高中数学立体几何讲义(二)

1、 空间中的垂直关系 、直线与平面垂直1、线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。交点叫做垂足。直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a。2、直线与平面垂直的判定方法：利用定义。判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。其它方法：（）、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。（）、如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么也垂直于另一个面。（）、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于

2、另一个平面。（）、如果两个相交平面都和第三个平面垂直，那么相交平面的交线也垂直于第三个方面。3、直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。4、三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的投影垂直，那么它也和这条斜线垂直。说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；5、三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的投影垂直。练习：1若表示直线，表示平面，下列条件中，能使的是 （ ） 2已知与是两条不同的直线，若直线平面，若直线，则；若，则；若，则；，则。上述判断正确的是 （

3、） 3.设三棱锥的顶点在平面上的射影是，给出以下命题：若，则是的垂心若两两互相垂直，则是的垂心若，是的中点，则若，则是的外心其中正确命题的命题是 例1、 已知PAO所在的平面，AB是O的直径，C是O上任意一点，过A点作AEPC于点E，求证：AE平面PBC。证明：PA平面ABC，PABC。又AB是O的直径，BCAC。而PCAC=C，BC平面PAC。又AE在平面PAC内，BCAE。PCAE，且PCBC=C，AE平面PBC。反思归纳证明直线与平面垂直的常用方法有：利用线面垂直的定义；利用线面垂直的判定定理；利用“若直线a直线b，直线a平面，则直线b平面”。 例2、在直三棱柱ABCA1B1C1中，B1

4、C1=A1C1，A1BAC1，求证：A1BB1C。证明：取A1B1的中点D1，连结C1D1。B1C1=A1C1，C1D1ABB1A1。连结AD1，则AD1是AC1在平面ABB1A1内的射影，A1BAC1，A1BAD1。取AB的中点D，连结CD、B1D，则B1DAD1，且B1D是B1C在平面ABB1A1内的射影。B1DA1B，A1BB1C。反思归纳证明异面直线垂直的常用方法有：证明其中一直线垂直另外一直线所在的平面；利用三垂线定理及其逆定理。例3四面体中，分别为的中点，且，求证：平面 证明：取的中点，连结，分别为的中点，又，在中，又，即，平面 例4如图是所在平面外一点，平面，是的中点，是上的点，

5、（1）求证：；（2）当，时，求的长。（1）证明：取的中点，连结，是的中点， ， 平面 ， 平面 是在平面内的射影 ，取 的中点，连结，又，由三垂线定理得（2），平面，且，例5. 如图，直三棱柱中，侧棱，侧面的两条对角线交于点，的中点为，求证：平面证明：连结，在直三棱柱中，平面，是侧面的两条对角线的交点，是与的中点，连结，取的中点，连结，则，平面，平面，是在平面内的射影。在中，在中，平面平面与平面垂直1、两个平面垂直的定义：两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。2、两平面垂直的判定方法：利用定义。判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这

6、两个平面互相垂直。推理模式：，。3、两平面垂直的性质定理： 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。推理模式： 4、向量法证明直线与平面、平面与平面垂直的方法：证明直线与平面垂直的方法：直线的方向向量与平面的法向量平行；证明平面与平面垂直的方法：两平面的法向量垂直。练习1、（2009广东卷理）给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行； 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，为真命题的是（

7、 ） 。 【解析】选D. A. 和 B. 和 C. 和 D. 和2、（2009四川卷）如图，已知六棱锥的底面是正六边形，则下列结论正确的是（ ）。 A. B. C. 直线 D. 直线所成的角为45【解析】AD与PB在平面的射影AB不垂直，所以A不成立，又，平面PAB平面PAE，所以也不成立；BCAD平面PAD, 直线也不成立。在中，PAAD2AB，PDA45. D正确。例1、如图，已知是圆的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的任一点，求证：平面平面。分析：根据“面面垂直”的判定定理，要证明两平面互相垂直，只要在其中一个平面中寻找一条与另一平面垂直的直线即可。解：是圆的直径，又垂直于所在的平

