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1、1.4无穷小与无穷大教学目标： 1. 掌握无穷小(大)量及其阶的概念； 2. 能够运用无穷小(大)量求函数极限。教学重点：用等价无穷小(大)求极限教学过程： 第一课时 无穷小与无穷小数列的概念相类似,我们给出关于函数为无穷小量的定义.1、定义：如果函数当（或）时的极限为0，则称函数为（或）时的无穷小量，简称无穷小。例如：当时，函数都是无穷小；当时，函数都是无穷小；当时，函数都是无穷小；当时，数列都是无穷小。下面给出无穷小与函数极限的关系2、定理：极限存在的充要条件是函数可表示为，其中是时的无穷小。另述为：其中是时的无穷小。 略证：（必要性），令，则是时的无穷小，且。这表明，等于它的极限和一个无

2、穷小之和。 （充分性）其中是时的无穷小，于是 这样，函数极限的问题可转化为对无穷小问题的讨论。 3、无穷小的运算性质 （1）在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. （2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小. （特例：常数与无穷小的乘积是无穷小.） 4、无穷小的比较 无穷小是以0为极限的变量，但收敛于0的速度有快有慢。例如，三个无穷小，收敛于0的速度不一样. 快于，快于.那么到底什么叫“快”，快到什么程度.不容易理解.下面我们就从数学的角度考察两个无穷小量的比，以便对它们的收敛速度作出判断 * 定义：设与 （）都是无穷小，且. . 例如：，在时是同阶无穷小，在时是等阶无穷小。 【常用的等价无

3、穷小：当时，.运用等阶无穷小，可以求函数极限。】 *定理：设， ，且存在，则. 略证：，所以 以后在求两个无穷小之比的极限，分子分母都可用等价无穷小来代替，这样可以简化计算。 例1 求 例2 求 第二课时 无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.1、定义：如果对任意给定的正数M（不论它多么大），总存在正数，使得对适合不等式的一切,均有,则称函数当时为无穷大。 此时函数极限不存在，但为了表达函数的这一性态，我们也说“函数的极限时无穷大”，记作 同样定义说明：无穷大量不是很大的数，而是具有非正常极限的函数；无穷大量是无界函数，但无界函数却不一定是无穷大量.2、例3证明 证：任给M0,要使,只需.取，则对于满足不等式的一切,均有，所以3、无穷大与无穷小的关系定理:如果（）为无穷大，则（）为无穷小；反之，如果（）为无穷小，且，则（）为无穷大 4、练习 求函数极限 (1) ； (2) . 注. 在利用等价无穷小量代换求极限时，只能对所求极限式中积或商的因式进行替换，而对极限式中相加或相减部分则不能随意替换，如(2). 解（2） 5、小结，作业 ex 1、3第三次习题课1证明下列各式：（1）证明 因为，所以（2）证明 因为，所以（3）证明 因为，所以（4）证明 因为，所以（5）证明 因

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