试题2019年北京师大实验中学高考数学模拟试卷（理科）（一）（3月份）解析版

1、2019年北京师大实验中学高考数学模拟试卷（理科）（一）（3月份）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A0，1，2，3，4，5，集合Bx|x210，则AB（）A0，2，4B3C0，1，2，3D1，2，32（5分）设实数x，y满足约束条件，则zx+y的最小值是（）AB1C2D73（5分）若实数a满足，则a的取值范围是（）ABCD4（5分）设xR，则“”是“（）x1”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5（5分）已知双曲线C：1（a0，b0），其中，双曲线半焦距为c，若抛物线y24cx

2、的准线被双曲线C截得的弦长为（e为双曲线C的离心率），则双曲线C的渐近线方程为（）AyByCyDy6（5分）已知奇函数f（x）在（，+）上是增函数，若af（3），bflog2（sin），cf（0.20.3），则a，b，c的大小关系为（）AabcBcabCcbaDbca7（5分）用一块圆心角为240、半径为R的扇形铁皮制成一个无底面的圆锥容器（接缝忽略不计），则该容器的体积为（）ABCD8（5分）九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士、凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表

3、达，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则公士得（）A三分鹿之一B三分鹿之二C一鹿D一鹿、三分鹿之一二、填空题：本大题共6小题，每小题5分9（5分）在等比数列an中，前n项和为Sn，若S36，S654，则公比q的值是 10（5分）已知数列an为等比数列，且a3a11+2a724，则tan（a1a13）的值为 11（5分）已知曲线f（x）lnx+nx在xx0处的切线方程为y2x1，则 f（1）+f（1） 12（5分）已知实数x，y满足约束条件，则zx2y的最大值为 13（5分）设二次函数f（x）ax2+bx+c（a，b，c为实常数）的导函数为f（

4、x），若对任意xR不等式f（x）f（x）恒成立，则的最大值为 14（5分）已知抛物线C：x24y的焦点为F，E为y轴正半轴上的一点且OE3OF（O为坐标原点），若抛物线C上存在一点M（x0，y0），其中x00，使过点M的切线lME，则切线l在y轴的截距为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（13分）已知f（x）12sin（x+）cosx3，x0，（1）求f（x）的最大值、最小值；（2）CD为ABC的内角平分线，已知ACf（x）max，BCf（x）min，CD2，求C16（13分）在多面体CABDE中，ABC为等边三角形，四边形ABDE为菱形，平面ABC平面ABDE，AB2，

5、DBA（）求证：ABCD；（）求点B到平面CDE距离17（14分）近年电子商务蓬勃发展，2017年某网购平台“双11”一天的销售业绩高达1682亿元人民币，平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.70，对快递的满意率为0.60，其中对商品和快递都满意的交易为80次（1）根据已知条件完成下面的22列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”？对快递满意对快递不满意合计对商品满意80对商品不满意合计200（2）为进一步提高购物者的满意度，平台按分层抽样方法从中抽取10次

6、交易进行问卷调查，详细了解满意与否的具体原因，并在这10次交易中再随机抽取2次进行电话回访，听取购物者意见求电话回访的2次交易至少有一次对商品和快递都满意的概率附：K2（其中na+b+c+d为样本容量）P（K2k）0.150.100.050.0250.010k2.0722.7063.8415.0246.63518（13分）已知bn为正项等比数列，b22，b48，且数列an满足：anbn1log2bn（）求an和bn的通项公式；（）求数列an的前n项和Tn，并求使得（1）nTn恒成立的取值范围19（14分）已知椭圆1（ab0）左顶点为M，上顶点为N，直线MN的斜率为（）求椭圆的离心率；（）直线l

7、：yx+m（m0）与椭圆交于A，C两点，与y轴交于点P，以线段AC为对角线作正方形ABCD，若|BP|（i）求椭圆方程；（ii）若点E在直线MN上，且满足EAC90，求使得|EC|最长时，直线AC的方程20（13分）已知函数f（x）2lnxax2（aR）（1）当a1时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）的图象始终在函数g（x）2x3图象的下方，求实数a的取值范围2019年北京师大实验中学高考数学模拟试卷（理科）（一）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A0，1，2，3，4，5，集合Bx|

