东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试暨年长春市第二

1、2012年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2012年长春市高中毕业班第二次调研测试数 学(理科)本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第n 卷22题-24题为选考题，其它题为必考题 .考试结束后，将试卷和答题卡一并交回 注意事项：1. 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清 楚.3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超岀答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效.4. 保持卡面清洁，不

2、要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀 参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A B) P(A) P(B).如果A、B相互独立，那么 P(AB) P(A) P(B).如果事件A在一次试验中发生的概率为p，那么n次独立重复试验中事件 A恰好发生k次的概率为k kn kPn(k) CnP (1 P)第I卷(选择题，共60分)是符合一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给岀的四个选项中，只有一项题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上)5.1.设集合AA.2,1,0,1,BB.0,10,123,4，则 AI GrB)C. 2, 1D. 2,1 ai则实数2.i为虚数单位，复数为

3、纯虚数，a等于2 i11A. 2B.-C.33-，则23.已知(-)，tansin()等于243344A.-B. -C.D. 一55554.已知X、y取值如下表：1,0,1014568从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且 y如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积1B.-23D.-23c.4函数y sin( x ) (0且2)在区间諾上单调递减，且函数值从1减小到1,那么此函数图像与y轴交点的纵坐标为B.二2D.l46.1A.-2利用如图所示程序框图在直角坐标平面上打印一系列点，则打印的点 在坐标轴上的个数是7.已知函数A. X(C. X(X -,(x0)22 ,x ,(x,2,1

4、U4、2,f(x)0)8.若圆O的半径为3 , 直径的两个端点，贝9A. 3DEB.9.已知函数f X10.X2 (2, 4),A.( 11, 3)以O为中心，的离心率为3A.3Fi，则ff(x) 1的充要条件是B. XD.AB上一点 uurDF41 2 ax2bx4 2,)(,、2U4, uuuD使ABC.ujur3AD，E、c在X-I处取得极大值,D.)F为另在x2处取得极小值,2b的取值范围是B.( 6, 4)F2为两个焦点的椭圆上存在一点M，满足C.( 11,3)满足X,(D.:16, 8)uuuuuuuuuuiurMF12MO2mf2，则该椭圆1,1)，2B.-3s/6C.-36)

5、f(x) 2f(3),2“ 5D.-5y f (x 1)的图象关于点(1,0)对已知函数f (X)对任意X R都有f (X 称，且 f(4)4，则 f(2012)A . 0B . 4第口卷(非选择题，共 90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题-24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).。1( 8 L11.12.6x2 )dx13.F1, F2为双曲线14.15.D . 162当1 (a 0,b 0)的左右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂buuuuu

6、uiurMF13MF2足为M，满足，则此双曲线的渐近线方程为22 a bZ ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知4sin 丁 ABC的面积的最大值为.如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD AB1C1D1的内切球, 则以B1为顶点，以平面 ACD1被球O所截得的圆为底面的圆锥的 全面积为.cos2C -，且 c . 7，则 -2C116.17.三、解答题(本大题包括6小题，共70分，解答应写岀文字说明,Xi */137A1CB（本小题满分12分）等差数列an中，2印3a211，2a3 a2 a64，其前n项和为Sn.求数列an的通项公式；设数列bn, 1 满足bn，其前n项和为

7、Tn，3求证：Tn(nNSn114（本小题满分12分）18.I=t 冋)19.对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这 M名学生参加社区服务的次数根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：20.21.求出表中M、a（若距该校高一学生有360人，试估计他们参加社区服务 数在区间15, 学校决定对参加社区服务的学生进行表彰，对参加活动 次数在二_2）区间的学生发放价值参加活动次数在 20,25区间的学生发放价值 6 生发放价值40元的学习用品，对参加活动次数在10,15区间的学生发放价值所取样本中，任意取岀 2人，并设 X为此二人所获得用品价值之差

