直线与圆综合复习讲义

1、高考总复习五- 直线与圆综合一、疑难知识点导析：1、定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(1，1)，B(2，2)，P(，)之间数量关系的一个公式，其中的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后的值也就随之确定了.若以A为起点，B为终点，P为分点，则定比分点公式是 ，当P点为AB的中点时，=1，此时中点坐标公式是.2、3、确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式，要知道两种形式之间的相互转化及相互联系（1）圆的标准方程：，其中（，b）是圆心坐标，是圆的半径；（2）圆的一般方程：（0），圆心坐标为（-，-），半径为=

2、.4、 二、基本方法引导1直线与圆的位置关系的判定方法.（1）方法一直线：；圆：.一元二次方程（2）方法二直线: ；圆：，圆心（，b）到直线的距离为 d=2、点与圆的关系的判断方法：（1），点在圆外 （2）=，点在圆上（3）1+2两圆外离；|O1O2|=1+2两圆外切；| 1-2|O1O2|1+2两圆相交；| O1O2 |=|1-2|两圆内切；0| O1O2| 1-2|两圆内含.三、例题选讲直 线 相 关（一）、斜率与含参线性规划问题；例1若满足约束条件，目标函数仅在点（1，0）处取得最小值，则的取值范围是（ ）A B C D 解析：当目标函数的斜率非负时，需满足，解得；当目标函数的斜率为负时

3、，需要满足解得.综上，练习、已知平面区域D由以A（1，3）、B（5，2）、C（3，1）为顶点的三角形内部和边界组成。若在区域D内有无穷多个点可使目标函数取得最小值，则（ ）A. B. C.1 D.4解析：由A（1，3）、B（5，2）、C（3，1）的坐标画右上图（1）若，只有一个点为最小值，不合题意；（2）若，目标函数的斜率为，当目标函数与直线AC重合时有无穷多个点可使目标函数取得最小值，故；同时当目标函数与直线AB重合时有无穷多个点可使目标函数取得最大值.与题意矛盾，舍去.（3）若，目标函数的斜率为，当目标函数与直线BC重合时有无穷多个点可使目标函数取得最大值.与题意矛盾，舍.综上可知，.（二

4、）、对称的一般原理和特殊情况（）例1.求直线：关于直线l：对称的直线的方程.解析：联立直线和直线l解得交点E ，E点也在上.方法一：在直线：上找一点A（2，0），设点A关于直线l：的对称点B的坐标为（x0，y0），解得B.由两点式得直线b的方程为，即方法二：设直线b上的动点P关于：的对称点Q，则有解得Q（x0，y0）在直线：上，则，化简得.点评：方法二即著名的设而不求。练习1、曲线C：关于直线对称的曲线的方程_解析：如果关于对称的直线的斜率是，则可以直接用结论.以本题为例，点评：凡是关于对称的直线斜率为，直接代入即可.证明很简单，略.练习2、已知圆C与圆关于直线对称，则圆C的方程为（ ）2.

5、B. C. D. 解析：由得到 选C例2.已知点M，在直线：和y轴上各找一点P和Q，使MPQ的周长最小.解析：可求得点M关于的对称点M1，同样容易求得点M关于y轴的对称点M2.由M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为令，得到M1M2与轴的交点Q 解方程组得交点P 故点P、Q即为所求.（三）直线系问题：过两交点的直线系；平行直线系；垂直直线系.设直线，经过的交点的直线方程为（除去）；注意：可以推广到过曲线与的交点的方程为：。例2、 求过直线：与直线：的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.解析：设所求直线方程为：，当直线过原点时，则=0，则=1，此时所求直线方程为：；当所求直线不过原点时，令=

