第一章全称量词与存在量词

1、3全称量词与存在量词31全称量词与全称命题32存在量词与特称命题学习目标1.了解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和特称命题的概念.3.能判断全称命题和特称命题的真假并掌握其判断方法知识点一全称量词与全称命题思考观察下列命题：(1)所有偶函数的图像都关于y轴对称；(2)每一个四边形都有外接圆；(3)任意实数x，x20.以上三个命题有什么共同特征？答案都使用了表示“全部”的量词，如“所有”、“每一个”、“任意”梳理全称量词“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”全称命题p含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为任意xM，

2、p(x)判断全称命题真假性的方法：对于全称命题“任意xM，p(x)”，要判断它为真，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断它为假，只需在M中找到一个x，使p(x)不成立，即“存在xM，p(x)不成立”知识点二存在量词与特称命题思考观察下列命题：(1)有些矩形是正方形；(2)存在实数x，使x5；(3)至少有一个实数x，使x22x20；(2)有些无理数的平方也是无理数；(3)正四面体的各面都是正三角形；(4)存在x1，使方程x2x20；(5)对任意xx|x1,3x40成立；(6)存在a1且b2，使ab3成立考点全称命题与特称命题的识别题点全称命题与特称命题的识别解(1)(5)含全称量

3、词“任意”，(3)虽不含有量词，但其本义是所有正四面体的各面都是正三角形故(1)(3)(5)为全称命题；(2)(4)(6)为特称命题，分别含有存在量词“有些”、“存在”、“存在”类型二全称命题与特称命题的真假判断例2判断下列命题的真假(1)存在，cos()cos cos ；(2)存在一个函数既是偶函数又是奇函数；(3)每一条线段的长度都能用正有理数表示；(4)存在一个实数x，使等式x2x80成立考点全称命题与特称命题的真假判断题点全称命题与特称命题的真假判断解(1)真命题，例如，符合题意(2)真命题，函数f(x)0既是偶函数又是奇函数(3)假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为，它的长度就不

4、是有理数(4)假命题，因为该方程的判别式310，若对任意xR，p(x)是真命题，求实数a的取值范围考点全称命题与特称命题的应用题点存在性问题与恒成立问题求参数的范围解(1)关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非空，(2a1)24(a22)0，即4a70，解得a，实数a的取值范围为.(2)对任意xR，p(x)是真命题对任意xR，ax22x10恒成立，当a0时，不等式为2x10不恒成立，当a0时，若不等式恒成立，则a1.即a的取值范围是(1，)反思与感悟有解和恒成立问题是特称命题和全称命题的应用，注意二者的区别跟踪训练3(1)对于任意实数x，不等式sin xcos xm恒成立，求实数m的取

5、值范围；(2)存在实数x，不等式sin xcos xm有解，求实数m的取值范围考点全称命题与特称命题的应用题点存在性问题与恒成立问题求参数的范围解(1)令ysin xcos x，xR，ysin xcos xsin，又任意xR，sin xcos xm恒成立，只要mm有解，只要m1，使x21；全等的三角形必相似；有些相似三角形全等；至少有一个实数a，使ax2ax10的根为负数其中特称命题的个数为()A1 B2 C3 D4考点全称命题与特称命题的真假判断题点全称命题与特称命题的真假判断答案C解析由存在量词及特称命题的定义知为特称命题3下列含有量词的命题为真命题的是()A所有四边形都有外接圆B有的等比

6、数列的项为零C存在实数没有偶次方根D任何实数的平方都大于零考点全称命题与特称题点命题的真假判断答案C解析C选项中存在负数没有偶次方根正确4对任意的x，tan xm是真命题，则实数m的最小值为_考点全称量词与全称命题的真假判断题点恒成立问题求参数的范围答案1解析对任意的x，(tan x)max1，m1，则m的最小值为1.5将下列命题改写为含有量词的命题，使其为真命题(1)相等的角是对顶角；(2)sin xcos x3.考点全称命题与特称命题题点全称量词与存在量词的应用解(1)存在相等的两个角是对顶角(2)对任意xR，sin xcos x3.1判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有

7、全称量词和存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断2要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题3要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题一、选择题1下列命题中，是正确的全称命题的是()A对任意的a，bR，都有a2b22a2b20且a1)，当a1时，ylogax在(0，)上是增加的，当0a1时，yloga x在(0，)上是减少的，所以，对数函数在定义域上都是单调函数2下列命题为真命题的是()A对任意xR，都有cos