8、面，平面，又在平面中，所以，平面平面。反思归纳由于平面与平面相交于，所以如果平面平面，则在平面中，垂直于的直线一定垂直于平面，这是寻找两个平面的垂线的常用方法。例2（2009江苏卷） 如图，在直三棱柱中E、分别是、的中点，点在上，。 求证：（1）EF平面ABC； （2）平面平面。例3 如图，直三棱柱ABCA1B1C1 中，AC BC 1，ACB 90，AA1 ，D 是A1B1 中点。（1）求证C1D 平面A1B ；（2）当点F 在BB1 上什么位置时，会使得AB1 平面C1DF ？并证明你的结论。（1）证明：如图， ABCA1B1C1 是直三棱柱， A1C1 B1C1 1，且A1C1B1 90

9、。又 D 是A1B1 的中点， C1D A1B1 。 AA1 平面A1B1C1 ，C1D 平面A1B1C1 ， AA1 C1D ， C1D 平面AA1B1B。（2）解：作DE AB1 交AB1 于E ，延长DE 交BB1 于F ，连结C1F ，则AB1 平面C1DF ，点F 即为所求。事实上， C1D 平面AA1BB ，AB1 平面AA1B1B ， C1D AB1 又AB1 DF ，DF C1D D ， AB1 平面C1DF 。补充题：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1，CD的中点。（1）求证：ADD1F；（2）求AE与D1F所成的角；（3）证明平面AED平面A1FD1。

10、证明：建立空间直角坐标系如图，并设AB=2，则A(0,0,0), D(0,2,0), A1(0,0,2) D1(0,2,2)，E(2,0,1), F(1,2,0)(1) =01+21+0(-2)=0, ADD1F。（2）=（2，0，1） =（1，0，-2），| ，|设AE与D1F的夹角为，则cos=所以，直线AE与D1F所成的角为90。（3）由（1）知D1FAD，由（2）知D1FAE，又ADAE=A，D1F平面AED，D1F平面A1FD1M 平面AED平面A1FD1。第一节：异面直线所成的角一、基础知识1.定义： 直线a、b是异面直线，经过空间一交o，分别a/a，b/b，相交直线ab所成的锐角

11、（或直角）叫做 。2.范围： 3.方法： 平移法、问量法、三线角公式（1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a、b的平行线，构造一个三角形，并解三角形求角。（2）向量法：可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式 求出来方法1：利用向量计算。选取一组基向量，分别算出 ，代入上式方法2：利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量 （3）三线角公式 用于求线面角和线线角斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦 即： 二、例题讲练例1、（2007年全国高考）如图，正四棱柱中， ，则异面直线与所成角的余弦值为 练习：1正方体中

12、，为的交点，则与所成的角 （ ） 例2、 已知四棱锥的底面为直角梯形，底面，且，是的中点 （）证明：面面；（）求与所成的角；证明：以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为 （）证明：因由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面 又在面上，故面面 （）解：因例3、 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面， 为的中点 求直线与所成角的余弦值；解：（）建立如图所示的空间直角坐标系，则的坐标为、，从而设的夹角为，则与所成角的余弦值为 例4、如图，三棱锥PABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB (I) 求证：AB平面PCB； (

13、II) 求异面直线AP与BC所成角的大小；（） 解法一：(I) PC平面ABC，平面ABC，PCABCD平面PAB，平面PAB，CDAB又，AB平面PCB (II) 过点A作AF/BC，且AF=BC，连结PF，CF则为异面直线PA与BC所成的角由（）可得ABBC，CFAF由三垂线定理，得PFAF则AF=CF=，PF=，在中， tanPAF=，异面直线PA与BC所成的角为解法二：(II) 由(I) AB平面PCB，PC=AC=2，又AB=BC，可求得BC=以B为原点，如图建立坐标系则（，），（0，0，0），C（，0），P（，2）， 则+0+0=2 = 异面直线AP与BC所成的角为练习1： 如图正

14、三棱柱ABC-A1B1C1中AB=AA1，M、N分别是A1B1，A1C1的中点，则AM与CN所成角为 。2.如图PD平面ABCD,四边形ABCD为矩形，AB=2AD=2DP，E为CD中点。（1）与BE所成的角为 （2）若直线PD，且AF与BE所成角为1. =30行吗？2. =75时；= 。3.空间四边形ABCD中，对角线AC，BD与各边长均为1，O为的重心，M是AC的中点，E是 AO的中点，求异面直线OM与BE所成的角 。第二节、直线和平面所成的角一、基础知识1.定义： （斜线和平面所成的角垂线与平面所成的角）2.直线与平面所成角范围是。3.斜线与平面所成的角是此斜线与平面内所有直线所成角中最

