数值计算方法复习提纲

1、数值计算方法复习提纲第一章 数值计算中的误差分析1.了解误差及其主要来源，误差估计;2了解误差(绝对误差、相对误差)和有效数字的概念及其关系;3掌握算法及其稳定性,设计算法遵循的原则。1、 误差的来源模型误差观测误差截断误差舍入误差2误差与有效数字绝对误差 e（)=x-x 绝对误差限 相对误差 有效数字若，称有n位有效数字。有效数字与误差关系（1） m一定时，有效数字n越多,绝对误差限越小；（2） 有位有效数字,则相对误差限为。选择算法应遵循的原则1、 选用数值稳定的算法,控制误差传播;例 x2、 简化计算步骤，减少运算次数；3、 避免两个相近数相减,和接近零的数作分母;避免第二章 线性方程组

2、的数值解法1.了解gas消元法、主元消元法基本思想及算法;2.掌握矩阵的三角分解，并利用三角分解求解方程组;（doolitle分解；out分解;chlesky分解；追赶法) 掌握迭代法的基本思想,jcoi迭代法与gaus-edel迭代法;4掌握向量与矩阵的范数及其性质，迭代法的收敛性及其判定 。本章主要解决线性方程组求解问题，假设行n列线性方程组有唯一解，如何得到其解？两类方法,第一是直接解法，得到其精确解；第二是迭代解法,得到其近似解。一、 gss消去法1、 顺序auss消去法记方程组为: 消元过程:经1步消元，化为上三角方程组第k步 若 回代过程：2、usjrda消去法避免回代，消元时上下

3、同时消元、gauss列主元消去法例 :说明直接消元，出现错误由顺序aus消去法，得;gus列主元消去法原理：每步消元前，选列主元,交换方程。算法:将方程组用增广矩阵表示。（）消元过程:对k=1,2,n，选主元,找 如果,则矩阵奇异,程序结束;否则执行3。如果，则交换第k行与第行对应的元素位置,消元,对ik+， ,n,计算 对j=l+1, ,n+1,计算 （2)回代过程：1若则矩阵a奇异，程序结束;否则执行。 举例说明。4、消元法应用（)行列式计算；（)矩阵求逆。二、利用矩阵三角分解求解线性方程组1、求解原理线性方程组写成矩阵形式为:ax=b若a=lu,则lx ，记x=则ly= b若l、u为特殊

4、矩阵，则求解线性方程组变为解两个特殊线性方程组问题。2、 dolte分解l为下三角矩阵, 为上三角矩阵，不一定能分解,分解也不一定唯一；设或u是单位三角矩阵,若能分解,则可分解唯一.l是单位下三角矩阵,称为ooitle分解; 是单位上三角矩阵，称为crut分解；定理: 阶矩阵有唯一分解的充要条件为a的前n-1阶主子式都不为0.dooltle分解算法:由矩阵乘法:得到：算法特点：先计算u的行，再计算l的列，交替进行；存储时可用紧凑格式。矩阵分解后,解两个三角方程组:l b,ux=y3、rout分解若l为下三角矩阵，u是单位上三角矩阵,则称crot分解;算法特点：先计算的列，再计算的行,交替进行。

5、4、正定对称矩阵的平方根法（cholesy分解)（1） 正定对称矩阵性质与判定:定义：是阶对称矩阵，若对任意非零向量，有,则称a为正定对称矩阵; 判定：a为n阶正定对称矩阵充要条件a的各阶顺序主子式大于0。（2） holesk分解定理：设a为n阶正定对称矩阵，则存在唯一主对角线元素都是正数的下三角阵,使得.chole分解算法:5、 追赶法三对角矩阵的特殊分解三对角方程组的追赶法：追的过程yd赶的过程ux=y2 线性方程组的迭代解法一、 jaobi迭代公式例： 其解为方程变形得到迭代公式 给初值计算，观察解的变化。一般地，对线性方程组若,则可从第i个方程中解出，得到jacobi迭代公式:简记为:

6、二、 gaus-seiel迭代公式三、 sr迭代公式四、 迭代公式的矩阵表示 3 迭代公式的收敛性一、 向量与矩阵的范数与性质1、 向量范数定义:向量，对应非负实数,满足三条件:（1）非负性 (2）齐次性 （3)三角不等式 称为向量范数2、 常见向量范数1范数 2范数 范数 3、 矩阵范数定义:方阵,对应非负实数,满足三条件：（1）非负性 （2)齐次性 （3)三角不等式 (4）绝对值不等式 称为矩阵范数;向量范数与矩阵范数相容性：4、常见矩阵范数范数，列范数：范数，行范数 ： 范数，谱范数 ：f范数：举例计算二、 迭代公式收敛性的判定1、 向量的极限2、 矩阵的谱半径: 为特征值;3、收敛性的

7、判定收敛的充要条件：迭代公式收敛的充要条件为谱半径。判定定理1：若则迭代公式收敛。判定定理：若对方程ax=b的系数矩阵a为对角占优，则jacobi迭代公式,gauss-seidel迭代公式收敛；判定定理:若对方程ax=b的系数矩阵a为对称正定,则gaus-seid迭代公式收敛；jacobi迭代公式收敛与gass-seidel迭代公式收敛关系举例:第三章 非线性方程的数值解法1.了解二分法的原理与算法;.掌握一般迭代法的基本思想及其收敛性判定;3掌握newto切线法、弦截法,并用它们求方程近似根的方法。本章问题:求方程f()0的根1 二分法一、 根的存在性定理:函数f(x）在区间,b连续,且f(

