西大数理统计工程硕士习题

1、 数理统计一、填空题1、设为总体X的一个样本，如果 ， 则称为统计量。不含任何未知参数2、设总体已知，则在求均值的区间估计时，使用的随机变量为 3、设总体X服从方差为1的正态分布，根据来自总体的容量为100的样本，测得样本均值为5，则X的数学期望的置信水平为95%的置信区间为 。4、假设检验的统计思想是 。小概率事件在一次试验中不会发生5、某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个样本检验这批产品废品率是否高于5%， 此问题的原假设为 。：6、某地区的年降雨量，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为： (单位：mm) 587 672 701 640 650 ，则的矩估计值为 。 1430.87、

2、设两个相互独立的样本与分别取自正态总体与，分别是两个样本的方差，令，已知，则。用， 8、假设随机变量，则服从分布。9、假设随机变量已知，则。用得10、设样本来自标准正态分布总体，为样本均值，而，则11、假设样本来自正态总体，令，则的分布原题改为答案为12、设样本来自标准正态分布总体，与分别是样本均值和样本方差，令，若已知，则。由于得13、如果都是总体未知参数的估计量，称比有效，则满足。且14、假设样本来自正态总体，是的一个无偏估计量，则。15、假设样本来自正态总体，测得样本均值，则的置信度是的置信区间为。16、假设样本来自正态总体，与未知，测得样本均值，样本方差，则的置信度是的置信区间为。17

3、、假设样本来自正态总体，与未知，计算得，则原假设：的检验选用的统计量为。答案为二、选择题1、下列结论不正确的是 ( ) 设随机变量都服从标准正态分布，且相互独立，则 独立， 来自总体的样本，是样本均值，则 与均来自总体的样本，并且相互独立，分别为样本均值，则2、设是参数的两个估计量，正面正确的是 ( ) ，则称为比有效的估计量 ，则称为比有效的估计量 是参数的两个无偏估计量，则称为比有效的估计量 是参数的两个无偏估计量，则称为比有效的估计量3、设是参数的估计量，且，则有（） 不是的无偏估计 是的无偏估计 不一定是的无偏估计 不是的估计量4、下面不正确的是（） 5、总体均值的区间估计中，正确的是

4、（） 置信度一定时，样本容量增加，则置信区间长度变长； 置信度一定时，样本容量增加，则置信区间长度变短； 置信度增大，则置信区间长度变短； 置信度减少，则置信区间长度变短。6、对于给定的正数，设是标准正态分布的上侧分位数，则有（） 7、某工厂所生产的某种细纱支数服从正态分布为已知，现从某日生产的一批产品中随机抽取16缕进行支数测量，求得样本均值和样本方差，要检验细纱支数的均匀度是否变劣，则应提出假设（） ： ： ： ：8、测定某种溶液中的水分，由它的9个测定值，计算出样本均值和样本方差，总体服从正态分布，正面提出的检验假设被接受的是（） 在0.05下，： 在0.05下，： 在0.25下，： 在

5、0.25下，： 9、原题应为答案为设样本抽自总体，来自总体，则的分布为（ ） 10、设为来自的样本观察值，未知，则的极大似然估计值为（） 11、样本来自总体，则下列结论正确的是（） 12、假设随机变量是来自的样本，为样本均值。已知，则有（）13、设样本来自标准正态分布总体，与分别是样本均值和样本方差，则有（）14、设样本来自正态总体，与分别是样本均值和样本方差，则下面结论不成立的是（ ）与相互独立与相互独立与相互独立与相互独立15、样本取自正态总体，已知，未知。则下列随机变量中不能作为统计量的是（ ）16、设样本来自正态总体，与分别是样本均值和样本方差，则下面结论成立的是（ ）17、原题应为答

6、案设样本来自总体，则下列估计量中不是总体均值的无偏估计量的是（）。18、假设样本来自正态总体。总体数学期望已知，则下列估计量中是总体方差的无偏估计是（ ）19、假设总体的数学期望的置信度是，置信区间上下限分别为样本函数与，则该区间的意义是（ ）20、假设总体服从区间上的均匀分布，样本来自总体。则未知参数的极大似然估计量为（ ）不存在21、在假设检验中，记为原假设，则犯第一类错误的概率是（ ）成立而接受成立而拒绝不成立而接受不成立而拒绝22、假设样本来自正态总体，为样本均值，记则服从自由度为的分布的随机变量是（ ）三、计算题 答案在每题前1、 设总体，抽取容量为5的样本，求（1） 样本均值大于1

7、3的概率；（2） 样本的最小值小于10的概率；（3） 样本最大值大于15的概率。解：（1）1（2）（3）12、 假设总体，是来自的一个样本，是样本均值，求。解：3、总体，是来自的样本，是样本均值，若，试确定的值。解：）4、 设来自正态总体，是样本均值，满足，试确定样本容量的大小。解：由所以=0.955、假设总体服从正态总体，样本来自总体,计算解：得6、 假设新生儿体重，现测得10名新生儿的体重，得数据如下：3100348025203700252032002800380030203260（1）求参数和的矩估计；（2）求参数的一个无偏估计。解：（1）（2）7、 假设随机变量的概率密度函数为，设来自

