第十三届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛初一组决赛 [全国通用]

1、第十三届全国“华罗庚庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（初一组）第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（初一组）（建议考试时间：2008年4月19日10:0011:30）一、填空（每题10分，共80分）1. 某地区2008年2月21日至28日的平均气温为-1，2月22日至29日的平均气温为-0.5，2月21日的平均气温为-3，则2月29日的平均气温为 .2. 已知(新+奥+运)=2008，其中每个汉字都代表0到9的数字，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，则算式= .3. 代数和12008+2200732006420051003100610041005的个位数字是 .4. 用

2、一个平面去截一个长方体,裁面是一个多边形, 这个多边形的边数最多有 条.5. 一列数1,3,6,10,15,21,中,从第二个数开始,每一个数都是这个数的序号加上前一个数的和,那么第2008个数是 .6. 当x取相反数时,代数式ax+bx对应的值也为相反数,则ab等于 .7. 已知是以x为未知数的一元一次方程,如果,那么的值为 .8. 在34方格网的每个小方格中心都放有一枚围棋子,至少要去掉 枚围棋子,才能使得剩下的棋子中任意四枚都不构成正方形的四个顶点.二、解答下列各题(第题10分,共40分,要求写出简要过程)9. 如果一个锐角三角形的三个角的度数都是正整数,且最大角是最小角的4倍，那么这个

3、三角形的最小角的度数可能是哪些值？10. 小明将164个桃子分给猴子,余下的几个留给了自己,每只猴子得到了数目相同的桃子,小明留给自己的桃子数是一只猴子的四分之一,问共有多少只猴子?11. 下图中,E,F为三角形ABC边上的点,CE与BF相交于P. 已知三角形PBC的面积为12, 并且三角形EBP, 三角形FPC及四边形AEPF的面积都相同,求三角形EBP的面积. 12. 现有代数式x+y, x-y, xy和 ,当x和y取哪些值时,能使其中的三个代数式的值相等?三、解答下列各题(每题15分,共30分,要求写出详细过程)13. 对于某些自然数n, 可以用n个大小相同的等边三角形拼成内角都为120

4、的六边形. 例如, n=10时就可以拼出这样的六边形,见右图,请从小到大,求出前10个这样的n. 14. 对于有理数x,用x表示不大于x的最大整数, 请解方程第十三届“华罗庚金杯”少年数字邀请赛决赛试题参考答案（初一组）一、填空（每题10分，共80分）题号12345678答案129862017036064二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9. 答案:20,21,22.解答: 设最小角为x, 最大角为4x, 另一个角为y. 则由题目的条件得, , 由的前两个式子得到: , 解得; 又由的第三个式子得到, 所以.评分参考: 1) 给出三个关系给4分; 2)得出范围给4分;

5、3)给出答案给2分.10. 答案:10.解答: 设有n只猴子, 小明留给自己p个桃子. 每只猴子分到了4p个桃子. 则, 所以p是4的倍数, 令, 则, 是4的倍数. 令, 则, , 因为n是正整数, 所以. 当时, .评分参考: 1)给出p, n的关系给3分; 2)得到n, k的最终关系给4分; 3)得到答案给3分.11. 答案: 4解答: 设三角形EBP的面积为X, 连接AP. 若令三角形APF的面积为Y, 则三角形AEP的面积为. 因为, 而, , 所以有, 解得, 即, 所以X=4. 三角形EBP的面积为4.评分参考: 1)引出辅助线给2分; 2)得到X与Y的关系给4分; 3)得到答案

6、给4分.12. 答案: , , , .解答: 首先必须, 否则没有意义. 若, 则, 矛盾. 所以. 若, 则由, 或都得到, 所以, 即. 因此, 三个相等的式子只有两种可能:(1) . 由后一等式得到, 或, 而是不可能的, 因为此时由第一个等式得到, 矛盾. 当时, 由第一个等式得到, 即, 所以.(2) . 由后一等式同样得到, 或, 同样, 是不可能的, 而当时, 由第一个等式得到, 所以.评分参考: 1) (1)之前给2分; 2) (1)和(2)各给4分.三、解答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）13. 答案: 6,10,13,14,16,18,19,22,24,2

7、5.解答: 设所用的等边三角形的边长单位为1. 任何满足条件的六边形的外接三角形一定是一个边长为l的大等边三角形. 该六边形可以通过切去边长分别为的等国三角形的角而得到, 其中为正整数, 并且满足, .又由于用边长为1的等边三角形拼成的一个边长为x (正整数)的等边三角形所需要的个数是. 因此, , 其中, , .(1) 时, n可以为.(2) 时, n可以为. .(3) 时, 与上面不同的n可以为, ., .(4) 时,与上面不同的n可以为, ., ., =36-3=33.(5) 时, 与上面不同的n都比27大.(6) 时, 可以证明满足要求的n都不小于26.由(1)到(6)可得,前10个满足要求的n为6,10,13,14,16,18,19,22,24,25评分参考: 1)写出10个中的1个给1分; 2)给出足够的理由,例如(1)之前的部分给5分.14. 答案:或.解答: 因为方程左边的第1、3项都是整数, 所以是整数. 注意到,代入方程, 得到, . 所以是整数, 是10的倍数. 令, k是整数, 代入得, 其中, 对于有理数x, =. 所以有,