8、的绝对值，求 学期望E（X）.（本小题满分12分）如图，正方形 ABCD与直角梯形 ADEF所在平面互相垂直， ADE 90，AF / DE，DE DA 2AF求证：AC /平面BEF ；求平面BEF与平面ABCD所成角的正切值.（本小题满分12分） 已知抛物线的顶点是坐标原点O，焦点F在x轴正半轴上，JJJOB 3.分组频数频率5121合计M1的次p及图中a的值;20内的人数;元的学习用品对参加活动次数在80元的学习用品，对15,20区间的学20元的学习用品，在X的分布列与数2.UJUl与抛物线交于 A、B两点，且满足 OA求抛物线的方程；在x轴负半轴上一点 M （m,0），使得若P在抛物线

9、准线上运动，其纵坐标的取值范围是AB为直径的圆与准线的一个公共点，求点22.（本小题满分12分）AMB是锐角，求已知函数f(x)F的直线2,2，Q的纵坐标的取值范围.的取值范围；urn uun且PA PB 16，点Q 是以16x y求实数曲线y32,x ax bx,cln x, (x 1)0.20a、b的值；f（x）上存在两点M、（X 1）的图像在点（2,f（ 2）处的切线方程为N，使得 MON是以坐标原点 O为直角顶点的直角三角形,且斜边MN的中点在y轴上，求实数c的取值范围；当c e时，讨论关于x的方程f（x） kx （k R）的实根个数. 请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果

10、多做，则按所做的第一题记分23. （本小题满分10分）选修4 1:几何证明选讲.如图，在 ABC中，CD是 ACB的平分线， ACD的外接圆交BC于点E， AB求证：BE当AC 1，24. （本小题满分2AC .2AD ；EC 2时，求AD的长.10分）选修4 4 :坐标系与参数方程选讲在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x cos( 为参数).以0为极点，x轴正半y 1 sin 轴为极轴，建立极坐标系.曲线C2的极坐标方程为(cos求曲线Ci的普通方程和 C2的直角坐标方程； 求曲线Ci 上的点到曲线C2的最远距离.25.(本小题满分10分)选修4- 5 :不等式选讲. 设函数 f (

11、x) |2x 1| |2x 3|, X R .解不等式f(x) 5 ;1若g (x)的定义域为 R，求实数m的取值范围f (x) msin ) 1 ..1.2012年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2012年长春市高中毕业班第二次调研测试数学(理科)参考答案及评分标准每小题5分，共60分)一、选择题(本大题包括12小题，3. B 4. B简答与提示：C AI 6rB的意义是在集合 A中去掉属于集合 B的元素后余下的元素构成的集合，所以应当为 2, 1 .故选 C.A丄1 ai由于(1ai)(2i) (2 a) (2a1)i为纯虚数，所以2 a

12、0，即a2 .故选2 i(2i)(2 i)55A.b由题意可知，sin3sin()sin3.故选b.55b代入中心点(x,y),可知a1.45.故选 b.3131b由题意可知，该几何体为一个四棱锥，底面面积为一，高为1，体积为V1.故选23 22B.2A因为函数的最大值为1,最小值为1，且在区间,上单调递减，又函数值从1减小到 1，632 2 2可知为半周期，则周期为，2，此时原式为y sin(2x )，又3 62T1由函数过(，1)点，代入可得，因此函数为y si n(2x -)，令x 0,可得y .故选6 6 6 2A.B i = 3,打印点(一2,6)，x =- 1，y = 5，i =

13、3 1 = 2 ; i = 2,打印点(一1,5)，x = 0，y = 4，i = 2 1= 1 ; i = 1,打印点(0,4)，x = 1，y = 3，i = 1 1 = 0; 0不大于0,所以结束故选B.x0 时，ff(x)2x2D 当x9 0时，ff(x) - 9 14，所以x 9 4;当x9 1，所以X 9 2 ,2x 9迈(舍)或x -42所以x(,72u【4,)故选D.uuurUULTUULTUUUUULTUUUTD DEDF (DOOE)(DOOF)UULTuuuUULTUUU(DOOE)(DOOE) 198 .故选d.*f (x)2x axb ,由题意可知：l.J： t* d

