的位移为(t24t3)dt(m)即在t4 s时该点距出发点 m.又因为v(t)t24t3(t1)(t3)，所以在

4、区间0,1及3,4上的v(t)0，在区间1,3上，v(t)0.所以在t4 s时的路程为s(t24t3)dt(t24t3)dt(t24t3)dt4(m).求变力做功典例一物体在变力F(x)(x的单位：m，F的单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向从x0运动到x5处，求变力所做的功解变力F(x)所做的功为W(2x4)dx(x22x)dx(x24x) 126072(J)求变力做功的方法步骤(1)要明确变力的函数式F(x)，确定物体在力的方向上的位移(2)利用变力做功的公式WF(x)dx计算(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳 活学活用在弹性限度内，用力把弹簧从平衡位置拉长

5、10 cm所用的力是200 N，求变力F做的功解：设弹簧所受到的拉力与弹簧伸长的函数关系式为F(x)kx(k0)，当x10 cm0.1 m时，F(x)200 N，即0.1k200，得k2 000，故F(x)2 000x，所以力F把弹簧从平衡位置拉长10 cm所做的功是W2 000xdx1 000x210(J)层级一学业水平达标1在下面所给图形的面积S及相应的表达式中，正确的有()ABC D解析：选D应是Sf(x)g(x)dx，应是S2dx(2x8)dx，和正确故选D.2一物体以速度v(3t22t)m/s做直线运动，则它在t0 s到t3 s时间段内的位移是()A31 m B36 mC38 m D

6、40 m解析：选BS(3t22t)dt(t3t2)333236(m)，故应选B.3.如图所示，阴影部分的面积是()A2 B2C. D.解析：选CS (3x22x)dx，即F(x)3xx3x2，则F(1)31，F(3)9999.SF(1)F(3)9.故应选C.4由yx2，yx2及x1围成的图形的面积S()A. B.C. D1解：选A图形如图所示，Sx2dxx2dxx2dxx3.5曲线yx33x和yx围成的图形面积为()A4 B8C10 D9解析：选B由解得或或两函数yx33x与yx均为奇函数，S2x(x33x)dx2(4xx3)dx28，故选B.6若某质点的初速度v(0)1，其加速度a(t)6t

7、，做直线运动，则质点在t2 s时的瞬时速度为_解析：v(2)v(0)a(t)dt6tdt3t212，所以v(2)v(0)32211213.答案：137一物体沿直线以速度v m/s运动，该物体运动开始后10 s内所经过的路程是_解析：Sdt(1t) .答案：8由y，x1，x2，y0所围成的平面图形的面积为_解析：画出曲线y(x0)及直线x1，x2，y0，则所求面积S为如图所示的阴影部分面积Sdxln xln 2ln 1ln 2.答案：ln 29计算曲线yx22x3与直线yx3所围图形的面积解：由解得x0及x3.从而所求图形的面积S(x3)(x22x3)dx(x23x)dx.10. 设yf(x)是

8、二次函数，方程f(x)0有两个相等的实根，且f(x)2x2.(1)求yf(x)的表达式；(2)求yf(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积解：(1)yf(x)是二次函数且f(x)2x2，设f(x)x22xc.又f(x)0有两个等根，44c0，c1，f(x)x22x1.(2)yf(x)的图象与两坐标所围成的图形的面积S (x22x1)dxx3x2x.层级二应试能力达标1一物体在力F(x)4x1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x1运动到x3处(单位：m)，则力F(x)所做的功为()A8 JB10 JC12 J D14 J解析：选D由变力做功公式有：W(4x1)dx(2x2x) 14(

9、J)，故应选D.2若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t的函数，若已知产量的变化率为a，那么从3小时到6小时期间内的产量为()A. B3C63 D63解析：选Ddt63，故应选D.3以初速40 m/s竖直向上抛一物体，t s时刻的速度v4010t2，则此物体达到最高时的高度为()A. m B. mC. m D.m解析：选A由v4010t20，得t24，t2. h(4010t2)dt80(m)故选A.4(山东高考)直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A2 B4C2 D4解析：选D由4xx3，解得x0或x2或x2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y4x与曲线yx3