8、a）.f(b），则方程f（x)在区间a，b有根。方程的根存在,不一定唯一,若在区间a,b上有唯一根，称区间a，b为根隔离区间。二、 二分法(区间逐次分半法）原理:通过计算根隔离区间中点，将区间分半,缩小区间，得到方程近似根数列。 取 2 迭代法一、 迭代原理迭代法是一种逐次逼近法，由提供的递推公式计算，逐次精确,直到满足精度要求。方程(x)=0变形为，得到递推公式-简单迭代公式称为迭代函数给初值计算，得到数列，若,则称迭代收敛,否则发散。例：求方程写出两个简单迭代公式：() （2)观察计算得到数列的收敛性。迭代法的几何解释:二、 迭代收敛性判定收敛性定理:设方程的迭代函数在a，满足:(1）当时

9、,；（2)在a,b可导,且,则(1）方程在a,b有唯一根； (2)迭代公式收敛，即；（3)误差估计。说明可根据迭代函数的导数判断迭代收敛性。三、 迭代公式的加速3 newton迭代法一、newton切线公式几何作法迭代公式例:利用解二次方程推导近似计算的公式。由newton切线公式 三、 newtn弦截公式ewto切线公式的缺点及改进几何作法迭代公式ton弦截公式是两步公式。第五章 插值法. 掌握代数插值问题及其解存在唯一性，lange插值多项式构造及其余项，插值基函数性质;. 掌握差商的概念及其性质,wt插值多项式构造，两种插值法之间的区别与联系；了解差分与等距节点插值多项式公式；.掌握he

10、rmite 插值问题及其构造方法。本章问题：函数复杂，或无表达式，构造简单函数来代替。1 lagrag插值一、代数插值问题及插值多项式存在唯一条件1、代数插值问题:已知在区间a,b中互异的+1个点的函数值,求次数n次多项式且满足，（=0，1，n）.2、插值多项式存在唯一条件:定理：存在唯一条件是n+个节点互异。二、larange插值构造1、线形插值(n=)几何解释;利用插值基函数构造:基函数:一次多项式满足 -次agrange插值多项式例1：求过点(4，2)，(9,3)的1次lrnge插值多项式,并计算近似值。2、抛物插值(n=2)几何解释;利用插值基函数构造：基函数:二次多项式满足 -次lg

11、rne插值多项式例:求过点(1,1）,（4,2），(9,3）的次agrae插值多项式，并计算近似值。3、一般情形：利用插值基函数构造：基函数：次多项式满足 -n次lagrange插值多项式三、插值余项定理:若则插值误差，其中。2 分段插值一、分段线性插值在区间，b，分为个区间,i=0,2-1每个区间由直线代替曲线，形成分段线性插值函数,二、分段抛物插值3 ewton 插值一、差商及其性质定义:一阶差商：二阶差商:k阶差商：性质：(1)差商可由节点函数值表示；(2)差商值与节点次序无关。二、ewton 插值多项式由差商定义。依次带入- tn插值多项式计算时先造差商表；三、余项4 差分与等距节点插

12、值多项式一、差分及其性质：二、等距节点插值多项式5 ermite 插值一、带导数的插值多项式1、问题:求次数不超过3次多项式；、利用基函数构造二、一般情形1、问题:求次数不超过2n+次多项式2、利用基函数构造见教材第七章 数值微积分1. 了解数值求积基本思想； 掌握to-tes公式(梯形公式,sims公式,tes公式)推导及误差；3.了解rorg 求积公式原理；4了解数值微分的方法。本章问题:数值积分问题求定积分 不能使用微积分公式情形存在问题:()f()表达式复杂,原函数更复杂； (2）f(x）表达式不复杂,但原函数复杂;(3)原函数不存在; （3)f()无表达式1 newtnoes公式一、

13、 数值求积基本思想1、 不利用原函数，直接利用函数值积分中值定理：为平均高度;机械求积方法：为求积节点;为求积系数。2、 几个简单求积公式左矩形公式右矩形公式中矩形公式梯形公式二、 ewncotes公式1、公式推导由lagrange插值多项式代替函数f(x)记则求积系数的计算:-为otes系数；-neon-coes求积公式、cotes系数性质对称性：权性:3、常用公式n1梯形公式:n2sipon，抛物公式:=4cotes公式： 误差估计：见教材举例说明。 2 mberg求积公式一、复化梯形公式将积分区间a，,n等份，步长误差估计：二、梯形公式递推化三、rmberg 求积公式由梯形公式修正,提高

14、精度3 auss型求积公式一、代数精确度定义：若求积公式对任意m次代数多项式精确成立，而对+1次代数多项式不精确成立，称求积公式具有m次代数精确度。判定：求积公式具有次代数精确度求积公式对精确成立；而对 不精确成立。例:梯形公式具有1次代数精确度;定理:+1个节点的插值型求积公式代数精确度至少为n；定理2；won-ote公式代数精确度至少为n；当n为偶数时,可达n次代数精确度。二、uss型求积公式定义：若n+1个节点求积公式具有2+次代数精确度，则称为gas型求积公式，节点为ga点。gass点的特性:见教材第八章 常微分方程数值解 掌握 eulr方法（euler公式,梯形公式，euer预估-校正公式），局部截断误差,公式的阶;2.了解runge-kua 方法的基本思想及四阶经典rungekutt 公式；3 掌握线性多步方法的原理与公式推导。本章问题:一阶常微分方程初值问题 解的存在性定理：解析解的概念数值解的概念1 euler方