微积分下第7章多元函数微积分学 练习题

1、第七章 多元函数微积分学 第一部分：多元函数微分学 一、二元函数的极限专题练习： 1.求下列二元函数的极限: 31?22;limxsin?y;2?limxy (2) (1) 2xyy? 22x?y?1?(x,y)?,?(x,y)?2,? 2? xyxysin;limlim; (4) (3) x?xy?1?1?0,0,y)?(x0,1?(x,y) 44yx?f(y)x,0,0(x?),y的极限不存在。时，2证明：当 ?344y?x 二、填空题 22y?)?xyf(x?,y，则3. 若 ； ?)f(x,y 2222的定义域是 4. 函数 ； ?D1)yx?f(x,y)4?x?y?ln( 2yx?)

2、,fy(x ； 5. 已知 ，则 e)f(x,y?x 32 ； 6. 当,则 ?f(0,1)yx?5yf(x,)x z?2xyyx?z?e ； ，则 7. 若 ? y?y(1,0)f?)?ln(x)(fx,y；设8. ，则 yx2 xyz?xe ； ?dz的全微分9. 二元函数 10.则dz= . ，)Z?arctan(xy设 三、选择题 ?Z ( ) 11.设函数 ，则 ?)xyZ?ln( x?1x1y D C A B yyxx Z?2),Z?sin(xy) 则12.设 ( ? x?222222)cos(ycos(xyxy)?xycos(xyxy?)cos(xy)y D A BC Z?xy

3、( ) ，则 设13.?3Z? x?1xy?xyxyxy3yxy3 D C B A ln333ln3y ?f?0，则（ 14.已知 ） ?x2f?20?0yf?xfx,y,1x?fyx,y?x. ；D 关于BA为单调递增；C 2?x?y,xy,?fxz处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ 15函数 ）在点 00A必要而非充分条件；B充分而非必要条件；C充分必要条件 ； D既非充分又非必要条件. 四、计算与应用题 y22yx?ez?(1,1),z(?z(0,1),(1,0)1,z?1)zarctan?z；求(2) , 16. (1) ； , 求 yxxyx ?2xy 17.)y(x)x,y和f,

4、求fyf已知(x,)?e?yx,(yx ?Z?Zy?224x2和,求x?设Z(3?y) 18. 已知 y?x? xye?z19.zz;。 ，求 yx22y?x 2dZ)y?ln(x?Z ，求 20.设函数 22Z?Z 21.,求?y),Z设?xln(x 2y?x?x :计算下列函数的二阶偏导数22.xxy?z)esinx?z?(cosxy ； (1) ；(2) 22y?x 23求复合函数的偏导数或导数: yzz?222,ylnv,u?x?,vuz?；，求 (1) ?x?yx yz?z 2uv2,arctanuz?e,?lnx?,v?y； (2) ，求 ?x?yx Z2dZ0Z?y?eln?x

5、确定，求 由方程 24.设),y(Z?Zx ?z?z?zx?2y3?)3y2?sin(2x?z 25.，求设 y?x? 26求下列函数的极值 1x?22332 y?2ln?y?2lnxz?z?x?y3xy?xeyz?x?2 (3) ； (1) ； (2) ； （选做题）：27求下列函数的最值2231y1?4,1?x?zx?4?2xyy,?x? ；(1) 220?,?zxyxyxyxy3,y?0,x? (2) ； zz,y?)F(x?0z?z(x,y)，F具有一阶连续偏导数，（选做题）28. 设由方程确定 yx?z?z?y?z?xyx 证明： ?x?y 第二部分：多元函数积分学二重积分 一、填空

6、题 f(x,y)在闭区域D1、当函数上_时，则其在D上的二重积分必定存在 D?D?D)xf(,y，在有界闭区域2、若D上可积，且 21 ?0x,y)?f(d),y_xf()(fx,yd；当时，则 DD21?0xf(,)?yd),f(xydyxf(,)_ 当时，则 DD21 ?dxfgx,y,?y,=_ 、设为常数，则3D?D,Ddxf,y=_ 构成，则4、区域D由闭区域21D?yx?f,z D在闭区域D5、设函数上连续，的面积，是?,dx,yf=_ 上至少存在一点使得则在DD?xydx?2x?,yy?1, 所围成的闭区域。D是由直线6、计算=_，其中 D?10,0,0,21,0,1yd?x1=

7、_ 、设D是顶点分别为的直边梯形，计算7D 、改变下列二次积分的积分次序8211x2x?2?fdydxfdydx； =_=_； 00x12?xy3?12uy3?dvdu?fdydyfdxvfdx =_；=_； 010000 9、把下列二重积分表示为极坐标形式的二次积分y?22?dxdyarctanfx,?ydxdyyx?； =_； =_ x?22224y?x?x2?yx?22yx? 22?dxdyexy?y?4D?yx,x1?, =_()；D22y?x?edxdy、半径为D其中 =_， 是由中心在原点、a10的圆周所围成的闭区域。D 二、选择题222?D,D,DD1?x?yydx=） 二、在一

8、、三、分别为圆四象限的部分，1、则 （4213D1222?ydydydxxx ； C B ； A (D)0. ；DDD432?1 ?2222?d?yx?1D?,xyxx?y 、2 ） =，则（? 2?D?22111?xx1?2222?dx?dyydxxx?ydy ； B ； A 1122?1?xx?1 22?2?x11?112222?dy?xdxyyddx?xy. D ； C 111?1? 222? ay?x?a,x,x?y?aD?yx,?0D?x,y?xa?a，、设有平面闭区域31?dxdyycosxsinxy?=（ 则 ） D?xydxdy2sinydxdy2cosx； B ； A DD1

9、1?dxdysin4yxy?cosx； C D 0. D1 11?x4、二次积分等于( ). dy)y(x,dxf?0011?xy?11?f(xdy,y)dx B. A. dxyx,)f(dy?00001?x111?dx)y(x,dyf D. C. dx,(fdyxy)?0000 三、计算解答 22? 1、计算围成的平面区域x , y?ydxdy 其中D为y?x2xD ?x?y ? dxdye1?y,xD?y?x. 、设区域，计算2D 2?xy?xydxdy2?y?x是由抛物线. ，其中及直线3、计算D所围成的闭区域D ?22?dxdy?xx?yxy?x2y?2y?所围成的闭，及直线4、计算D，其中是由抛物线D区域. 22yx?22?4?x?ydxdye是由D所围成的闭区域5、计算. ，其中D ?222?dxdy?xyy1?x?1?y?1?x?所围成的闭6，D，其中，直线、计算是由D区域. 7、计算下列二重积分： ?22yx? d?yc?x?b,D?y(x,)adxye , (1) 其中 D22?dy(x)?y?2,y?xy?2x所围成的闭区域 ，及是由直线. D(2) ,其中D 8、计算下列二重积分 2222?1?x?yd)xln(1?y是由圆周