2013年高考理科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版

1、2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷ii)第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2013课标全国，理1)已知集合mx|(x1)24，xr，n1,0,1,2,3，则mn()a0,1,2 b1,0,1,2 c1,0,2,3 d0,1,2,32(2013课标全国，理2)设复数z满足(1i)z2i，则z()a1i b1i c1i d1i3(2013课标全国，理3)等比数列an的前n项和为sn.已知s3a210a1，a59，则a1()a b c d4(2013课标全国，理4)已知m，n为异面直线，m平面，n平

2、面.直线l满足lm，ln，l，l，则()a且l b且lc与相交，且交线垂直于l d与相交，且交线平行于l5(2013课标全国，理5)已知(1ax)(1x)5的展开式中x2的系数为5，则a()a4 b3 c2 d16(2013课标全国，理6)执行下面的程序框图，如果输入的n10，那么输出的s()a bc d7(2013课标全国，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zox平面为投影面，则得到的正视图可以为()8(2013课标全国，理8)设alog36，blog510，clog71

3、4，则()acba bbca cacb dabc9(2013课标全国，理9)已知a0，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a()a b c1 d210(2013课标全国，理10)已知函数f(x)x3ax2bxc，下列结论中错误的是()ax0r，f(x0)0b函数yf(x)的图像是中心对称图形c若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(，x0)单调递减d若x0是f(x)的极值点，则f(x0)011(2013课标全国，理11)设抛物线c：y22px(p0)的焦点为f，点m在c上，|mf|5，若以mf为直径的圆过点(0,2)，则c的方程为()ay24x或y28x by22x或y28xcy

4、24x或y216x dy22x或y216x12(2013课标全国，理12)已知点a(1,0)，b(1,0)，c(0,1)，直线yaxb(a0)将abc分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是()a(0,1) b c d第卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题第24题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13(2013课标全国，理13)已知正方形abcd的边长为2，e为cd的中点，则_.14(2013课标全国，理14)从n个正整数1,2，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n_.15(2013

5、课标全国，理15)设为第二象限角，若，则sin cos _.16(2013课标全国，理16)等差数列an的前n项和为sn，已知s100，s1525，则nsn的最小值为_三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(2013课标全国，理17)(本小题满分12分)abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知abcos ccsin b.(1)求b；(2)若b2，求abc面积的最大值18(2013课标全国，理18)(本小题满分12分)如图，直三棱柱abca1b1c1中，d，e分别是ab，bb1的中点，aa1accb.(1)证明：bc1平面a1cd；(2)求二面角da1ce的正弦值19(

6、2013课标全国，理19)(本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品以x(单位：t,100x150)表示下一个销售季度内的市场需求量，t(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润(1)将t表示为x的函数；(2)根据直方图估计利润t不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量

7、x100,110)，则取x105，且x105的概率等于需求量落入100,110)的频率)，求t的数学期望20(2013课标全国，理20)(本小题满分12分)平面直角坐标系xoy中，过椭圆m：(ab0)右焦点的直线交m于a，b两点，p为ab的中点，且op的斜率为.(1)求m的方程；(2)c，d为m上两点，若四边形acbd的对角线cdab，求四边形acbd面积的最大值21(2013课标全国，理21)(本小题满分12分)已知函数f(x)exln(xm)(1)设x0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m2时，证明f(x)0.请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，

8、则按所做的第一题计分，做答时请写清题号22(2013课标全国，理22)(本小题满分10分)选修41：几何证明选讲如图，cd为abc外接圆的切线，ab的延长线交直线cd于点d，e，f分别为弦ab与弦ac上的点，且bcaedcaf，b，e，f，c四点共圆(1)证明：ca是abc外接圆的直径；(2)若dbbeea，求过b，e，f，c四点的圆的面积与abc外接圆面积的比值23(2013课标全国，理23)(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程已知动点p，q都在曲线c：(t为参数)上，对应参数分别为t与t2(02)，m为pq的中点(1)求m的轨迹的参数方程；(2)将m到坐标原点的距离d表示为的函数

9、，并判断m的轨迹是否过坐标原点24(2013课标全国，理24)(本小题满分10分)选修45：不等式选讲设a，b，c均为正数，且abc1，证明：(1)abbcac；(2).2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷ii)第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1答案：a解析：解不等式(x1)24，得1x3，即mx|1x3而n1,0,1,2,3，所以mn0,1,2，故选a.2答案：a解析：1i.3 答案：c解析：设数列an的公比为q，若q1，则由a59，得a19，此时s327，而a210a199，不满足题意，因此q

10、1.q1时，s3a1q10a1，q10，整理得q29.a5a1q49，即81a19，a1.4答案：d解析：因为m，lm，l，所以l.同理可得l.又因为m，n为异面直线，所以与相交，且l平行于它们的交线故选d.5答案：d解析：因为(1x)5的二项展开式的通项为(0r5，rz)，则含x2的项为ax(105a)x2，所以105a5，a1.6答案：b解析：由程序框图知，当k1，s0，t1时，t1，s1；当k2时，；当k3时，；当k4时，；当k10时，k增加1变为11，满足kn，输出s，所以b正确7 答案：a解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系oxyz的图像为下图：则它在平面zox上的投影即正视图为