8、x210，则AB（）A0，2，4B3C0，1，2，3D1，2，3【分析】分别求出集合A，集合B，由此能求出AB【解答】解：集合A0，1，2，3，4，5，集合Bx|x210x|，AB0，1，2，3故选：C【点评】本题考查交集的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题2（5分）设实数x，y满足约束条件，则zx+y的最小值是（）AB1C2D7【分析】由题意作平面区域，由解得A（，），从而求最小值【解答】解：由题意作平面区域如下，由解得，A（，），故zx+y的最小值是+，故选：A【点评】本题考查了线性规划，同时考查了学生的作图能力及数形结合的思想方法应用3（5

9、分）若实数a满足，则a的取值范围是（）ABCD【分析】利用对数函数的单调性分别求解不等式与，取交集得答案【解答】解：logaa，0a1，又，a，由得：a的取值范围是（，1）故选：C【点评】本题考查对数不等式的解法，考查了对数函数的单调性，是基础题4（5分）设xR，则“”是“（）x1”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由得x0或x1，由（）x1得x0，则“”是“（）x1”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本

10、题的关键5（5分）已知双曲线C：1（a0，b0），其中，双曲线半焦距为c，若抛物线y24cx的准线被双曲线C截得的弦长为（e为双曲线C的离心率），则双曲线C的渐近线方程为（）AyByCyDy【分析】由题意可得准线被双曲线C截得的弦长为，化简即可求出【解答】解：抛物线y24cx的准线：xc，它正好经过双曲线C：1（a0，b0）的左焦点，准线被双曲线C截得的弦长为：，3b2a2c2a2+b2，2b2a2，则双曲线C的渐近线方程为yx，故选：B【点评】本题考查了抛物线和双曲线的简单性质，考查了转化能力和运算能力，属于中档题6（5分）已知奇函数f（x）在（，+）上是增函数，若af（3），bflog2（

11、sin），cf（0.20.3），则a，b，c的大小关系为（）AabcBcabCcbaDbca【分析】根据题意，由奇函数的性质分析可得af（3）f（3）f（log23），进而可得log2（sin）00.20.31log23，结合函数的单调性分析可得答案【解答】解：根据题意，f（x）为奇函数，则af（3）f（3）f（log23），又由log2（sin）00.20.31log23，又由f（x）在（，+）上是增函数，则有bca；故选：D【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是掌握函数奇偶性与单调性的性质7（5分）用一块圆心角为240、半径为R的扇形铁皮制成一个无底面的圆锥容器（接缝忽略不

12、计），则该容器的体积为（）ABCD【分析】根据题意求出扇形围成的圆锥底面圆半径和高，再计算圆锥的体积【解答】解：扇形的圆心角为240，半径为R；设扇形围成的圆锥底面半径为r，高为h；则2rR，解得r；hR，则该圆锥的体积为Vr2hR故选：A【点评】本题考查了圆锥的结构特征与体积计算问题，是基础题8（5分）九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士、凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表达，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则

13、公士得（）A三分鹿之一B三分鹿之二C一鹿D一鹿、三分鹿之一【分析】五人分得的鹿肉斤数构成等差数列an，d0a1，S55，利用求和公式可得d，再利用通项公式即可得出【解答】解：五人分得的鹿肉斤数构成等差数列an，d0a11+，S55，+5，解得da5故选：A【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分9（5分）在等比数列an中，前n项和为Sn，若S36，S654，则公比q的值是2【分析】利用等比数列前n项和列方程组，能求出公比q的值【解答】解：在等比数列an中，前n项和为Sn，S36，S654，解得q2，公比q的值是2

14、故答案为：2【点评】本题考查等比数列的公比的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题10（5分）已知数列an为等比数列，且a3a11+2a724，则tan（a1a13）的值为【分析】由已知条件a3a11+2a724，以及等比数列的性质a3a11，从而得到，由此能求出tan（a1a13）的值【解答】解：由等比数列an的性质可得，a3a11a72，由a3a11+2a724，则3a3a114，则a3a11则tan（a1a13）tantan故答案为：【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11（5分）已知曲线f（x