8、总体的一个样本，求的矩估计和极大似然估计。解：（1）故（2）似然函数故8、 在测量反应时间中，一位心理学家估计的标准差是秒，为了以的置信度使平均反应时间的估计误差不超过秒，那么测量的样本容量最小应取多少? 解： 估计误差的置信区间为估计误差 故样本容量最小应取97。9、假设随机变量，是来自的10个观察值，要在的水平下检验：，：取拒绝域（1）（2）若已知是否可以据此推断成立？（3）如果以检验：的拒绝域，试求该检验的检验水平。 解：（1）取检验统计量对的水平下， 拒绝域（2），故，因此不能据此推断成立（3）10、假设按某种工艺生产的金属纤维的长度（单位mm）服从正态分布，现在随机抽出15根纤维，测

9、得它们的平均长度，如果估计方差没有变化，可否认为现在生产的金属纤维的长度仍为。解：，：取检验统计量答案：可认为现在生产的金属纤维的长度仍为11、 某地九月份气温，观察九天，得，求（1）此地九月份平均气温的置信区间；（置信度95%）（2）能否据此样本认为该地区九月份平均气温为（检验水平（3）从（1）与（2）可以得到什么结论？ 解：（1）置信区间公式为得 （2）检验：，：取检验统计量拒绝域答案：不能认为该地区九月份平均气温为（3）对于同一而言，在显著水平拒绝：与在置信度为的置信区间之外是一致的。12、 正常成年人的脉搏平均为72次/分，今对某种疾病患者10人，测得脉搏为54686577706469

10、726271，假设人的脉搏次数，试就检验水平下检验患者脉搏与正常成年人的脉搏有无显著差异？ 解：检验：，：取检验统计量拒绝域答案：可认为患者的脉搏与正常成年人的脉搏有显著差异13、 设随机变量均未知，与相互独立。现有5个的观察值，样本均值，样本方差为，有4个的观察值，样本均值，样本方差为，（1）检验与的方差是否相等？（2）在（1）的基础上检验与的均值是否相等。（）解：（1）：，：取检验统计量拒绝域答：可认为与的方差相等（2）：，：由的方差相等，取检验统计量，拒绝域答：故可认为与的均值相等。14、 假设某厂生产的缆绳，其抗拉强度X服从正态分布，现在从改进工艺后生产的缆绳中随机抽取10根，测量其抗

11、拉强度，样本方差。当显著水平为时，能否据此认为新工艺生产的缆绳的抗拉强度的稳定性是否有变化？ 解：，：取检验统计量答：故可认为新工艺生产的缆绳的抗拉强度的稳定性无显著变化15、 某种导线的电阻，现从新生产的一批导线中抽取9根，得。（1）对于，能否据此认为新生产的一批导线的稳定性无变化？（2）求总体方差的95%的置信区间解：（1）：，：取检验统计量答：可认为新生产的一批导线的稳定性有显著变化（2）的置信区间为（）（ 0.0003 ,0.00023）16、 某厂用自动包装机包装糖，每包糖的重量，某日开工后，测得9包糖的重量如下：99.3 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 102

12、.1 100.5 99.5 (单位：千克)试求总体均值的置信区间，给定置信水平为。 解：总体均值的置信区间为 答： ( 99.05 , 100.91 )17、 设有甲、乙两种安眠药，现在比较它们的治疗效果，表示失眠患者服用甲药后睡眠时间的延长时数，表示失眠患者服用乙药后睡眠时间的延长时数，随机地选取20人，10人服用甲药，10人服用乙药，经计算得，设；求的置信度为95%的置信区间。 解：的的置信区间为（ -0.88 , 2.04 ）18、 研究由机器A和B生产的钢管的内径，随机地抽取机器A生产的管子18根，测得样本方差，抽取机器B生产的管子13根，测得样本方差，设两样本独立，且由机器A和B生产

13、的钢管的内径服从正态分布，试求总体方差比的置信度为90%的置信区间。 解：的置信区间为 ( 0.45 , 2.79 )19、 设某种材料的强度，未知，现从中抽取20件进行强度测试，以kg/cm为强度单位，由20件样本得样本方差，求和的置信度为90%的置信区间。 解：的置信区间（）的置信区间 ( 0.0575 , 0.1713 )的置信区间 ( 0.2398 , 0.4139 )20、 设自一大批产品中随机抽取100个样品，得一级品50个，求这批产品的一级中率的置信度为95%的置信区间。 解：的置信区间为（0.504 , 0.696 ）也可用中心极限定理作近似计算，所得答案为( 0.50 , 0

