高中数学-圆与方程

1、高二数学 第2讲 圆与方程第一节 圆的方程知识点一 圆的标准方程，其中为圆心，为半径.要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点：(2)圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.知识点二 点和圆的位置关系如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有(1)若点在圆上(2)若点在圆外(3)若点在圆内知识点三 圆的

2、一般方程当时，方程叫做圆的一般方程.为圆心，为半径.要点诠释：由方程得(1)当时，方程只有实数解.它表示一个点.(2)当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形(3)当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆.知识点四 几种特殊位置的圆的方程条件方程形式标准方程一般方程圆心在原点过原点圆心在x轴上圆心在y轴上圆心在x轴上且过原点圆心在y轴上且过原点与x轴相切与y轴相切知识点五 用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程.(2)根据已知条件，建立关于或的方程组.(3)解方程组，求出或的值，并把它们代入所

3、设的方程中去，就得到所求圆的方程.知识点六 轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程1当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）2求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等3求轨迹方程的步骤：（1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标；（2）列出关于的方程；（3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意

4、的点）；（5）作答【典型例题】类型一 圆的标准方程例1求满足下列条件的各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3；(2)已知圆经过两点，圆心在轴上；(3)经过点，圆心在点变式1圆心是（4，-1），且过点（5，2）的圆的标准方程是（ ）A(x4)2+(y+1)2=10 B(x+4)2+(y1)2=10C(x4)2+(y+1)2=100 D例2求圆心在直线2x-y-3=0上，且过点（5，2）和（3，-2）的圆的方程例3与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为变式2求圆心在直线y=-x上，且过两点A（2，0），B（0，-4）的圆的方程类型二 圆的一般方程例1下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和

5、半径（1）2x2+y2-7y+5=0；（2）x2-xy+y2+6x+7y=0；（3）x2+y2-2x-4y+10=0；（4）2x2+2y2-5x=0变式1下列方程各表示什么图形；x2+y2-4x-2y+5=0；x2+y2-2x+4y-4=0；例2已知直线x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0表示一个圆（1）求t的取值范围；（2）求这个圆的圆心和半径；（3）求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程变式2下判断方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0（a0）是否表示圆，若表示圆，写出圆心和半径长变式3已知方程表示一个圆（1）求实数的取值范围；（2）*求圆心的轨迹方程变式

6、4方程表示圆，则a的取值范围是( ) A或 B C D例3ABC的三个顶点分别为A（-1，5），B（-2，-2），C（5，5），求其外接圆的方程.变式5如图，等边ABC的边长为2，求这个三角形的外接圆的方程，并写出圆心坐标和半径长 类型三 点与圆的位置关系例判断点M（6，9），N（3，3），Q（5，3）与圆(x-5)2+(y-6)2=10的位置关系变式已知两点P1（3，8）和P2（5，4），求以线段P1P2为直径的圆的方程，并判断点M（5，3）、N（3，4）、P（3，5）是在此圆上、在圆内、还是在圆外？类型三 轨迹方程例1已知一曲线是与两个定点O（0，0），A（3，0）距离的比为的点的轨迹，求

7、这条曲线的方程，并画出曲线变式1如下图，过第一象限的定点C（a，b）作互相垂直的两直线CA、CB，分别交于x轴、y轴的正半轴于A、B两点，试求线段AB的中点M的轨迹方程例2等腰ABC的底边一个端点B(1，-3)，顶点A(0，6)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明轨迹的形状例3已知定点A（4，0），P点是圆x2+y2=4上一动点，Q点是AP的中点，求Q点的轨迹方程变式2已知定点A（2，0），点Q是圆x2+y2=1上的动点，AOQ的平分线交AQ于M，当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程【轨迹方程求法示题】1.（2016平凉校级模拟）已知点G（5，4），圆C1：（x-1）2+（y-4）2=25，过

8、点G的动直线l与圆C1相交于E、F两点，线段EF的中点为C求点C的轨迹C2的方程；2.（2016河北模拟）如图，已知P是以F1（1，0），以4为半径的圆上的动点，P与F2（1，0）所连线段的垂直平分线与线段PF1交于点M求点M的轨迹C的方程；3.（2016湖南校级模拟）已知点C（1，0），点A，B是O：x2+y2=9上任意两个不同的点，且满足，设M为弦AB的中点求点M的轨迹T的方程；4.（2016自贡校级模拟）已知ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（0，（0，），且AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m0）求顶点C的轨迹M的方程，并判断轨迹M为何种曲线.5.（2016春成都校级月考）设Q、G分