6、0，解得=，令=0，解得=，由题意得，=，解得，此时，所求直线方程为：.综上所述，所求直线方程为：或.例2、已知圆C：及直线求证：无论为任何实数，直线恒与圆C相交。证明：由易证直线过定点M，且，即点M在圆C内，点M又在直线上，故不论为任何实数，直线与圆C相交。练习、求证:无论为何值,直线与点P的距离都小于4证明：将直线方程按参数整理得，易得直线恒过定点M，求得|PM|，所以.而过点M且垂直PM的直线方程为又无论为何值,题设直线系方程都不可能表示直线 圆 相 关（一）圆的方程例1、求与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长等于的圆的方程。解析：因圆心在直线上，故可设圆心为.又圆与轴相切，此时可

7、设圆方程为又圆被直线截得的弦长为。考虑由圆半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，弦心距 ，解得当时，圆方程为当时，圆方程为练习1、求经过两已知圆和的交点，且圆心在直线：上的圆的方程。解析：设所求圆的方程为：即，圆心为C又C在直线上，解得，代入所设圆的方程得练习2、已知ABC的三个项点坐标分别是A，B ，C ，求ABC外接圆的方程。解析：设圆的方程为将三点A，B ，C 分别代入圆的方程得到： 解得所以，圆的方程是。例2.在平面直角坐标系中，已知圆和圆（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆

8、截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.解析：（1）直线的斜率肯定存在，设直线方程是，由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形算出斜率即可.或，故直线方程是（2）方法1：设点P坐标为，直线、的方程分别为：，即：因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，且两圆半径相等。故圆心到直线的距离与直线的距离相等。即：，即或化简得：或关于的方程有无穷多解当且仅当或解之得：点P坐标为或。方法2：点P在C1C2中垂线上，且与圆C1、圆C2构成等腰直角三角形，设P点坐标为计算可得点P为或练习、已知动圆过定点，且与直线相切，其中.（2） 求动圆圆心的轨迹的方程；（II）设A、B是轨迹上

9、异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标解析：（I）如图，设为动圆圆心，记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为（II）如图，设，由题意得（否则）且所以直线的斜率存在，设其方程为，显然，将与联立消去，得由韦达定理知（2） 当时，即时，所以，所以由知：所以直线可表示为，即，所以直线恒过定点（2）当时，由得=将式代入上式整理化简可得：，所以，此时直线的方程可表示为即所以直线恒过定点所以由（1）（2）知，当时，直线恒过定点，当时直线恒过定

10、点例3、若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.解析：曲线方程可化简为，即表示圆心为半径为的半圆，依据数形结合，当直线与此半圆相切时须满足圆心到直线距离等于，解得，因为是下半圆故（舍）.当直线过时，解得，故例4.已知直线及，求它们所围成的三角形的外接圆方程。解析：因为直线与的斜率分别为和，所以两条直线互相垂直，即此三角形为直角三角形。由及，可求得直角三角形的斜边所在的两个顶点分别为.故所求三角形的外接圆即为以A（2，2）和B（8，8）为直径端点的圆，其方程为，化简即例5.在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切（1）求圆的方程；（2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数

11、列，求的取值范围解：（1）设圆的半径为，等于原点到直线的距离，即得圆的方程为（2）不妨设由即得设，由成等比数列，得，即由于点在圆内，故 由此得所以的取值范围为练习、已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为(I)证明线段是圆的直径(II)当圆的圆心到直线距离的最小值为时，求P的值.解析：(I)证明1:整理得设是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则即整理得:,故线段是圆的直径.(II)解法1:设圆C的圆心为,则又因 所以圆心的轨迹方程为.设圆心C到直线的距离为,则当时,有最小值,由题设得.解法2:同解法1求得圆心的轨迹方程为设直线到直线的距离为,则因为与无公共点,所以当与