10、在第一象限内围成的封闭图形的面积为4.5椭圆1所围区域的面积为_解析：由1，得y . 又由椭圆的对称性知，椭圆的面积为S4 dx3dx.由y ，得x2y216(y0)由定积分的几何意义知dx表示由直线x0，x4和曲线x2y216(y0)及x轴所围成图形的面积，dx164，S3412.答案：126.如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为_解析：S阴2(eex)dx2(exex) 2，S正方形e2，P.答案：7求由曲线xy1及直线xy，y3所围成平面图形的面积解：作出曲线xy1，直线xy，y3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积求交点坐标：由得故A

11、；由得或(舍去)，故B(1,1)；由得故C(3,3)，8函数f(x)ax3bx23x，若f(x)为实数集R上的单调函数，且a1，设点P的坐标为(b，a)，试求出点P的轨迹所形成的图形的面积S.解：当a0时，由f(x)在R上单调，知b0.当a0时，f(x)在R上单调f(x)0恒成立或f(x)0恒成立f(x)3ax22bx3，ab2且a1.因此满足条件的点P(b，a)在直角坐标平面xOy的轨迹所围成的图形是由曲线yx2与直线y1所围成的封闭图形联立解得或如图，其面积Sdx(31)(31)4.(时间： 120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项

12、中，只有一项是符合题目要求的)1若f(x)sin cos x，则f(x)等于()Asin xBcos xCcos sin x D2sin cos x解析：选A函数是关于x的函数，因此sin 是一个常数2以正弦曲线ysin x上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是()A. B0，)C. D.解析：选Aycos x，cos x1,1，切线的斜率范围是1,1，倾斜角的范围是.3函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )A1个 B2个C3个 D4个解析：选A设极值点依次为x1，x2，x3且ax1

13、x2x3b，则f(x)在(a，x1)，(x2，x3)上递增，在(x1，x2)，(x3，b)上递减，因此，x1，x3是极大值点，只有x2是极小值点4函数f(x)x2ln x的单调递减区间是()A. B.C. ，D.，解析：选Af(x)2x，当0x时，f(x)0，故f(x)的单调递减区间为.5函数f(x)3x4x3(x0,1)的最大值是()A1 B.C0 D1解析：选Af(x)312x2，令f(x)0，则x(舍去)或x，f(0)0，f(1)1，f1，f(x)在0,1上的最大值为1.6函数f(x)x3ax23x9，已知f(x)在x3处取得极值，则a()A2 B3C4 D5解析：选Df(x)3x22a

14、x3，f(3)0.3(3)22a(3)30，a5.7函数f(x)ax3ax22ax1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是()A.B.C.D.解析：选Df(x)ax2ax2aa(x2)(x1)，要使函数f(x)的图象经过四个象限，则f(2)f(1)0，即0，解得a. 故选D.8.已知函数f(x)的导函数f(x)a(xb)2c的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能是()解析：选D由导函数图象可知，当x0时，函数f(x)递减，排除A、B；当0x0，函数f(x)递增因此，当x0时，f(x)取得极小值，故选D.9定义域为R的函数f(x)满足f(1)1，且f(x)的导函数f(x)，则满足2f(x)x

15、1的x的集合为()Ax|1x1 Bx|x1Cx|x1 Dx|x1解析：选B令g(x)2f(x)x1，f(x)，g(x)2f(x)10，g(x)为单调增函数，f(1)1，g(1)2f(1)110，当x1时，g(x)0，即2f(x)x1，故选B.10某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y117x2，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y22x3x2(x0)，为使利润最大，应生产()A6千台 B7千台C8千台 D9千台解析：选A设利润为y，则yy1y217x2(2x3x2)18x22x3，y36x6x2，令y0得x6或x0(舍)，f(x)在(0,6)上是增函数，在(6，)上是

