10_数学分析简明教程答案(尹小玲_邓东皋)[1]

1、第十章 数项级数1 级数问题的提出1证明：若微分方程有多项式解，则必有证明 由多项式解得，.从而 ，且 .将上述结果代入微分方程，得.比较系数得递推公式如下：由此解得，因而2试确定系数，使满足勒让德方程.解 设，则，故，.将上述结果代入勒让德方程，得.比较系数，得递推公式如下：由此解得从而可以得到.其中取任何常数2 数项级数的收敛性及其基本性质1求下列级数的和：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）解（1）由于，故，所以级数的和.（2）由于，故.所以级数的和.（3）（4），因此欲求原级数的和，只需计算级数即可对级数，设其部分和，则，故.从而，即，因此原级数（5）由于级数的部分和，故，从

2、中解得.又由于当时，故，因此（6）级数的部分和，从而，从中解得.因此2讨论下列级数的敛散性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）解（1）由于通项，故原级数发散（2）由于，均收敛，故原级数收敛（3）由于通项，故原级数发散（4）由于，从而部分和，因而原级数收敛（5）由于，从而时，故原级数收敛3证明定理10.2定理10.2 若级数,收敛，则级数也收敛，且.证明 设，则由已知条件知，存在有限数，使得，设级数的部分和数列为，则，所以也收敛，且4设级数各项是正的，把级数的项经过组合而得到新级数，即，其中，若收敛，证明原来的级数也收敛证明 设，则.由于收敛，故有界，即有界，即存在，使得，都有.又由于是正项

3、级数，故，而且单调上升，由单调有界原理可知，原级数收敛3 正项级数1判别下列级数的收敛性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）；（17）；（18）；（19）；（20）解（1）由于，而发散，所以级数发散（2）对任意正整数，都成立关系式，而级数收敛，由比较判别法知，原级数收敛（3）由于，所以级数发散（4）由于，而收敛，故收敛（5）由于，故，而收敛，由比较判别法知，级数收敛（6）由于，而发散，故发散（7）由于，故级数收敛（8）由于，故原级数收敛（9）方法1因为，而和均收敛，故收敛方法2 由于对一切

4、都成立，而收敛，故收敛（10）由于，而收敛，故原级数收敛（11）由于，因此，若收敛，则原级数收敛.考虑级数，由于，且收敛，故收敛，因而原级数收敛（12）由于，而收敛，因而原级数收敛（13）由于，而发散，因而原级数发散（14）由于，由级数收敛的必要条件知，原级数发散（15）由于，而收敛，故原级数收敛（16）由于，而级数收敛，故原级数收敛（17）由于，而级数收敛，故原级数收敛（18）由于极限，而对于级数，根据，故由根式判别法知，级数收敛，因而原级数收敛（19）对通项进行分子有理化可得，由于发散，故原级数发散（20）由于，而级数均收敛，因而原级数收敛2判别下列级数的敛散性：（1）；（2）；（3）；（

5、4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）解（1）由于，所以发散（2）由于，根据达朗贝尔判别法知，原级数收敛（3）由于，故收敛（4）由于，故发散（5）这个级数不能用达朗贝尔判别法和柯西判别法判别，也不能用拉阿比判别法判别，但由斯特林公式可知，因而，通项的极限不为0，由级数收敛的必要条件知原级数发散（6）因为，故收敛（7）由于，由柯西判别法知，原级数收敛（8）由于，因此，如果级数收敛，则原级数也收敛.考虑级数，由于，故它收敛，因而原级数也收敛（9）当时，级数显然收敛；当时，由于因而收敛，因此原级数对一切收敛（10）级数的一般项，由于，因而原级数收敛3判别级数的敛散性：（1）；（2）；

6、（3）；（4）；（5）；（6）；（7）（是任意实数）；（8）（是任意实数）解（1）当时，故当时，而收敛，由比较判别法知，原级数收敛（2）由于，且，故存在，当时，从而，即当时，而级数收敛，故原级数收敛（3）方法1 由于，该极限为型极限，由Lhospital法则得，由Raabe判别法知，原级数发散方法2 由于，所以，而级数发散，由比较判别法知，原级数发散.（4）由于，由Raabe判别法知，原级数收敛一般地，对，当时，对一切，成立，所以，从而发散；当时，由于，由Raabe判别法知，级数收敛（5）由于，所以存在，当时，有，即，从而，故，而收敛，故收敛（6）由于，所以存在，当时，有，即，从而，故，而收敛

