重点高中数学：柯西不等式

1、类型一：利用柯西不等式求最值例1求函数的最大值解：且，函数的定义域为，且，即时函数取最大值，最大值为法二：且，函数的定义域为由，得即，解得时函数取最大值，最大值为.当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解【变式1】设且，求的最大值及最小值。利用柯西不等式得,故最大值为10，最小值为-10【变式2】已知，求的最值.法一：由柯西不等式于是的最大值为，最小值为.法二：由柯西不等式于是的最大值为，最小值为.【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数的最大值根据柯西不等式，故。当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即时等号成立，此时，变式4：设?(1，0，?2)，?(x，y，z)，若x2?y2?z2

2、?16，则的最大值为。【解】?(1，0，?2)，?(x，y，z)?x?2z由柯西不等式12?0?(?2)2(x2?y2?z2)?(x?0?2z)2?5?16?(x?2z)2?4?x?4?4?4，故的最大值为4:变式5：设x，y，z?R，若x2?y2?z2?4，则x?2y?2z之最小值为时，(x，y，z)?解(x?2y?2z)2?(x2?y2?z2)12?(?2)2?22?49?36x?2y?2z最小值为?6，公式法求(x，y，z)此时，变式6：设x,y,zR，若，则之最小值为_，又此时_。解析：最小值变式7：设a，b，c均为正数且a?b?c?9，则之最小值为解：()(a?b?c)?()9?(2

3、?3?4)2?81?9变式8：设a,b,c均为正数，且，则之最小值为_解：:，最小值为18变式9：设x，y，z?R且，求x?y?z之最大、小值:【解】由柯西不等式知42?（)2?22?25?1?(x?y?z?2)2?5?|x?y?z?2|?5?x?y?z?2?5?3?x?y?z?7故x?y?z之最大值为7，最小值为?3类型二：利用柯西不等式证明不等式基本方法：（1）巧拆常数（例1）（2）重新安排某些项的次序（例2）（3）改变结构（例3）（4）添项（例4）例1设、为正数且各不相等，求证：又、各不相等，故等号不能成立。例2、为非负数，+=1，求证：即例3若，求证：解：，所证结论改为证例4，求证：左

4、端变形，只需证此式即可。【变式1】设a,b,c为正数，求证：，即。同理，将上面三个同向不等式相加得，【变式2】设a,b,c为正数，求证：于是即【变式3】已知正数满足证明。解：又因为在此不等式两边同乘以2，再加上得：，故。类型三：柯西不等式在几何上的应用6ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证：证明：由三角形中的正弦定理得，所以，同理，于是左边=。【变式】ABC之三边长为4，5，6，P为三角形内部一点，P到三边的距离分别为x，y，z，求的最小值。且4x+5y+6z=由柯西不等式(4x+5y+6z)2(x2+y2+z2)(42+52+62)(x2+y2+z2)77x2+y2+z2。柯西不等式等号当且仅当或时成立（k为常数，）利用柯西不等式可处理以下问题：1） 证明不等式例2:已知正数满足证明证明：又因为在此不等式两边同乘以2，再加上得：故2） 解三角形的相关问题例3设是内的一点，是到三边的距离，是外接圆的半径，证明证明：记为的面积，则3） 求最值例4已知实数满足，试求的最值解：即由条件可得，解得，当且仅当时等号成