16、减函数，x6时y取得最大值11已知定义在R上的函数f(x)，f(x)xf(x)0，若ab，则一定有()Aaf(a)bf(b) Baf(b)bf(a)Caf(a)bf(b) Daf(b)bf(a)解析：选Cxf(x)xf(x)xf(x)f(x)xf(x)0，函数xf(x)是R上的减函数，ab，af(a)bf(b)12若函数f(x)，且0x1x2b BabCab Da，b的大小不能确定解析：选Af(x)，令g(x)xcos xsin x，则g(x)xsin xcos xcos xxsin x.0x1，g(x)0，即函数g(x)在(0,1)上是减函数，得g(x)g(0)0，故f(x)b，故选A.二、

17、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分把答案填在题中的横线上)13若f(x)x3f(1)x2x5，则f(1)_.解析：f(x)x22f(1)x1，令x1，得f(1).答案：14设a0，若曲线y与直线xa，y0所围成封闭图形的面积为a2，则a_.解析：Sdxxaa2，a.答案：15已知函数f(x)满足f(x)f(x)，且当x时，f(x)xsin x，设af(1)，bf(2)，cf(3)，则a，b，c的大小关系是_解析：f(2)f(2)，f(3)f(3)，因为f(x)1cos x0，故f(x)在上是增函数，2130，f(2)f(1)f(3)，即cab.答案：ca0知，f(x)与1xex1同

18、号令g(x)1xex1，则g(x)1ex1.所以当x(，1)时，g(x)0，g(x)在区间(1，)上单调递增故g(1)1是g(x)在区间(，)上的最小值，从而g(x)0，x(，)综上可知，f(x)0，x(，)，故f(x)的单调递增区间为(，)19(本小题满分12分)某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x0)万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)a(x1)2，g(x)6ln(xb)(a0，b0)已知投资额为零时收益为零(1)求a，b的值；(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大

19、利润解：(1)由投资额为零时收益为零，可知f(0)a20，g(0)6ln b0，解得a2，b1.(2)由(1)可得f(x)2x，g(x)6ln(x1)设投入经销B商品的资金为x万元(0x5)，则投入经销A商品的资金为(5x)万元，设所获得的收益为S(x)万元，则S(x)2(5x)6ln(x1)6ln(x1)2x10(0x5)S(x)2，令S(x)0，得x2.当0x2时，S(x)0，函数S(x)单调递增；当2x5时，S(x)0，函数S(x)单调递减所以当x2时，函数S(x)取得最大值，S(x)maxS(2)6ln 3612.6万元所以，当投入经销A商品3万元，B商品2万元时，他可获得最大收益，收

20、益的最大值约为12.6万元20(本小题满分12分)已知函数f(x)ax22ln(1x)(a为常数)(1)若f(x)在x1处有极值，求a的值并判断x1是极大值点还是极小值点；(2)若f(x)在3，2上是增函数，求a的取值范围解：(1)f(x)2ax，x(，1)，f(1)2a10，所以a.f(x)x.x0，x20，因此，当x0，当1x1时f(x)0，x1是f(x)的极大值点(2)由题意f(x)0在x3，2上恒成立，即2ax0在x3，2上恒成立a在x3，2上恒成立，x2x2 12，6，min，a.即a的取值范围为.21(本小题满分12分)已知函数f(x)x2mln x，h(x)x2xa.(1)当a0时，f(x)h(x)在(1，)上恒成立，求实数m的取值范围；(2)当m2时，若函数k(x)f(x)h(x)在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围解：(1)由f(x)h(x)，得m在(1，)上恒成立令g(x)，则g(x)，当x(1，e)时，g(x)0；当x(e，)时，g(x)0，所以g(x)