考研数三真题及答案解析完整版

1、考研数三真题及答案解析完整版2013年考研数三真题及答案解析一、选择题 18小题.每小题分,共3分、当时，用表示比高阶的无穷小,则下列式子中错误的是( )(） （b）（c) （d）【详解】由高阶无穷小的定义可知（a）(b）(c）都是正确的,对于(d)可找出反例，例如当时,但而不是故应该选(d).函数的可去间断点的个数为( )(a）0 （b)1 (）2 (）3【详解】当时，,所以是函数的可去间断点，所以是函数的可去间断点.,所以所以不是函数的可去间断点.故应该选()3设是圆域的第象限的部分，记，则（ ）（a） （） (c） (d)【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知所以,应该选（）设为正项数列

2、，则下列选择项正确的是（ )(a）若,则收敛;（b）若收敛,则； （)若收敛.则存在常数,使存在; （d）若存在常数,使存在，则收敛【详解】由正项级数的比较审敛法,可知选项（d)正确,故应选().此小题的(a)(b)选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项(a），但少一条件，显然错误.而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件,不是必要条件,选项（)也不正确,反例自己去构造.5.设a,b,c均为阶矩阵,若,且可逆,则（a）矩阵c的行向量组与矩阵a的行向量组等价.（b)矩阵c的列向量组与矩阵a的列向量组等价（c）矩阵c的行向量组与矩阵b的行向量组等价.（d）矩阵c的列向量组与矩阵b的列向量

3、组等价【详解】把矩阵a,c列分块如下:，由于=，则可知，得到矩阵c的列向量组可用矩阵的列向量组线性表示同时由于b可逆，即，同理可知矩阵a的列向量组可用矩阵的列向量组线性表示，所以矩阵c的列向量组与矩阵a的列向量组等价.应该选（b)6矩阵与矩阵相似的充分必要条件是() （b),为任意常数(c) （d),为任意常数【详解】注意矩阵是对角矩阵,所以矩阵a=与矩阵相似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等.从而可知，即,为任意常数,故选择（b）7.设是随机变量,且,则(a） (b）（c） （d)【详解】若,则，,故选择（a）.8设随机变量x和y相互独立，且x和y的概率分布分别为x0123pp/214

4、18/8101p31/3/3则( )（） （b) （c) （)【详解】,故选择(c)二、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上)9.设曲线和在点处有切线,则【详解】由条件可知.所以10.设函数是由方程确定，则【详解】设，则，当时,所以.11.【详解】2微分方程的通解为.【详解】方程的特征方程为,两个特征根分别为，所以方程通解为，其中为任意常数.13.设是三阶非零矩阵，为其行列式，为元素的代数余子式,且满足，则.【详解】由条件可知,其中为a的伴随矩阵,从而可知，所以可能为或0但由结论可知，可知,伴随矩阵的秩只能为,所以.设随机变量服从标准正分布，则.【详解】所以为三

5、、解答题15(本题满分10分）当时,与是等价无穷小,求常数.【分析】主要是考查时常见函数的马克劳林展开式.【详解】当时，,，,所以，由于与是等价无穷小,所以.16.（本题满分1分）设d是由曲线,直线及轴所转成的平面图形,分别是绕轴和轴旋转一周所形成的立体的体积,若，求的值【详解】由微元法可知；由条件,知.17.(本题满分1分)设平面区域d是由曲线所围成，求.【详解】18.(本题满分1分)设生产某产品的固定成本为00元,可变成本为20元件,价格函数为(p是单价，单位:元,是销量,单位:件）,已知产销平衡，求：(1）该的边际利润(2)当p=5时的边际利润，并解释其经济意义.(3）使得利润最大的定价

6、p【详解】(1）设利润为,则，边际利润为（2)当=5时，q1000，边际利润为20经济意义为：当p=50时，销量每增加一个，利润增加20.（）令,得19(本题满分10分）设函数在上可导,且,证明(1）存在,使得（2）对(1）中的,存在，使得.【详解】证明(1)由于,所以存在,当时,有,又由于在上连续，且,由介值定理，存在，使得（）函数在上可导，由拉格朗日中值定理,存在，使得0.(本题满分11分）设，问当为何值时，存在矩阵c，使得,并求出所有矩阵c【详解】显然由可知,如果c存在,则必须是2阶的方阵.设，则变形为，即得到线性方程组,要使存在,此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变

7、换如下，所以，当时,线性方程组有解，即存在矩阵,使得此时,，所以方程组的通解为，也就是满足的矩阵c为,其中为任意常数21（本题满分1分)设二次型.记.(1）证明二次型对应的矩阵为 ;()若正交且为单位向量,证明在正交变换下的标准形为.【详解】证明：（1）所以二次型对应的矩阵为 证明（)设,由于则，所以为矩阵对应特征值的特征向量;，所以为矩阵对应特征值的特征向量;而矩阵a的秩,所以也是矩阵的一个特征值.故在正交变换下的标准形为 22.(本题满分1分）设是二维随机变量,x的边缘概率密度为，在给定的条件下，y的条件概率密度为.（1）求的联合概率密度；(2)y的的边缘概率密度【详解】(1)的联合概率密度:(2）的的边缘概率密度:2.（本题满分11分)设总体x的概率密度为,其