2014培优等腰三角形的存在性

1、如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120至OB的位置（1）求点B的坐标；（2）求经过点AO、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由考点：二次函数综合题；分类讨论。解答：解：（1）如图，过B点作BCx轴，垂足为C，则BCO=90，AOB=120，BOC=60，又OA=OB=4，OC=OB=4=2，BC=OBsin60=4=2，点B的坐标为（2，2）；（2）抛物线过原点O和点AB，可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（22）代入，得，解得，此抛物线的

2、解析式为y=x2+x（3）存在，如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=2，当y=2时，在RtPOD中，PDO=90，sinPOD=，POD=60，POB=POD+AOB=60+120=180，即P、O、B三点在同一直线上，y=2不符合题意，舍去，点P的坐标为（2，2）若OB=PB，则42+|y+2|2=42，解得y=2，故点P的坐标为（2，2），若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=2，故点P的坐标为（2，2），综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，2），在2011年的湖

3、南湘潭市中考试卷中有这样一道题：如图一，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线交轴于另一点C（3,0）。 图一 （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）略（2），该抛物线的对称轴为x=1。设点Q坐标为（1，m），则，又。当AB=AQ时（即第一种情况，图五），解得：，Q点坐标为（1，）或（1，）；当AB=BQ时（即第二种情况，图六），解得：，Q点坐标为（1，0）或（1，6），又点（1，6）在直线上，点A、B、Q在同一直线，不成立，Q点坐标为（1，0）。当AQ=BQ时（即第

4、三种情况，图七），解得：，Q点坐标为（1，1）。抛物线的对称轴上是存在着点Q（1，）、（1，）、（1，0）、（1，1），使ABQ是等腰三角形。利用分类思想，通过直观作图，可以直接做出满足条件的所有的点，避免了思考不全面而出现漏解的现象，有效的解答了动点与等腰三角形为背景的综合性问题。(2009) 23.（11分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式； (2)动点P从点A出发沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PEAB交AC于点E 过点E作EFAD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?连接EQ在点P