14、sF*所构成的区域即为图中阴影部分，四边形的四个顶点坐标分”八: 另V为(3, 4),( 1, 2),( 3, 2),( 5, 4),12.13.14.可验证得：当 az a 2b取得最小值为5,b4 时，z11.于是x轴于a 2b取得最大值为3；当a 3,b4时,z a 2b的取值范围是(11,3).故选C.cN点，则N点坐标为(一，0)，并设2uuuuuuuuuuiurMF12 MO2mf2C过M作x轴的垂线，交2t，根据勾股定理可知,，则，而a2 故选C.cy f (x3t2可知,f(6.631)的图象关于点uuuu2umr2uujur2uuuuMF1NF1mf2nf22，得到(1,0)

15、对称可知，f (x)关于点(0,0)对称，即为奇函数.令x 3f (3) f( 3)2f(3)，进而 f( 3) f (3)，又 f( 3) f (3)可知 f (3)0，所以x) f(x) 0，可知f (x)是一个周期为12的周期函数，所以f (2012) f( 4) f (4)4 .故选 b.二、填空题(本大题包括13. 44小题，每小题5分，共20分)近x214. y7、315.4216.3简答与提示：1(8 15.6x2 )dx16x2dx，0dx等于单位圆面积的80“7dx 16.由双曲线的性质可推得uuuurmf2b，则uuuuMF1uuuuuuurMF1O 中,OMOF1 c，在

16、厶a，17.18.2x3016x2dx012，0a,由余弦定理可知ccosFQM19.a2c2 (3b)22ac可得a2 2b2，a，又ccb 22 2.2a b ，x因此渐近线方程为因为4sin 2 cos2C2 2cosC22cos C由余弦定理得27J22a7，所以212即 cos Ccos(AcosC1 1，2110，解得 cosC .422B) 2cos C(当且仅当aC1cosC 一2b 、-7 时，“b27,ab2aba2 b2”成立)，即S的最大值为手从而 S absinC 1 7 222420. O为球心，也是正方体的中心，O到平面ACD1的距离h等于体对角线的B到平面ACD

17、1的距离k等于体对角线的1丄，即为62-，即为36，2、. 33又球的半径R等于正方体棱长的一半，即为由勾股定理可知，截面圆的半径为_ 2圆锥底面面积为s （）6至.6 .6圆锥的侧面积为 S2丨二66 2 2圆锥的表面积为 SS +S22623三、解答题（本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分）21.（本小题满分12分）圆锥的母线可利用勾股定理求岀：l .厂？亠，2【命题意图】本小题主要考查等差数列基本量的求取、等差数列求和公式以及裂项求和的应用.【试题解析】解： 2a1 3a2 2a13(a1 d)5a13d11，2a3a2 a6 4，即 2(a12d) a1d a5d4，得d 2，

18、 a11，(3 分)ana1 (n1)d1 (n1) 2 2n1.（5分）Snna1n(n21)dn 1 n(n21) 22 n（7分）bn111111(n n12)，(9分)Sn1 1(n1)2 1n2 2nn(n 2)21/1111 、3 / Kl*x-（）（n N ）.（12分）2 12 n 1 n 2422.（本小题满分12分）【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布表、频率分布直方图、离散型随机变量的分布列以及数学期望的求法5【试题解析】由题可知0.25，12n，mp，10.05MMMM又 5 12 m 1 M解得 M 20， n 0.6， m2，p0.1则

19、15,20）组的频率与组距之比a为.(4分)由知，参加服务次数在区间15,20)上的人数为3600.6216 人.(6 分)所取岀两人所获得学习用品价值之差的绝对值宜可能为0元、20元:、40元、60元，则P(0)c；C12C；10 66 1P(20)190c2c；7719060P(40)P(60)c20 c；c-qc-c；。c5c-524 286190190所以10 1219022190，02040602 -C20190X的分布列为:(10 分)77 20竺40丝60互空1901901901901923.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关