14、.69 )21、 一家广告公司想估计某类商店去年所花的平均广告费有多少。经验表明，总体方差约为，如果置信度为95%，并要使估计值处在总体均值附近500元的范围内，这家广告公司应取多大的样本？ 解：的置信区间为，即这家广告公司应取28个商店作样本22、 设电视机的首次故障时间服从指数分布，试导出的极大似然估计量和矩估计。 解：似然函数的极大似然估计量23、 为了比较两位银行职员为新顾客办理个人结算账目的平均时间长度，分别给两位银行职员随机地安排了10个顾客，并记录下为每位顾客办理账单所需的时间（单位：分钟）相应的样本均值和方差为：。假设每位职员为顾客办理账单所需的时间服从正态分布，且方差相等，求

15、总体平均值差的置信度为95%的区间估计。 解：的置信区间为(-10.2 , -2.4 )24、 某饮料公司对其所做的报纸广告在两个城市的效果进行了比较，他们从两个城市中分别随机地调查了1000个成年人，其中看过该广告的比例分别为0.18和0.14，试求两个城市成年人中看过该广告的比例之差的置信度为95%的置信区间。 解：的置信区间为，所以的置信区间为 ( 0.0079 , 0.0721 )25、 电视机显像管批量生产的质量标准为平均寿命1200小时，标准差为300小时。某电视机厂宣称其生产的显像管质量大大超过规定标准。为了进行验证，随机抽取100件为样本，测得其平均寿命为1245小时。能否据此

16、认为该厂的显像管质量大大高于规定标准？ 解：取检验统计量拒绝域答案：不能认为该厂的显像管质量大大高于规定标准26、 某机器制造出的肥皂厚度为，今欲了解机器性能是否良好，随机抽取10块为样本，测得其平均厚度为，标准差为，试分别以0.05和0.01的显著水平检验机器性能是否良好？（假设肥皂厚度服从正态分布） 解：取检验统计量拒绝域计算得（1），所以在0.05的显著水平下不能认为机器性能良好（2），所以在0.01的显著水平下可认为机器性能良好27、 有两种方法可用于制造某种以抗拉强度为重要特征的产品。根据以往的资料得知，第一种方法生产的产品的抗拉强度的标准差为8kg，第二种方法生产的产品的抗拉强度的

17、标准差为10kg。从两种方法生产的产品各抽取一个样本，样本容量分别为32和40，测得。问这两种方法生产的产品的平均抗拉强度是否有显著差别解：检验：拒绝域计算得故可拒绝，认为两种方法生产的产品的平均抗拉强度是有显著差别28、 一个车间研究用两种不同的工艺组装产品所用的时间是否相同，让一个组的10名工人用第一种工艺组装产品，平均所需的时间为26.1分钟，样本标准差为12分钟；另一组的8名工人用第二种工艺组装产品，平均所需的时间为17.6分钟，样本标准差为10.5分钟，已知用两种工艺组装产品所需的时间服从正态分布，且方差相等，问能否认为用第二种工艺组装产品所需的时间比用第一种工艺组装产品所需的时间短

18、？解：检验：检验统计量拒绝域经计算得不能认为用第二种工艺组装产品所需的时间比用第一种工艺组装产品所需的时间短。29、 某地区小麦的一般生产水平为亩产250kg，其标准差为30kg。现用一种化肥进行试验，从25个小区抽样结果为平均产量为270kg。问这种化肥是否使小麦明显增产？ 解：取检验统计量拒绝域计算得拒绝，可认这种化肥是否使小麦明显增产30、 某种大量生产的袋装食品，按规定不得少于250kg。今从一批该食品中任意抽取50袋，发现有6袋低于250kg。若规定不符合标准的比例超过5%就不得出厂，该批食品能否出厂？ 解： 拒绝域不拒绝：，批食品能否出厂31、 某种电子元件的寿命服从正态分布。现测

19、得16只元件的寿命如下：159280101212224379179264222362168250149260485170，问是否有理由认为元件的平均寿命大于225小时。 解：取检验统计量拒绝域，不能拒绝，不能认为元件的平均寿命大于225小时。32、 某电器经销公司在6个城市设有经销处，公司发现彩电销售量与该城市居民户数多少有很大关系，并希望通过居民户数多少来预测其彩电销售量。下表是有关彩电销售量与城市居民户数的统计数据：城市编号销售量户数 (万户)154251892631919336827197477432025836520668916209要求：(1)计算彩电销售量与城市居民户数之间的线性相

20、关系数；（2）拟合彩电销售量对城居民户数的回归直线； (3)计算判定系数 (4)对回归方程的线性关系和回归系数进行显著性检验 ()，并对结果作简要分析。解：（1）0.（2）（3）0.（4）35.391381.7531线性关系和回归系数显著城市编号户数 (万户)x销售量y x*x x*y y*y118954253572121936319372493197682738809420277434080452068365424366209891643681 合计119643595199.33337265.833297.33350594.3.8b=170.1603a=-26652.8误差估计27493.19标准差165.810733、在每种温度下各做三次试验，测得其得率(%)如下：温度得率86869084858888838387928