2016版高考数学大二轮总复习专题八系列4选讲第2讲

1、第2讲矩阵与变换1(2015福建)已知矩阵A，B.(1)求A的逆矩阵A1；(2)求矩阵C，使得ACB.2(2015江苏)已知x，yR，向量是矩阵A的属于特征值2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值本讲从内容上看，主要考查二阶矩阵的基本运算，考查矩阵的逆运算及利用系数矩阵的逆矩阵求点的坐标或曲线方程等，一般以基础题目为主，难度不大.又经常与其他知识结合，在考查基础知识的同时，考查转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力.热点一常见矩阵变换的应用1矩阵乘法的定义一般地，我们规定行矩阵a11，a12与列矩阵的乘法规则为a11，a12a11b11a12b21，二阶矩阵与列矩阵的乘法规

2、则为.说明：矩阵乘法MN的几何意义为对向量的连续实施的两次几何变换(先TN后TM)的复合变换一般地，对于平面上的任意一个点(向量)(x，y)，若按照对应法则T，总能对应唯一的一个平面点(向量)(x，y)，则称T为一个变换，简记为T：(x，y)(x，y)或T：.2几种常见的平面变换(1)恒等变换；(2)伸缩变换；(3)反射变换；(4)旋转变换；(5)投影变换；(6)切变变换例1已知曲线C：xy1.(1)将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45后，求得到的曲线C的方程；(2)求曲线C的焦点坐标和渐近线方程思维升华把握常见矩阵变换类型，比用一般矩阵运算处理要方便得多，同时，从前后曲线性质分析上，可以加深对曲

3、线性质的理解跟踪演练1已知直线l：axy1在矩阵A对应的变换作用下变为直线l：xby1.(1)求实数a，b的值；(2)若点P(x0，y0)在直线l上，且A，求点P的坐标热点二二阶矩阵的逆矩阵矩阵的逆矩阵(1)逆矩阵的有关概念对于二阶矩阵A，B，若有ABBAE，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵若二阶矩阵A存在逆矩阵B，则逆矩阵是唯一的，通常记A的逆矩阵为A1，A1B.(2)逆矩阵的求法一般地，对于二阶可逆矩阵A(adbc0)，它的逆矩阵为A1.(3)逆矩阵的简单性质若二阶矩阵A，B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)1B1A1.已知A，B，C为二阶矩阵，且ABAC，若矩阵A存在逆矩阵，则

4、BC.(4)逆矩阵与二元一次方程组对于二元一次方程组 (adbc0)，若将X看成是原先的向量，而将B看成是经过系数矩阵A(adbc0)对应变换作用后得到的向量，则可记为矩阵方程AXB，则XA1B，其中A1.例2设矩阵M(其中a0，b0)(1)若a2，b3，求矩阵M的逆矩阵M1；(2)若曲线C：x2y21在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C：y21，求a，b的值思维升华对于二阶矩阵，若有ABBAE，则称B为A的逆矩阵因而求一个二阶矩阵的逆矩阵，可用待定系数法求解跟踪演练2已知矩阵A，B，求矩阵A1B.热点三求矩阵的特征值与特征向量二阶矩阵的特征值和特征向量(1)特征值与特征向量的概念设A是一

5、个二阶矩阵，如果对于实数，存在一个非零向量，使得A，那么称为A的一个特征值，而称为A的一个属于特征值的一个特征向量(2)特征向量的几何意义特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(0)，或者方向相反(0)，或者方向相反(0)对应的变换作用下得到的曲线为x2y21.(1)求实数a，b的值；(2)求A2的逆矩阵学生用书答案精析第2讲矩阵与变换高考真题体验1解(1)因为|A|23142，所以A1.(2)由ACB得(A1A)CA1B，故CA1B.2解由已知，得A2，即，则即所以矩阵A.从而矩阵A的特征多项式f()(2)(1)，所以矩阵A的另一个特征值为1.热点

6、分类突破例1解(1)设P(x0，y0)是曲线C：xy1上的任一点，点P(x0，y0)在旋转变换后对应的点为P(x0，y0)，则.又x0y01，(y0x0)(y0x0)1.y x 2，即曲线C：xy1旋转后所得到的曲线C的方程为y2x22.(2)曲线C的焦点坐标为F1(0，2)，F2(0,2)，渐近线方程为yx.再顺时针旋转45后，即可得到曲线C的焦点坐标为(，)和(，)；渐近线方程为x0，y0.跟踪演练1解(1)设直线l：axy1上任意点M(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的像是M(x，y)由，得又点M(x，y)在l上，所以xby1，即x(b2)y1，依题意得解得(2)由A，得解得y00.又点

7、P(x0，y0)在直线l上，所以x01.故点P的坐标为(1,0)例2解(1)设矩阵M的逆矩阵M1，则MM1.又M，所以.所以2x11,2y10,3x20,3y21，即x1，y10，x20，y2，故所求的逆矩阵M1.(2)设曲线C上任意一点P(x，y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P(x，y)，则，即又点P(x，y)在曲线C上，所以y21.则b2y21为曲线C的方程又已知曲线C的方程为x2y21，故又a0，b0，所以跟踪演练2解设矩阵A的逆矩阵A1，则，即故a1，b0，c0，d，从而A的逆矩阵A1，所以A1B.例3解(1)由题意得，所以a13，所以a4.(2)由(1)知A，令f()(1

8、)240.解得A的特征值为1或3.当1时，由得矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为；当3时，由得矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为.跟踪演练3解(1)因为矩阵A是矩阵A1的逆矩阵，且|A1|221130，所以A.(2)矩阵A1的特征多项式为f()243(1)(3)，令f(x)0，得矩阵A1的特征值为11或23，所以1是矩阵A1的属于特征值11的一个特征向量，2是矩阵A1的属于特征值23的一个特征向量高考押题精练1解变换T对应的矩阵为，所以.设A(a，b)，由题意得，即所以即A(2,3)2解(1)AB，又|AB|314，(AB)1.(2)设P(x0，y0)是直线2xy50上任一点，P(x，y)

9、是在变换作用下点P的像，则有(AB)1.代入直线方程2xy50，得2(xy)(x3y)50，即x5y50，即为所求的直线方程二轮专题强化练答案精析第2讲矩阵与变换1解由题意得旋转变换矩阵M，设P(x0，y0)为曲线y2x上任意一点，变换后变为另一点(x，y)，则，即所以又因为点P在曲线y2x上，所以yx0，故(x)2y，即yx2为所求的曲线方程2解由在矩阵线性变换下的几何意义可知，在矩阵N作用下，一个图形变换为其绕原点逆时针旋转90得到的图形；在矩阵M作用下，一个图形变换为与之关于直线yx对称的图形，因此，ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形与ABC全等，从而其面积等于ABC的面积，即为1.

10、3解(1)设M，则有，故解得M.(2)由，知C(3,3)，由，知D(1，1)4解设A是可逆的，其逆矩阵B，那么应该有BAABE，即，.由得21得(2241)y1，即0y1，这说明上面的方程组无解从而，不存在矩阵B使得BAABE，所以，矩阵A不可逆5解由已知，得A，B.因为AB，所以.故解得所以xy.6解由题设得MN.由，可知A1(0,0)，B1(0，2)，C1(k，2)计算得ABC的面积是1，A1B1C1的面积是|k|，由题设知|k|212，所以k的值为2或2.7解设ANM，则A，设P(x，y)是曲线C上任一点，在两次变换下，在曲线C2上的对应的点为P(x，y)，则，即又点P(x，y)在曲线C：y22x上，(x)