抛物线典型例题

1、 抛物线题型1：抛物线定义的应用1. 已知是抛物线的焦点，、是该抛物线上的两点，则线段的中点到轴的距离为_.2. 设抛物线的焦点为，准线为，点为该抛物线上一点，点为垂足，如果直线的斜率为，那么=_.3. 已知以为焦点的抛物线上的两点、满足，则弦的中点到准线的距离为_.题型2：求抛物线的方程4. 设抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，则该抛物线的方程是_.5. 设抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，且焦点到准线的距离为2，则该抛物线的方程是_.6. 已知抛物线过点，则该抛物线的标准方程为_，其准线方程为_.7. 已知抛物线的焦点在直线上，则该抛物线的标准方程为_，其准线方程为_.8. 已知动

2、圆与圆：外切，且与轴相切，则动圆圆心的轨迹方程为_.9. 若抛物线（）的焦点恰好是双曲线的右焦点，则=_.10. 若抛物线（）的准线经过双曲线的一个焦点，则=_.11. 已知抛物线的焦点是双曲线的左顶点，则该抛物线的标准方程为_.12. 已知抛物线的焦点在轴上，直线与该抛物线交于点，并且，则该抛物线的标准方程为_.题型3：抛物线的性质13. 已知抛物线：（）过点，与抛物线有公共点的直线平行于（为坐标原点），并且直线与之间的距离等于，则直线的方程为_.14. 过抛物线（）的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于、两点，、在轴上的正射影分别为、. 若梯形的面积为，则=_.15. 过点且与抛物线有一个公

3、共点的直线方程为_.16. 以抛物线的顶点为圆心的圆交于、两点，交的准线于、两点。已知，则的焦点到准线的距离为_.17. 已知正方形的两个顶点、在抛物线上，、两点在直线：上，则正方形的面积为_.题型4：与抛物线有关的最值问题18. 若抛物线（）上的动点到焦点的距离的最小值为1，则=_.19. 已知直线：和直线：，则抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值为_，此时点的坐标为_.20. 已知定长为3的线段的端点、在抛物线上移动，是该抛物线的焦点，、两点到准线的垂线分别是、，则线段的中点到轴的距离的最小值是_，此时点的坐标为_.21. 已知直线的方程为，是抛物线上一动点，则当点到直线的距离最短

4、时，点的坐标为_，这个最短距离为_.题型5：与抛物线的焦点弦有关的问题22. 已知斜率为1的直线经过抛物线的焦点，并与该抛物线交于、两点，则线段的长为_.23. 过抛物线（）的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于、两点，点在轴上方，求.24. 点在直线：上，若存在过点的直线交抛物线于、两点，且，则称点为“好点”，那么下列结论中正确的是_.A. 直线上不存在好点B. 直线上仅有两个点是“好点”C. 直线上有且仅有一个点是“好点”D. 直线上有无穷多个点是“好点”25. 过抛物线（）的焦点作互相垂直的两条直线，分别交抛物线的准线于、两点，又过、两点分别作抛物线的对称轴的平行线，交抛物线于、两点，证明：

5、、三点共线.26. 已知已知抛物线（）的焦点为，经过点的直线交该抛物线于、两点，点在该抛物线的准线上，并且，证明：直线必经过坐标原点.题型6：与抛物线有关的综合问题27. 已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线交于、两点，则=_.28. 已知抛物线：，直线：. 证明：上不存在关于直线对称的两个不重合的点.29. 已知抛物线的焦点为，、是该抛物线上的两动点，且（）. 过、两点分别作抛物线的切线，设这两条切线的交点为.（1） 证明：为定值；（2） 设的面积为，写出的表达式，并求出的最小值.30. 已知动圆过定点，且与直线相切，其中.（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）设、是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当、变化且为定值（）时，证明：直线恒过某一定点，并求出该定点的坐标.31. 设椭圆的中心和抛物线的顶点均为原点，、的焦点均在轴上，过的焦点作直线，与交于、两点，在、上各取两个点，将其坐标记录于下表中：340（1） 求、的标准方程；（2） 设是准线上一点，直线的斜率为，、的斜率依次为、，请探究：与的关系；（3） 若与交于、两点，为的左焦点，问是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明