7、，故收敛（7）（是任意实数）由于当时，所以若发散，则原级数必发散，而时发散，因而时，原级数发散当时，由于，因而，利用柯西积分判别法知，原级数收敛（8）（是任意实数）当时，由于且收敛，故原级数收敛；当时，由于， 因而，由柯西积分判别法知，原级数发散；当时，由于，而就是前面时的级数，已证得它发散，因而原级数发散4利用Taylor公式估算无穷小量的阶，从而判别下列级数的收敛性：（1）；（2）；（3）；（4）解（1）令，则，从而，因此 .该极限为有限数，因而与是同阶无穷小量，由于当时收敛，时发散，因而原级数当时收敛，时发散（2）由于，故，这是一个有限数，从而与是同阶无穷小量，因此原级数与的收敛性一致，

8、所以当即时，原级数收敛，而当即时，原级数发散（3）由于，故原级数是负项级数，又由于，故与是同阶无穷小量，因而当，即时，原级数收敛，时，原级数发散（4）因为，因而当时，上式与是同阶无穷小量，故原级数收敛；当时，上式与是同阶无穷小量，故原级数发散5讨论下列级数的收敛性：（1）；（2）；（3）；（4）解（1）令函数，则该函数在非负、连续且单调下降当时，由于，因而原级数发散当时，由于因而由柯西积分判别法知，当时级数发散，当时级数收敛综上可知，级数在时收敛，在时发散（2）根据级数通项，可令函数，则且在非负、连续且单调下降，由于.由柯西积分判别法知，原级数发散（3）由于，故当充分大时，因而，由（1）知收敛

9、，从而原级数收敛（4）当时，由于，故时级数收敛，时级数发散当时，令，则，由于，故存在，任意时，从而，而由（1）知收敛，从而原级数收敛当时，令，则，由于，从而当充分大时，从而，而由（1）知发散，因此原级数发散综上可知，原级数的收敛情况是：当或时收敛，当或时发散6利用拉阿比判别法研究下列级数的收敛性（1） (是实数)；（2）解（1）级数的通项，因而根据二项展开式得 .（上式也可以在第二个等式处将化为直接使用二项展开式），所以当即时，原级数收敛，当即时，原级数发散当时，Raabe判别法失效，此时，由于对一切，即而且，因而根据高斯判别法知，原级数发散（2）.根据原级数的通项知，因而，所以当，即时级数收

10、敛；当，即时级数发散.当时，Raabe判别法失效，此时由于，即而且显然有界，因而根据高斯判别法可知，原级数发散7已知两正项级数和发散，问，两级数的收敛性如何？答 级数一定发散事实上，而发散，故发散可能收敛，也可能发散例如均发散，但由于对一切都成立，故收敛8若正项级数收敛，证明：证明 设正项级数的部分和，则下述两式成立：， （*）， （*）用（*）减去（*）得，两端同时除以可得，即 ，由于正项级数收敛，因而存在，假设，根据收敛数列的算术平均数构成的新数列收敛，且与原数列极限相等可知，因此，从而结论成立9设求证：(1) 收敛；(2) 证明（1）由于收敛，故收敛，而收敛，从而收敛，即收敛（2）考虑的

11、一个子列，则，即10. 设，且，求证反之是否成立?证明 令，构造数列，则的前项的几何平均数可构成一个新数列，由于新数列收敛且与数列极限相同，故，因而结论成立反之不真，反例如级数，由于，故，而，从而，因此反之结论不一定成立11利用级数收敛的必要条件证明：（1）；（2）证明（1）考虑级数，由于，故级数收敛，因而（2）考虑级数，由于，所以级数收敛，因而12设，且数列有界，证明级数收敛证明 由数列有界知，存在，对，都有，从而，进一步可得，又由于收敛，因而由比较判别法知，级数收敛13设正项级数收敛，证明也收敛证明 由于对任意，均成立，而级数和级数均收敛，从而级数也收敛，由比较判别法知，级数收敛14设，求

12、证：（1）当时，收敛；（2）当时，发散问时会有什么结论？证明（1）当时，令，则由知，存在，时，有，从而当时，而收敛，故原级数收敛（2）当时，令，则由知，存在，时，有，从而当时，而发散，故原级数发散当时，考虑级数，由于，令，则，此即为本题的情形，但由第5题（1）知，该级数在时收敛，时发散，从而当时，级数可能收敛也可能发散4 一般项级数1讨论下列级数的收敛性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）解（1）令，则，显然当时，即单调下降并趋向于0由于级数前有限项的值不影响该级数的敛散性，因而由Leib