11、，故选a.8答案：d解析：根据公式变形，因为lg 7lg 5lg 3，所以，即cba.故选d.9答案：b解析：由题意作出所表示的区域如图阴影部分所示，作直线2xy1，因为直线2xy1与直线x1的交点坐标为(1，1)，结合题意知直线ya(x3)过点(1，1)，代入得，所以.10答案：c解析：x0是f(x)的极小值点，则yf(x)的图像大致如下图所示，则在(，x0)上不单调，故c不正确11答案：c解析：设点m的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|mf|x05，则x05.又点f的坐标为，所以以mf为直径的圆的方程为(xx0)(yy0)y0.将x0，y2代入得px084y00，即4y080，所以

12、y04.由2px0，得，解之得p2，或p8.所以c的方程为y24x或y216x.故选c.12 答案：b第卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题第24题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13答案：2解析：以ab所在直线为x轴，ad所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点a的坐标为(0,0)，点b的坐标为(2,0)，点d的坐标为(0,2)，点e的坐标为(1,2)，则(1,2)，(2,2)，所以.14答案：8解析：从1,2，n中任取两个不同的数共有种取法，两数之和为5的有(1,4)，(2,3)2种，所以，即，

13、解得n8.15答案：解析：由，得tan ，即sin cos .将其代入sin2cos21，得.因为为第二象限角，所以cos ，sin ，sin cos .16答案：49解析：设数列an的首项为a1，公差为d，则s1010a145d0，s1515a1105d25.联立，得a13，所以sn.令f(n)nsn，则，.令f(n)0，得n0或.当时，f(n)0,时，f(n)0，所以当时，f(n)取最小值，而nn，则f(6)48，f(7)49，所以当n7时，f(n)取最小值49.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17解：(1)由已知及正弦定理得sin asin bcos csin csin

14、 b又a(bc)，故sin asin(bc)sin bcos ccos bsin c由，和c(0，)得sin bcos b，又b(0，)，所以.(2)abc的面积.由已知及余弦定理得4a2c2.又a2c22ac，故，当且仅当ac时，等号成立因此abc面积的最大值为.18解：(1)连结ac1交a1c于点f，则f为ac1中点又d是ab中点，连结df，则bc1df.因为df平面a1cd，bc1平面a1cd，所以bc1平面a1cd.(2)由accb得，acbc.以c为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系cxyz.设ca2，则d(1,1,0)，e(0,2,1)，a1(2,0,2)，

15、(1,1,0)，(0,2,1)，(2,0,2)设n(x1，y1，z1)是平面a1cd的法向量，则即可取n(1，1，1)同理，设m是平面a1ce的法向量，则可取m(2,1，2)从而cosn，m，故sinn，m.即二面角da1ce的正弦值为.19解：(1)当x100,130)时，t500x300(130x)800x39 000，当x130,150时，t50013065 000.所以(2)由(1)知利润t不少于57 000元当且仅当120x150.由直方图知需求量x120,150的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润t不少于57 000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得t的分布列为t45

16、 00053 00061 00065 000p0.10.20.30.4所以et45 0000.153 0000.261 0000.365 0000.459 400.20解：(1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，p(x0，y0)，则，由此可得.因为x1x22x0，y1y22y0，所以a22b2.又由题意知，m的右焦点为(，0)，故a2b23.因此a26，b23.所以m的方程为.(2)由解得或因此|ab|.由题意可设直线cd的方程为y，设c(x3，y3)，d(x4，y4)由得3x24nx2n260.于是x3,4.因为直线cd的斜率为1，所以|cd|.由已知，四边形acbd的面积.当n0时，s

17、取得最大值，最大值为.所以四边形acbd面积的最大值为.21解：(1)f(x).由x0是f(x)的极值点得f(0)0，所以m1.于是f(x)exln(x1)，定义域为(1，)，f(x).函数f(x)在(1，)单调递增，且f(0)0.因此当x(1,0)时，f(x)0；当x(0，)时，f(x)0.所以f(x)在(1,0)单调递减，在(0，)单调递增(2)当m2，x(m，)时，ln(xm)ln(x2)，故只需证明当m2时，f(x)0.当m2时，函数f(x)在(2，)单调递增又f(1)0，f(0)0，故f(x)0在(2，)有唯一实根x0，且x0(1,0)当x(2，x0)时，f(x)0；当x(x0，)时

18、，f(x)0，从而当xx0时，f(x)取得最小值由f(x0)0得，ln(x02)x0，故f(x)f(x0)x00.综上，当m2时，f(x)0.请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号22解：(1)因为cd为abc外接圆的切线，所以dcba，由题设知，故cdbaef，所以dbcefa.因为b，e，f，c四点共圆，所以cfedbc，故efacfe90.所以cba90，因此ca是abc外接圆的直径(2)连结ce，因为cbe90，所以过b，e，f，c四点的圆的直径为ce，由dbbe，有cedc，又bc2dbba2db2，所以ca24db2bc26db2.而dc2dbda3db2，故过b，