15、）lnx+nx在xx0处的切线方程为y2x1，则 f（1）+f（1）3【分析】求出原函数的导函数，利用f（x0）2求得x0，再由函数值相等求得n，则答案可求【解答】解：由f（x）lnx+nx，得f（x），则f（x0）2，得f（），即n1f（x）lnx+x，则f（1）1，f（1）2f（1）+f（1）3故答案为：3【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是中档题12（5分）已知实数x，y满足约束条件，则zx2y的最大值为1【分析】由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值【解答】解：实数x，y满足约束条件，如图区域为开放的阴影部分，由解得B（5，3），函数zx2y过点（5，3）

16、时，zmaxx2y1故答案为：1【点评】本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值是解答的关键13（5分）设二次函数f（x）ax2+bx+c（a，b，c为实常数）的导函数为f（x），若对任意xR不等式f（x）f（x）恒成立，则的最大值为【分析】由已知可得ax2+（b2a）x+（cb）0恒成立，即（b2a）24a（cb）b2+4a24ac0，且a0，进而利用基本不等式可得的最大值【解答】解：f（x）ax2+bx+c，f（x）2ax+b，对任意xR，不等式f（x）f（x）恒成立，ax2+bx+c2ax+b恒成立，即ax2+（b2a）x+（cb）0恒成立，故（b2a）2

17、4a（cb）b2+4a24ac0，且a0，即b24ac4a2，4ac4a20，ca0，1，可令t，即t1，t1时，ac，b0；故t1时，22，当且仅当t1+时，取得最大值22故答案为：22【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，导函数，恒成立问题，最值，基本不等式，是函数方程不等式导数的综合应用，难度大14（5分）已知抛物线C：x24y的焦点为F，E为y轴正半轴上的一点且OE3OF（O为坐标原点），若抛物线C上存在一点M（x0，y0），其中x00，使过点M的切线lME，则切线l在y轴的截距为1【分析】根据ME与切线l垂直列方程求出M点坐标，从而得出切线l的方程，得出截距【解答】解：由题意可得

18、：F（0，1），E（0，3），由x24y可得y，y，直线l的斜率为y|xx0，直线ME的斜率为切线lME，结合x024y0解得x02，不妨设M（2，1），则直线l的方程为y1x2，即yx1直线l在y轴的截距为1故答案为：1【点评】本题考查了抛物线的性质，切线的求解，直线位置关系的判断，属于中档题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（13分）已知f（x）12sin（x+）cosx3，x0，（1）求f（x）的最大值、最小值；（2）CD为ABC的内角平分线，已知ACf（x）max，BCf（x）min，CD2，求C【分析】（1）首先f（x）6sin（2x+），由x0，得sin（2x+

19、），1，得f（x）max6，f（x）min3；（2）由角平分线性质定理得：AD24BD2，由余弦定理得BD21712cos，AD24424cos，得C【解答】（1）f（x）12sin（x+）cosx312（sinx+cosx）cosx36sinxcosx+6cos2x33sin2x+3cos2x6sin（2x+），x0，2x+，sin（2x+），1，f（x）max6，f（x）min3；（2）由角平分线性质定理得：2，AD24BD2，BCD中，BD21712cos，ACD中，AD24424cos，4424cos6848coscos，C【点评】本题考查yAsin（x+）的最值，余弦定理，把函数转化

20、为yAsin（x+）此种形式是关键16（13分）在多面体CABDE中，ABC为等边三角形，四边形ABDE为菱形，平面ABC平面ABDE，AB2，DBA（）求证：ABCD；（）求点B到平面CDE距离【分析】（）取AB中点O，连结CO，DO，推导出COAB，DOAB，从而AB面DOC，由此能证明ABCD（）推导出CO面ABDE，COOD，ABCD，EDDC，设点B到面CDE的距离为h，由此能求出结果【解答】证明：（）取AB中点O，连结CO，DO，.（1分）ABC为等边三角形，COAB，（2分）四边形ABDE为菱形，DBA60，DAB为等边三角形，DOAB，（3分）又CODOO，AB面DOC，.（5