12、有且仅有一个公共点时,该点到直线距离的最小值为.故 消去得 点评:平面向量只起到叙述条件的作用,主要是方程思想的考察。（二）点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系点与圆的位置关系主要是判断点在圆上，圆内还是圆外；直线与圆基本上是考虑圆心到直线的距离与半径大小的比较；两圆相交，两圆作差即交线所在的直线方程，由圆心距来判断圆与圆的位置关系.例1.设直线与圆相交于P、Q两点，O为坐标原点，若，求的值。解析：圆过原点，并且，是圆的直径，圆心的坐标为，又在直线上，评注：注意运用题中的几何性质.练习、已知圆及直线.当直线被截得的弦长为时，则（ ）A B C D解析：圆心到直线的距离等于半径，解得例2、已知为圆

13、:的两条相互垂直的弦，垂足为,则四边形的面积的最大值为 解析:设圆心到的距离分别为,则四边形的面积练习、已知圆的方程为设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（ ）A. B C D解析：圆心坐标是，半径是，圆心到点的距离为，根据题意最短弦和最长弦（即圆的直径）垂直，故最短弦的长为，所以四边形的面积为.例3.点A是圆C: 上任意一点,A关于直线的对称点也在圆C上,则实数的值为_解析：圆心在直线上，于是练习、已知直线（是非零常数）与圆有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ）A 60条 B 66条 C 72条 D 78条解析：直线的斜率存在且不等于0，同时直线

14、不过原点；在圆上横纵坐标均为整数的点有共12个.直线与圆的交点可能为一个，这时候是过这12个点的切线方程，但要舍去4个与坐标轴平行的切线；当有两个交点的时候，有,去掉过原点的4条，去掉10条与坐标轴平行的.故一共60条.例4.在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线（）相交于两点.（1）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；（2）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由.解析：（1）点的坐标为，设，直线的方程为，与联立得消去得 于是，当时，（2）假设满足条件的直线存在，其方程为，则以为直径的圆的方程为，将代入得，设直线与以为直

15、径的圆的交点为，则有令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线（三）圆的性质：单位圆，切线方程，圆系；（1）若点在圆上，则过点点的切线方程为：；若点在圆上，则过点点的切线方程为：若点在圆在上，则过点点的切线方程为：；（2）经过两个圆与的交点的圆系方程是，当时，表示过两个圆交点的直线，换句话说，两相交圆作差得到相交直线的方程；（3）经过直线与圆的交点的圆系方程是；（4）圆系：设O1:，O2: 两圆相交于A、B两点，两圆作差即公共弦所在直线方程。经过两圆的交点的圆系方程为（不包括O2方程）A、圆的切线问题1.直线与圆相切的判定以及与切线有关的参数问题都可以利用圆心

16、到切线距离等于半径列方程判断或求解；涉及切线长的问题，可以利用勾股定理求2.对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k不存在情形21世纪教育网3.圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题例1. 若圆C：x2y22x4y30关于直线2axby60对称，则由点M(a，b)向圆所作的切线长的最小值是( )A2 B3 C4 D6例2. 如图，圆与坐标轴交于点.求与直线垂直的圆的切线方程；设点是圆上任意一点（不在坐标轴上），直线交轴于点，直线交直线于点，点坐标为，求弦的长；求证：为定值.B、弦长问题求圆的弦长的常用方法(1)几何法：设圆的半径为，弦心距为，弦长为

17、l，则.(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：.注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题规律方法技巧处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形例1. 已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数_.例2. 直线与圆相交于M,N两点，若，则k取值范围是 （ ）A B C DC、与圆有关的最值问题数形结合法求解与圆有关的最值问题：(1)形如t形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如t(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题例1. 已知点P(3

18、,4)和圆C:(x2)2+y2=4,A,B是圆C上两个动点,且|AB|=,则(O为坐标原点)的取值范围是( )21教育名师原创作品A3,9 B1,11 C6,18 D2,22例2如果直线和函数的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是 （ ）A. B. C. D.D、与圆有关的轨迹问题求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下做法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等例1设A为圆上的动点，PA是圆的切线且|PA|=1，则P点的轨