13、niz判别法知原交错级数收敛（2）由于舍去偶数项，原级数变成交错级数令，则，显然当时，即单调下降并趋向于0因而从第3项开始，数列单调下降并趋向于0，故取奇数时该数列也是单调下降并趋向于0的，由Leibniz判别法知，原交错级数收敛（3）由于数列的前项的算术平均数构成的新数列极限与原数列极限相等，故根据数列单调递减趋向于0知，数列单调递减趋向于0，又因为原级数是一个交错级数，由Leibniz判别法知原交错级数收敛（4）由于，而级数及收敛，但级数发散，因而原级数发散（5）由于，又由于单调下降趋于0，故由Leibniz判别法知原级数收敛（6）由于收敛，故原级数绝对收敛，因而自身收敛（7）由于单调递减

14、趋向于0，根据Leibniz判别法知原级数收敛进一步可知：当时级数条件收敛，当时级数绝对收敛（8）由于，而收敛，故原级数收敛且绝对收敛（9）由于，故，即的部分和数列有界，而数列单调趋于0，由Dirichlet判别法知级数收敛，即收敛，从而原级数收敛（10）由于，又由于收敛，由上题知亦收敛，因此原级数收敛（11）若，则存在，当时，从而，即当时，单调下降，又，因而由Leibniz判别法知，级数收敛，因而原级数收敛.若，则存在，当时，从而，即当时，数列单调趋于0，又的部分和数列有界，由Dirichlet判别法知，原级数收敛综上可知当时，原级数收敛（12）不难验证，故数列单调下降趋于0，由Leibni

15、z判别法知原级数收敛（13）.由于，设该级数部分和数列为，则，即，从而部分和数列发散，因此原级数发散（14）先考虑数列，由于，故，从而数列有界.又因为时，关于单调下降；时，关于单调增加，因而数列单调有界.又因为级数显然收敛，因此由Abel判别法知，当时，原级数收敛（15）由于，故，由本节例4知级数收敛，又数列单调上升且有界，由Abel判别法知，级数收敛.同理级数亦收敛，因而原级数收敛（16）取，则数列单调下降趋于0，级数的部分和数列满足，即的部分和数列有界，由Dirichlet判别法知原级数收敛2讨论下列级数是否绝对收敛或条件收敛：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）

16、；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16），其中；（17）；（18）解（1）由于是一定值，故当充分大时，数列单调下降趋于0，因而由Leibniz判别法知，原级数收敛再考虑级数，由于，而发散，故由比较判别法的极限形式知，级数发散因而原级数条件收敛（2）由于，这对一切都成立，而级数收敛，由比较判别法知，级数收敛，即原级数绝对收敛（3）由本节例4知级数收敛，又因为，而级数发散，收敛，因而级数发散，由比较判别法知级数发散，即原级数条件收敛（4）当时，对任，由于，而收敛，故级数收敛，因而原级数绝对收敛当时，由于单调下降趋于0，且部分和有界，从而由Dirichlet判别

17、法知级数收敛但由于，而发散，收敛，因而发散从而当时，原级数对一切条件收敛当时，由于对一切，有（如若不然，则，从而，矛盾），而，故，由级数收敛的必要条件知原级数发散综上可知，原级数当时绝对收敛、当时条件收敛、当时发散（5）由于数列单调递减并趋向于0，由Leibniz判别法知原级数收敛；再考虑级数，由于，而发散，因而级数发散，即原级数条件收敛（6）由于，而收敛，因而原级数绝对收敛（7）由于当时，而当充分大时，数列单调递减趋于0，由Leibniz判别法知，级数收敛，从而原级数收敛；再考虑级数，由于，而发散，因而级数发散，即原级数条件收敛（8）由于数列与是等价无穷小量，而单调递减趋于0，由Leibni

18、z判别法知原级数收敛；再考虑，由于，而发散，因而级数发散，即原级数条件收敛（9）当时，由于对任意，都有，而级数收敛，故原级数绝对收敛当时，由于对一切成立，而级数发散，由比较判别法知，级数发散；另一方面，考虑函数，由于当充分大时，因而数列单调递减趋于0，由Leibniz判别法知原级数收敛，因而原级数条件收敛综上可知，原级数当时绝对收敛，当时条件收敛（10）当时，由于，而收敛，故原级数绝对收敛当时，由于，而发散，由比较判别法知，级数发散；另一方面，当时，由Taylor公式知：，从而，由Leibniz判别法知收敛，又由于都收敛，故原级数收敛因而原级数当时条件收敛综上可知，原级数当时绝对收敛，当时条件

