线性代数试题及答案

1、线性代数习题和答案第一部分选择题( 共 28 分)一、 （本大 共 14 小 ，每小 2 分，共 28 分）在每小 列出的四个 中只有一个是符合 目要求的， 将其代 填在 后的括号内。 或未 均无分。1. 行列式 a11a12=m， a13a11 =n， 行列式 a11a12a13等于（）a 21a 22a23a21a 21a22a 23A. m+nB.- (m+n)C. n-mD. m - n100， A-1 等于（2. 矩 A=020）00310031001A.00B.010220110003110000231C.10D.000300101203123. 矩 A=101 ， A* 是 A

2、的伴随矩 ， A * 中位于（ 1， 2）的元素是（）214A. 6B. 6C. 2D. 24. 设 A 是方 ，如有矩 关系式AB=AC， 必有（）A.A = 0B. B C时 A=0C.A0 时 B=CD. |A|0 时 B=C5. 已知 34 矩 A 的行向量 性无关， 秩（AT）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46. 两个向量 1， 2， s 和 1， 2， s 均 性相关， （）A. 有不全 0 的数 1， 2， s 使 11 +2 2+ +s s=0 和 1 1+ 2 2+ s s=0B. 有不全 0 的数 1， 2， s 使 1（ 1+ 1） + 2（ 2+ 2） + +

3、s （ s+ s）=0C. 有不全 0 的数 1， 2， s 使 1 （ 1- 1） + 2（ 2- 2）+ + s（ s - s） =0D. 有不全 0 的数 1， 2， s 和不全 0 的数 1， 2， s 使 1 1+ 2 2+ + s s=0 和 1 1+ 2 2+ + s s =07. 矩 A 的秩 r ， A 中（）A.所有 r -1 子式都不 0B. 所有 r - 1 子式全 C. 至少有一个r 子式不等于0D. 所有 r 子式都不 008. 设 Ax=b 是一非齐次线性方程组， 1， 2 是其任意2 个解，则下列结论错误的是（）A. 1+ 2 是 Ax=0 的一个解B. 1 1

4、+ 1 2 是 Ax=b 的一个解22C. 1- 2 是 Ax=0 的一个解D.2 1- 2 是 Ax=b 的一个解9. 设 n 阶方阵 A 不可逆，则必有（）A.秩 ( A)nB. 秩 ( A)=n -1C. A=0D. 方程组 Ax=0 只有零解10. 设 A 是一个 n( 3) 阶方阵，下列陈述中正确的是（）A. 如存在数和向量 使 A = ，则 是 A 的属于特征值的特征向量B. 如存在数和非零向量 ，使 ( E- A) =0，则是 A 的特征值C. A 的 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量D. 如 1， 2， 3 是 A 的 3 个互不相同的特征值， 1， 2， 3 依次是 A

5、 的属于3 的特征向量，则 1， 2， 3 有可能线性相关11. 设 0 是矩阵 A 的特征方程的3 重根， A 的属于 0 的线性无关的特征向量的个数为1， 2，k，则必有（）A. k 3C. k=312. 设 A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（A.|A| 2 必为 1C. A- 1=AT13. 设 A 是实对称矩阵， C 是实可逆矩阵，A. A 与 B 相似B. A 与 B 不等价C. A 与 B 有相同的特征值D. A 与 B 合同14. 下列矩阵中是正定矩阵的为（）B. k3）B.| A| 必为 1D. A 的行（列）向量组是正交单位向量组B=CTAC. 则（）2334A.4B.63

6、2100111C. 023D. 120035102第二部分非选择题（共72 分）二、填空题（本大题共10 小题，每小题2 分，共20 分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。11115.356.9253616.设 A= 111，B=123. 则 A+2B=.11112417.设 A=(a ij) 3 3， | A|=2， Aij表 示 | A|中 元 素 aij的 代 数 余 子 式 （ i,j=1,2,3） , 则(a22211A +a A +a A ) +(a21A +a A +a A ) +(a31A +a A +a A ) =.211222132321222

7、22323213222332318.设向量（ 2， -3，5）与向量（ -4 ，6， a）线性相关，则a=.19.设 A 是 3 4 矩阵，其秩为3，若 ， 为非齐次线性方程组 Ax=b 的 2 个不同的解，则它12的通解为.20.设 A 是 m n 矩阵， A 的秩为 r(n)，则齐次线性方程组Ax=0 的一个基础解系中含有解的个数为.21.设向量 、 的长度依次为2 和 3，则向量 + 与 - 的内积（ + ， - ）= .22.设 3 阶矩阵 A 的行列式 | A|=8 ，已知 A 有 2个特征值 - 1 和 4，则另一特征值为.0106223.设矩阵 A= 133，已知 = 1是它的一