20、系、 法及空间向量在立体几何中的应用.(12 分)二面角的求【试题解析】 解：证明：方法一.设ACI BD O，取BE中点G，连结FG、OG，则 OG II DE 且 OG = -DE . / AF / DE，DE 2AF， AF II OG 且 AF = OG , AFGO 是平行四边形， FG/AO. FG 平面 BEF , AO 平面 BEF , AO/平面 BEF，即 AC/平面 BEF .方法二.如图建立空间直角坐标系，设平面r uuum n FE则 r uurn FB0，而0uur ACuuu FE uuu FB(2,0,1)(0,2, 1)r(6 分)BEF的一个法向量为n (x

21、,y,z),2x z0，令 x 1，则 y 1 ,2y z 0uuurAC = 0，二uurAC，2,2,0),n (1,1,2).而AC 平面BEF，二AC/平面BEF .设平面ABCD与平面BEF所成二面角的平面角为r由知平面 BEF的法向量为n又平面ABCD与z轴垂直，所以平面ABCD的法向量可取为由条件知(6分)(1,12).(0,0,1)所以cosLT ur nLT n-r nur r| cos n n |2 .61T所以tan.2即为所求.212分)本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,是锐角24.(本小题满分【命题意图】法、直线与圆锥曲线的相关知识以及向量与圆锥曲线的综合知

22、识具体涉及到抛物线方程的求【试题解析】 解：设抛物线方程 y2 2px ( p 0)，直线I方程x ty ，联立消去x得y22p(ty 卫)，即y2 2 pty p2 0.2所以2t 4 a或2t 4a，而 2 a 2，所以 2 2t 6 或 6 2t 心22P42P342P3，即 P 2，所求抛物线方程为 y24x.（4分）uuuruuur因为AMB是锐角，所以MAMB0恒成立，即(X1m)(x2m) y1 y20，X1X2m(x1 x2) m2y20由得X1X21，y”24，y1y24t，X1X2t(y1 y2)p 4t22.所以1m(4t22) m2 40，而m0，所以t22 m2m对于

23、 tR恒成立，所以4m2m 2m32 m2m30A f m所以0 .乂4mm0解得m的取值范围m 1.由条件可设 P的坐标为（1,a）,2 a 1)32M( t,t t )，N(t, f(t)，(t 0). 若 t 1,则 f (t) t3 t2， uuuu uuur 由 MON是直角得，OM 即t4 t21由得f （x）0 .此时无解;1)根据条件ON 0，即 t2f (t) c In t.由于MN的中点在在x轴上，即t亠 uuuu1.同理有OMuuirON0，即 t2M， N的横坐标互为相反数，不妨(t3 t2)( t3 t2)y轴上，且 mon32(t t ) cl nt 0，90，所以

24、N点 不可能c -，由于函数(t 1)l ntg（t 1）的值域是（0,），实数c的取值 范围是（0,）即为所求.(7分)方程f(x) kx，即kxx3 x2, (xeln x, (x 1)1)，可知o 定是方程的根,所以仅就x 0时进行研究:方程等价于x2 x, (x 1 且X 0) elnx / 八,(x 1)x构造函数2x x,k(x)eln x / 八,(x 1) x(x 1 且 x0)对于x1且x 0部分，函数k(x)x2x的图像是开口向下的抛物线的一部分,取得最大值 1，其值域是(,0) U(0,-；4 4elnxe elnx对于x 1部分，函数k( x)，令k (x) 20，得x e，xx所以函数k(x)在(1,e)上单调递增，在(e,)上单调递减，所以 k(x)在x e时取 得最大值1, 其值域是0,1，k(1) 0,并且当x无限增大时，其图像在x轴上方向右无限接近x轴但永远也达不到x轴.(10分)因此可画岀函数k(x)的图像的示意图如下：可得： 当k 1时，方程f (x)