19、收敛（11）当时，由于，而级数收敛，故原级数绝对收敛当时，由于，而级数发散，因而级数发散；另一方面，由于，而级数收敛，数列单调上升且有界，由Abel判别法知原级数收敛所以原级数条件收敛当时，因而通项的极限，由级数收敛的必要条件知原级数发散综上可知，原级数当时绝对收敛，当时条件收敛，当时发散（12）级数通项，由于，所以当，即时，级数收敛，从而原级数绝对收敛；当，即时，原级数变为，显然条件收敛；当，即时，由于，故可选取，使，当充分大时，有，即，即，由级数收敛的必要条件知，原级数发散综上可知，原级数在时绝对收敛，在时条件收敛，在时发散，其中（13）由于，所以当时，原级数绝对收敛；当时，原级数发散；当

20、时，级数可能收敛，也可能发散，例如令，则，但级数当时收敛，时发散（14）由于，所以当时，原级数绝对收敛；当时，级数通项的极限不为0，故原级数发散；当时，级数变成，显然发散（15）由于，因而当时原级数绝对收敛；当时，原级数发散；当时，此时级数变为或，这两个级数不能用达朗贝尔判别法判别，但由斯特林公式知：，因而，通项的极限不为0，由级数收敛的必要条件知和都发散综上可知，原级数当时绝对收敛，当时发散（16），其中当时，由Taylor公式知，由于级数绝对收敛，因而原级数绝对收敛当时，由Taylor公式知，又因为级数条件收敛，收敛，从而原级数条件收敛当时，令是满足的任一正整数（显然），这时根据Taylo

21、r公式有：由于在上式中所有奇数项构成的级数均条件收敛，而所有偶数项构成的级数均发散，故原级数发散综上，原级数当时绝对收敛，当时条件收敛，当时发散（17）由于，根据Taylor公式知，因此，当时，由于级数均绝对收敛，故原级数绝对收敛；当时，由于级数条件收敛，绝对收敛，故原级数条件收敛；当时，由于级数条件收敛，发散，故原级数发散；当时，原级数通项的极限不是0，故原级数发散综上，原级数当时绝对收敛，当时条件收敛，当时发散（18）显然当时级数绝对收敛，当时级数发散，故以下只考虑的情形将通项化为.当，即时，由于上式中第二、三项组成的级数均绝对收敛，而对于级数，由于数列单调下降趋于0，且部分和数列有界，由

22、Dirichlet判别法知它是收敛的另一方面，由于，而且级数发散，收敛，故级数发散综上可知，当时，级数条件收敛，因而原级数也条件收敛当时，仿照（16）小题方法知级数发散综上可知，原级数当时绝对收敛，当时条件收敛，当时发散3利用Cauchy收敛原理判别下列级数的敛散性：（1）；（2）解（1）由于，故，由极限的定义知，对，存在，时，都有，对于时，都有 .因而由Cauchy收敛原理知原级数收敛（2）取，对任意，取，这时，由Cauchy收敛原理知级数发散4求证：若级数收敛，则级数收敛但反之不成立，请举出例子证明 由于级数收敛，故，从而当充分大时，又由于，故，因此当充分大时，由比较判别法知级数收敛反之不

23、成立，如令，则级数收敛，但发散5若级数收敛，且，问是否能判断出也收敛？研究例子解 不能断定也收敛如果令，则显然收敛，又，由收敛，发散知发散但此时有，因此由已知条件不能断定也收敛事实上，也不能断定发散，例如在题设下，取，则，但收敛6证明：若级数及都收敛，且，则级数也收敛若级数与都发散，问级数的收敛性如何？证明 由于级数与均收敛，故由Cauchy收敛原理知，当时，对，有，从而，再由已知条件知即，由Cauchy收敛原理知级数收敛若级数与都发散时，级数可能收敛，也可能发散如级数与都发散，对一切，均有，但级数发散，而收敛7证明：若收敛，则当时，也收敛若发散，则当时， 也发散证明 若收敛，当时，由于级数收

24、敛，而数列单调有界，由Abel判别法知级数也收敛若发散，假设时收敛，则由第一步已证结论知，级数也收敛，矛盾！故当时，也发散8求证：若数列有极限，收敛，则也收敛证明 设是的部分和，是级数的部分和，由于收敛，故数列收敛，设，由于，所以，从而，由于存在，故也存在，即的部分和数列有极限，因而级数收敛9求证：若绝对收敛，收敛，则收敛证明 由于绝对收敛，因而它收敛，设是它的部分和，则有极限，即存在，故数列有界，设再根据绝对收敛和收敛，由Cauchy收敛原理知，当时，对，有及因而，由Cauchy收敛原理知级数收敛10求证：若级数和都收敛，则级数，也收敛证明 这里每个级数都是正项级数，由于，而与均收敛，因而收

