10-11高等代数与解析几何(2)试卷答案

1、暨南大学高等代数I试卷 考生姓名： 学号： 暨 南 大 学 考 试 试 卷教师填写2010- 2011 学年度 第_二_学期课程名称： 高等代数与解析几何II_授课教师姓名：_ _黄永东_ 考试时间: 2011 年_7_月_13_日课程类别必修 选修 考试方式开卷 闭卷 试卷类别(A、B) A 共 8 页考生填写 学院(校) 专业 班(级)姓名 学号 内招 外招 题 号一二三四五六七八九十总 分得 分得分评阅人一、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。共5小题，每小题4分，共20分）1 下列关于欧式空间中内积的结论错误的是（ B ）。 A； B；

2、 C. ； D. 。2. 设，则以下说法中错误的是（B ）。 A 若，则； B 对任意都有； C 如果，则； D ，为非零的首一多项式。3. 曲线对平面的射影柱面的方程为（ A ）。 A ； B ； C ； D 。4. 方程表示的曲线是（ B ）。 A 椭圆； B 双曲线； C 抛物线； D 无法确定。5. （ C ）不是矩阵与相似的充分必要条件。 A与等价； B与有相同的不变因子； C与等价； D与有相同的初等因子。得分评阅人二、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。共5小题，每小题4分，共20分）1. 除的余式为 12 。2. 给定的两个基：，；，。则由，

3、确定的上的线性变换在基，下的矩阵为 。3. 双曲抛物面上过点的两条直母线的交角为 。4. 设是数域上的维线性空间，是它的一个基，是上的一个线性函数，且，则 。5. 设二次曲线在直角坐标系中的方程是。取新的坐标系，满足，则曲线在新坐标系下的方程为 。得分评阅人三、计算题（共4小题，每小题10分，共40分）1. 求以为顶点，以为准线的锥面方程。解 因为是一条直线，故以为顶点，以为准线的锥面是一个平面，故我们要求的锥面为过点和直线的平面。先找到直线上两个点与，故由三个点确定的平面方程为 ，这就是所求的锥面方程。 （10分） 2. 设阶矩阵 。求的特征值和特征向量。解 由的特征方程 可得的特征值为 （

4、重），。 （4分） 当时，上述为不同的特征值。当时，可化为 ，故其一个基础解系为 ，。 当时，可化为 ，故其一个基础解系为 。 （7分）所以的属于的特征向量为 ，不全为零，属于的特征向量为 ，。 当时，上述特征值都为1，任意非零向量都是特征向量。 （10分）3. 设矩阵求正交矩阵，使为对角形。解 故的特征值为 （重），。 （2分）当时，由可得，故其一个基础解系为 ，。 当时，由可得，故其一个基础解系为 。 （6分）将、正规化得 ，再将它们化为单位向量得 ，。故所求矩阵为 ， 。 （10分）4. 求矩阵的若尔当典范形。解 先求的初等因子组。 （4分）故矩阵的初等因子组为， （7分）所以矩阵的若尔

5、当典范形为 。 （10分）得分评阅人四、证明题（共2小题，每小题10分，共20分）1. 设，证。证 对任意矩阵可以表示成 ，显然，故。 （5分） 若，则 ，故 ，所以 ，所以 ，故是直和。 由以上两点可得 。 （10分）2. 证明：次数大于零且首项系数为1的多项式是一个不可约多项式的方幂的充分必要条件为：对任意的多项式，必有，或者对某一正整数，。 证 （必要性）设次数大于零且首项系数为1的多项式是一个不可约多项式的方幂，即 。因为不可约多项式，故对任意多项式，有或者。若，则，即；若，则，即。 （5分） （充分性）反证法。设次数大于零且首项系数为1的多项式不是一个不可约多项式的方幂，即存在两个互素的不可约多项式与，都是的因