8、x2成立B存在xZ，使log2(3x1)0，都有3x3成立D存在xQ，使方程x20有解考点全称命题与特称命题的真假判断题点全称命题与特称命题的真假判断答案A解析A中，由于函数ycos x的最大值是1，又12，所以A是真命题；B中，log2(3x1)003x11x0恒成立4给出四个命题：末位数是偶数的整数能被2整除；有的菱形是正方形；存在实数x，x0；对于任意实数x,2x1是奇数下列说法正确的是()A四个命题都是真命题 B是全称命题C是特称命题 D四个命题中有两个假命题考点全称命题与特称命题的真假判断题点全称命题与特称命题的真假判断答案C解析为全称命题；为特称命题；为真命题；为假命题5下列命题中

9、的假命题是()A有些不相似的三角形面积相等B存在一个实数x，使x2x10C存在实数a，使函数yaxb的值随x的增大而增大D有一个实数的倒数是它本身考点存在量词与特称命题的真假判断题点特称命题的真假判断答案B解析以上4个均为特称命题，A，C，D均可找到符合条件的特例；对B，任意xR，都有x2x120.故B为假命题6下列命题中，既是真命题又是特称命题的是()A存在一个角，使得tan(90)tan B存在实数x，使得sin xC对一切，sin(180)sin Dsin()sin cos cos sin 考点存在量词与特称命题的真假判断题点特称命题的真假判断答案A解析45时，tan(9045)tan

10、45，A为真命题，且为特称命题，故选A.B中对任意xR，有sin x10.A1 B2 C3 D4考点全称量词及全称命题的真假判断题点全称命题的真假判断答案C解析为真命题8若存在xR，使ax22xa0，则实数a的取值范围是()Aa1 Ba1C1a1 D1a1考点存在量词与特称命题的真假判断题点存在性问题求参数的范围答案A解析当a0时，显然存在xR，使ax22xa0时，由44a20，解得1a1，故0a1.综上所述，实数a的取值范围是a1.9在R上定义运算：xyx(1y)，若不等式(xa)(xa)1对任意x恒成立，则()A1a1 B0a2Ca Da考点全称量词及全称命题的应用题点求参数的范围答案C解

11、析应用新定义运算可得(xa)(xa)(xa)1(xa)x2xaa20恒成立，a2ax2x1对任意xR恒成立，而x2x12，a2a，即a3，xa恒成立，则实数a的取值范围是_考点全称量词及全称命题的真假判断题点恒成立求参数的范围答案(，3解析对任意x3，xa恒成立，即大于3的数恒大于a，a3.11命题：任意xR，x23x20恒成立；存在xQ，x22；存在xR，x210；任意xR,4x22x13x2.其中真命题的个数为_考点全称命题与特称命题的真假判断题点全称命题与特称命题的真假判断答案0解析对于方程x23x20，(3)2420，当x2或x0才成立，为假命题当且仅当x时，x22，不存在xQ，使得x

12、22，为假命题对任意xR，x210，为假命题4x2(2x13x2)x22x1(x1)20，即当x1时，4x22x13x2成立，为假命题均为假命题12已知函数f(x)x2mx1，若命题“存在x0，f(x)0”为真，则m的取值范围是_考点存在量词与特称命题的真假判断题点存在性问题求参数的范围答案(，2)解析由条件知m0对于任意xR恒成立，并说明理由；(2)若至少存在一个实数x，使不等式mf(x)0成立，求实数m的取值范围考点全称命题与特称命题题点存在性问题与恒成立问题求参数的范围解方法一(1)不等式mf(x)0可化为mf(x)，即mx22x5(x1)24.要使m(x1)24对于任意xR恒成立，只需

13、m4即可故存在实数m使不等式mf(x)0对于任意xR恒成立，此时需m4.(2)不等式mf(x)0，可化为mf(x)，若至少存在一个实数x使不等式mf(x)成立，只需mf(x)min.又f(x)(x1)24，所以f(x)min4，所以m4.所以所求实数m的取值范围是(4，)方法二(1)要使不等式mf(x)0对任意xR恒成立，即x22x5m0对任意xR恒成立所以(2)24(5m)4，所以当m4时，mf(x)0对于任意xR恒成立(2)若至少存在一个实数x，使mf(x)0成立，即x22x5m0即可，解得m4.所以实数m的取值范围是(4，)四、探究与拓展14若命题“存在a1,3，使ax2(a2)x20”是真命题，则实数x的取值范围是_考点存在量词与特称命题的真假判断题点存在性问题求参数的范围答案(，1)解析令f(a)ax2(a2)x2(x2x)a2x2，是关于a的一次函数，由题意，得(x2x)2x20或(x2x)32x20，即x2x20或3x2x20，解得x.