8、个特征向量，则 所对应的特征值21082为 .24.设实二次型 f(x,x2,x ,x ,x) 的秩为 4，正惯性指数为 3，则其规范形为.1345三、计算题（本大题共7 小题，每小题6 分，共 42 分）120231T25.设 A= 340，B=求（24.1） AB；（ 2） |4 A|.1210311226.试计算行列式5134201.1153342327.设矩阵 A=110，求矩阵 B 使其满足矩阵方程AB=A+2B.123213028.给定向量组 1=1， 2=3 ， 3=0， 4=1 .02243419试判断 4 是否为 1， 2， 3 的线性组合；若是，则求出组合系数。121022

9、9.设矩阵 A=24266 .2102333334求：（1）秩（ A）；（ 2） A 的列向量组的一个最大线性无关组。0228. 求正交矩阵 T 和对角矩阵 D，使 T- 1AT=D.30. 设矩阵 A= 234的全部特征值为1，1 和 -24331. 试用配方法化下列二次型为标准形f(x1,x 2,x 3)=x 122x 223x 234x1 x 24x 1 x 34x 2 x 3 ，并写出所用的满秩线性变换。四、证明题（本大题共2 小题，每小题5 分，共 10 分）32. 设方阵 A 满足 A3=0，试证明 E- A 可逆，且（ E- A） - 1 =E+A+A2.33. 设 0 是非齐次

10、线性方程组 Ax=b 的一个特解， 1， 2 是其导出组 Ax=0 的一个基础解系 . 试证明（ 1） 1= 0+ 1， 2=0+ 2 均是 Ax=b 的解；（ 2） 0， 1， 2 线性无关。答案：一、单项选择题（本大题共14 小题，每小题2 分，共 28 分）1.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A10.B11.A12.B13.D14.C二、填空题（本大题共10 空，每空 2 分，共 20 分）15. 616.33713717. 418. 1019. 1+c( 2- 1) （或 2+c( 2- 1) ）， c 为任意常数20. n - r21. 522. 223. 124.z

11、12z 22z 23z24三、计算题（本大题共7 小题，每小题6 分，共 42 分）1202225. 解（ 1）ABT= 34034121108 6= 18 10 .3 10（ 2） |4 A|=4 3| A|=64| A| ，而1 2 0| A|= 3 4 02 .121所以 |4 A|=64 （ - 2） =-1283112511151341113126. 解0110010215335530511= 11115 5 05 1 1=62621040.030555 5 027. 解 AB=A+2B 即（ A- 2E）B=A，而2231431（A- 2E） - 1= 110153 .121164

12、143423所以 B=( A-2E) - 1A= 153110164123386= 296 .21292130053228. 解一13011301022401123419013112103510350112011200880011001414000010020101,00110000所以 4=2 1+ 2+ 3，组合系数为（2， 1， 1） .解二考虑 4=x1 1+x2 2+x3 3，2x1x 23x 30x13x21即2x42x233x 14x 2x3 9.方程组有唯一解（2， 1， 1）T ，组合系数为（2，1， 1） .29. 解 对矩阵 A 施行初等行变换1210200062A328

13、200963212102121020328303283000620003=B.100021700000（1）秩（ B） =3，所以秩（ A） =秩（ B） =3.（2）由于 A 与 B 的列向量组有相同的线性关系，而B 是阶梯形， B 的第 1、2、4 列是 B的列向量组的一个最大线性无关组，故A 的第 1、2、4 列是 A 的列向量组的一个最大线性无关组。（ A 的第 1、 2、 5 列或 1、3、 4 列，或 1、 3、5 列也是）30. 解 A 的属于特征值 =1 的 2 个线性无关的特征向量为 1=（2， -1，0） T， 2=（ 2， 0， 1） T.25 / 525/ 15经正交标

14、准化，得 1=5 / 5， 2= 45/ 15 .05/ 3 =-8 的一个特征向量为11 / 3 3=2，经单位化得 3=2 / 3 .22 / 32 5 / 5215 / 151/ 3所求正交矩阵为T=5 / 545/ 152 / 3 .05/ 32 / 3100对角矩阵D= 010 .0082 5 / 5 2 15 / 151 / 3（也可取 T=05/ 32 / 3. ）5 / 545/ 152 / 331. 解 f(x，x ， x )= （ x +2x-2x ）2-2x27x2122+4x x -3231323=（ x1+2x2-2x3） 2-2（ x2-x 3） 2-5x32.y 1x 1 2x 2设 y 2x 2y 3因其系数矩阵C=2x 3x1y1 2y 2x 3， 即 x 2y 2 y 3，x 3x 3y 31200 1 1 可逆，故此线性变换满秩。001经此变换即得f(x 1， x2， x3) 的标准形222y1 -2y2 -5y3 .四、证明题（本大题共2 小题，每小题5 分，共 10 分）23所以 E-A 可逆，且- 12（E-A）= E +A+A .33. 证 由假设 A 0=b， A 1=0， A 2