25、敛；又因为，因而也收敛；最后，由于，而 与都收敛，由比较判别法知，级数也收敛11设正项数列单调上升且有界，求证：收敛证明 由于正项数列单调上升且有界，故由单调有界原理知其收敛，设，级数，由于，故级数收敛，又单调有界，故由Able判别法知级数收敛12对数列，定义，求证：（1）如果有界，收敛，且，则收敛，且有.（2）如果与都收敛，则收敛证明（1）由于有界，故存在，使得对一切自然数，有对，由收敛知，存在，当时，对，有， （*）又由知，存在，当时，有. （*）取，则，（*）与（*）都成立，此时应用Able变换可得，由Cauchy收敛原理知收敛又由Abel变换得，两端同时取极限得，再由已知条件有界及可得

26、，因而（2）由于收敛，故其部分和数列有界，即存在，都有又由收敛知，也收敛，故其部分和数列极限存在，即数列极限存在，因而有界，即存在，有取，则，和同时成立对，由于，都收敛，由Cauchy收敛原理知，存在，当时，对，有，故由Able变换，可得，由 Cauchy收敛原理可知，级数收敛13设收敛，且，求证收敛，并且.证明 由收敛知，其部分和数列极限存在，令设的部分和为，则.由于，故对上式两端取极限得，即收敛且，因此14下列是非题，对的请给予证明，错的请举出反例：（1）若，则收敛；（2）若，则收敛；（3）若收敛，则收敛；（4）若收敛，则绝对收敛；（5）若发散，则不趋于0；（6）若收敛，则收敛；（7）若收

27、敛，则收敛；（8）若收敛，则收敛；（9）若收敛，则答（1）错误如，但发散（2）正确设级数的部分和级数为，则，故数列收敛于0，因而原级数收敛（3）错误如收敛，但发散（4）正确由于收敛，故，从而，由数列极限定义知，存在，时，都有，故当时，有，由比较判别法知收敛，因而绝对收敛（5）错误例如发散，但（6）错误例如令，则收敛，令，则，但却发散（7）正确对，由收敛知，存在，都有，又由知，存在，时，都有，从而取，则时，都有，故收敛（8）错误如收敛，但却发散（9）错误反例如本章第3节习题915求下列极限（其中）：（1）；（2）解（1）考虑级数，由于，故其收敛，由Cauchy收敛原理知，存在，时，都有，特别地，

28、取，则上式变为，因此（2）考虑级数收敛，由于，故其收敛，由Cauchy收敛原理知，存在，时，都有，特别地，取，则上式变为，因此16若正项级数收敛，求证：证明 由于级数收敛，故对，都存在，当时，又根据已知条件知，所以当时，又由于，故存在，当时，有取，则当时，有，即5 无穷级数与代数运算1不用cauchy准则，求证：如果收敛，则也收敛证法1 设，由于，且收敛，故由比较判别法知，级数和均收敛，从而也收敛又由于，所以亦收敛证法2 设，则，由于收敛，根据比较判别法知，级数收敛，而，所以级数收敛2设收敛，求证：将相邻奇偶项交换后所成的级数收敛，且具有相同的和数证明 由于收敛，则其部分和数列为有极限，设又设

29、将级数相邻奇偶项交换后所成的级数为，其部分和数列为，则，所以，即级数收敛，且具有相同的和数3求证：由级数重排所得的级数发散证明 级数的重排为，考虑它的一个加括号后的级数：， （*）对于通项，由于，又因为发散，根据正项级数的比较判别法知，级数（*）发散，从而级数也发散否则若其收敛，则它加括号后得到的级数（*）也收敛，矛盾4证明：若条件收敛，则可把级数重排，使新级数部分和数列有一个子数列趋向于，有一子数列趋向证明 设，由于条件收敛，故只能有，而且，故可重排级数如下：在中依顺序取项，使其和刚好大于等于1，（即）；然后依次在中取足够多的项，使其与前面已取出的项的和相加刚好小于等于，设此时一共取出了项，则；回过头来，依次在中剩下的项中取足够多的项，使其与的和刚好大于等于3，设此时一共取出了项，则；再取剩下的项，依次类