21、分）DC面DOC，ABCD.（6分）解：（）面ABDE面ABC，COAB，面ABDE面ABCAB，CO面ABC，CO面ABDE，OD面ABDE，COOD，（8分）ODOC，在RtCOD中，CD，由（1）得ABCD，EDAB，EDDC，（9分）SBDE，.（10分）设点B到面CDE的距离为h，（11分）即，h（12分）【点评】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、平面与平面位置关系，几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等17（14分）近年电子商务蓬勃发展，2017年某网购平台“双11”一天的销售业绩高达1682亿元人民币，平台对每

22、次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.70，对快递的满意率为0.60，其中对商品和快递都满意的交易为80次（1）根据已知条件完成下面的22列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”？对快递满意对快递不满意合计对商品满意80对商品不满意合计200（2）为进一步提高购物者的满意度，平台按分层抽样方法从中抽取10次交易进行问卷调查，详细了解满意与否的具体原因，并在这10次交易中再随机抽取2次进行电话回访，听取购物者意见求电话回访的2次交易至少有一次对商品和快递都满意的概率附：

23、K2（其中na+b+c+d为样本容量）P（K2k）0.150.100.050.0250.010k2.0722.7063.8415.0246.635【分析】（1）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）根据题意，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值【解答】解：（1）由题意，填写22列联表，如下：对快递满意对快递不满意合计对商品满意8060140对商品不满意402060合计12080200计算K21.59，由于1.596.635，所以没有99%的把握认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”；（2）根据题意，抽取的10次交易中，对商品和快递都满意的交易有4次，记为A、B、C

24、、D，其余6次不是都满意的交易记为1、2、3、4、5、6，那么抽取2次交易一共有45种可能：AB、AC、AD、A1、A2、A3、A4、A5、A6、BC、BD、B1、B2、56，其中2次交易对商品和快递不是都满意的有15种：12、13、14、15、16、56；所以，在抽取的2次交易中，至少一次对商品和快递都满意的概率是P【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题18（13分）已知bn为正项等比数列，b22，b48，且数列an满足：anbn1log2bn（）求an和bn的通项公式；（）求数列an的前n项和Tn，并求使得（1）nTn恒成立的取值范围【分析】（I

25、）设正项等比数列bn的公比为q，由b22，b48，可得q利用等比数列的通项公式可得bn又数列an满足：anbn1log2bn代入可得an（II）利用错位相减法可得Tn（1）nTn恒成立对n分类讨论，利用数列的单调性即可得出【解答】解：（I）设正项等比数列bn的公比为q，b22，b48，q2bn22n22n1又数列an满足：anbn1log2bn2n1an1n1，可得an（II）Tn1+，+，Tn+，化为：Tn4TnTn10，因此数列Tn为单调递增数列（1）nTn恒成立n为偶数时，（Tn）minT22n为奇数时，（Tn）minT11，解得1综上可得：的取值范围为（1，2）【点评】本题考查了数列递

26、推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法、数列的单调性、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19（14分）已知椭圆1（ab0）左顶点为M，上顶点为N，直线MN的斜率为（）求椭圆的离心率；（）直线l：yx+m（m0）与椭圆交于A，C两点，与y轴交于点P，以线段AC为对角线作正方形ABCD，若|BP|（i）求椭圆方程；（ii）若点E在直线MN上，且满足EAC90，求使得|EC|最长时，直线AC的方程【分析】（）根据直线的斜率可得a2b，即可求出离心率，（）（i）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得AC及丨PQ丨，根据勾股定理即可求出b的值，（ii）根据平行间的距离公式求出|AE|，再根据勾股定理和二次函数的性质即可求出【解答】解：（）左顶点为M，上顶点为N，直线MN的斜率为，e，（）（i）由（）知椭圆方程为x2+4y24b2，设A（x1，