9、别为ABC的外心和重心，已知A（-1，0），B（1，0），QGAB求点C的轨迹E6.（2016成都模拟）已知一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）过点N（1，0）任意作相互垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于不同的两点A，B和不同的两点D，E设线段AB，DE的中点分别为P，Q求证：直线PQ过定点R，并求出定点R的坐标；求|PQ|的最小值7.（2015秋遂宁期末）已知平面直角坐标系上一动点P（x，y）到点A（-2，0）的距离是点P到点B（1，0）的距离的2倍（1）求点P的轨迹方程；（2）过点A的直线l与点P的轨迹C相交于E，F

10、两点，点M（2，0），则是否存在直线l，使SEFM取得最大值，若存在，求出此时l的方程，若不存在，请说明理由第二节 直线与圆的位置关系知识点一 直线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：(1)直线与圆相交，有两个公共点；(2)直线与圆相切，只有一个公共点；(3)直线与圆相离，没有公共点.2.直线与圆的位置关系的判定：(1)代数法：判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线与圆C有公共点.有两组实数解时，直线与圆C相交；有一组实数解时，直线与圆C相切；无实数解时，直线与圆C相离.(2)几何法：由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断：当时，直线与圆C相交；当时，直线与圆C相切；

11、当时，直线与圆C相离.要点诠释：(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决.知识点二 圆的切线方程的求法1点在圆上，如图 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即法二：圆心到直线的距离等于半径2点在圆外，则设切线方程：，变成

12、一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出要点诠释：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上常见圆的切线方程：（1）过圆上一点的切线方程是；（2）过圆上一点的切线方程是.知识点三 求直线被圆截得的弦长的方法1应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法2利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长3利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：=知识点四 圆与圆的位置关

13、系1.圆与圆的位置关系：(1)圆与圆相交，有两个公共点；(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.2.圆与圆的位置关系的判定：(1)代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解.有两组不同的实数解时，两圆相交；有一组实数解时，两圆相切；方程组无解时，两圆相离.(2)几何法：设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为.当时，两圆相交；当时，两圆外切；当时，两圆外离；当时，两圆内切；当时，两圆内含.要点诠释：判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小.也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大

14、，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法.3.两圆公共弦长的求法有两种：方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长4两圆公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种（1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；（2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；（3）两圆相交时，只有2条外公切线；（4）两圆内切时，只有1条外公切线；（5）两圆内

15、含时，无公切线知识点五 圆系方程1过直线与圆的交点的圆系方程是2以为圆心的同心圆系方程是：；3与圆同心的圆系方程是；4过同一定点的圆系方程是【典型例题】类型一 直线与圆的位置关系例1已知直线y=2x+1和圆x2+y2=4，试判断直线和圆的位置关系.例2求实数m的范围，使直线与圆分别满足：（1）相交；（2）相切；（3）相离变式1已知直线方程mx-y-m-1=0，圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0当m为何值时，圆与直线（1）有两个公共点；（2）只有一个公共点；（3）没有公共点变式2已知直线与曲线.（1）求证:不论为何值,直线和曲线恒有两个交点；（2）求当直线被曲线所截的线段最短时此线段所在的直

16、线的方程.类型二 切线问题例过点作圆的切线,求切线的方程.变式（1）求圆x2+y2=10的切线方程，使得它经过点；（2）求圆x2+y2=4的切线方程，使得它经过点Q（3，0）类型三 弦长问题例1直线经过点P（5，5）并且与圆C：x2+y2=25相交截得的弦长为，求的方程变式1求经过点P（6，-4），且被定圆x2+y2=20截得弦长为的直线的方程例2圆心C在直线：x+2y=0上，圆C过点M（2，-3），且截直线m：x-y-1=0所得弦长为，求圆C的方程例3已知圆C1：x2+y2+2x-6y+1=0，圆C2：x2+y2-4x+2y-11=0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长变式2已知圆C1：

17、x2+y2+2x+6y+90和圆C2：x2+y24x+2y40.（1）判断两圆的位置关系；（2）求两圆的公共弦所在直线的方程；（3）求两圆公切线所在直线的方程类型四 圆与圆的位置关系例1已知圆C1：x2+y2-2mx+4y+m2-5=0，圆C2：x2+y2+2x-2my+m2-3=0，问：m为何值时，（1）圆C1和圆C2相外切？（2）圆C1与圆C2内含？变式1当a为何值时，圆C1：x2+y2-2ax+4y+(a2-5)=0和圆C2：x2+y2+2x-2ay+(a2-3)=0相交例2若圆C1的方程是x2+y2-4x-4y+7=0，圆C2的方程为x2+y2-4x-10y+13=0，则两圆的公切线有_条.例3坐标平面内有两个圆x2+y2=16和x2+y2-6x+8y+24=0，这两个圆的内公切线的方程是_.变式2圆C1：x2+y2+2x+2y-2=0与圆C2：x2+y2-6x+2y+6=0的公切线有且只有_条.变式3两圆与的公切线有（ ）条 A1 B2 C3 D4类型五 圆系问题例1求过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x-4y+1=0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：（1）过原点；（2）有最小面积变式1求过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交