15、小的角。（最小值定理）4. 求法： 几何法公式法问量法（1）几何法：作出斜线与射影所成的角，论证所作（或所找）的角就是要求的角，解三角形求出此角。（2）公式法：（即：与斜线射影所成的两角的余弦的积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦值）（3）向量法：设直线与平面所成角为，直线的方向向量与面的法向量分别是, 则的余角或其补角的余角即为与所成的角，二、例题讲解例1、在长方体AC1中，AB=2，BC=CC1=1，求（1）CD与面ABC1D1所成的角（2）A1C与平面ABC1D1所成的角（3）A1C与平面BC1D所成的角例2、四面体ABCD中，所有棱长都相等，M为AC的中点，求DM与平面BCD所成角的余

16、弦值。例3、（2007高考全国卷1）四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面已知，（）证明；（）求直线与平面所成角的大小解法一：（）作，垂足为O，连结AO，由侧面底面ABCD，得底面ABCD。因为SA=SB，所以AO=BO，又，故为等腰直角三角形，由三垂线定理，得。（）由（）知，依题设，故，由，得SO=1，。SAB的面积。连结DB，得DAB的面积设D到平面SAB的距离为h，由于，得，解得。设SD与平面SAB所成角为，则。所以，直线SD与平面SBC所成的我为。解法二：（）作SOBC，垂足为O，连结SO，由侧面SBC底面ABCD，得SO平面ABCD。因为SA=SB，所以AO=BO。又，AOB为等腰直角

17、三角形，AOOB。如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系Oxyz，DBCAS，S（0，0，1），所以SABC。（）取AB中点E，连结SE，取SE中点G，连结OG，。，。，OG与平面SAB内两条相交直线SE，AB垂直。所以OG平面SAB，与的夹角记为，SD与平面SAB所成的角记为，则与互余。，。，所以，直线SD与平面SAB所成的角为。练习：如图,是互相垂直的异面直线，M、N分别在上，且MN，MN，点A、B在上，C在上，AM=MB=MN。（1）证明：AC NB（2）若ABC=60，求NB与平面ABC所成角的余弦值。()AEB1D1DC1A1BC（2008上海高考）如图，在棱长为2的正

18、方体中，是的中点。求直线与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.第三节 平面与平面所成的角一、基础知识求法：几何法 向量法 公式法（1）几何法：作出二面角的平面角，再求解，常见的有作 法图 形定义法在棱CD上找一点O，在两个面内分别作棱的垂线AO,BOAOB为二面角的平面角垂面法过棱上一点O作棱的垂直平面与两个半平面的交线分别为AOBOAOB为的平面角三垂线法过B内一点A，作AB交于B，作BOCD于O，连结AO,AOB的平面角或其补角（2）向量法：分别求出和的法向量，则二面角的大小为或 用此法须知：1需建空间直角坐标系，定准相应点的坐标2通常容易找到一个面的法向量，只需通过二次垂直，求另

19、一个平面的法向量3当为锐角时 （为锐角）或 （为钝角）在平面内 在平面内，BDEF，且BEF分别求出，则即为二面角的大小（3）公式法：设二面角的大小为令则二、例题讲练例1、如图，已知棱柱的底面是菱形，且面，为棱的中点，为线段的中点，ABCDA1B1C1D1FMOE（1）求证：面；（2）求面与面所成二面角的大小（1）证明：底面是菱形， 又面，面 ，面 又面 （2）延长、交于点 是的中点且是菱形又 由三垂线定理可知 为所求角 在菱形中， 例2、如图，直二面角DABE中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF平面ACE。（1）求证：AE平面BCE；（2）求二面角BACE

20、的大小；解：（1）如图， BF平面ACE BFAE又 二面角DABE为直二面角，且CBAB CB平面ABE CBAE AE平面BCE（2）连BD交AC于G，连FG 正方形ABCD边长为2 BGAC， BF平面ACE 由三垂线定理逆定理得FGAC BGF是二面角BACE的平面角由（1）AE平面BCE AEEB又 AE=EB 在等腰直角三角形AEB中，又 RtBCE中，QONPEDCBAAMA 在RtBFG中， 二面角BACE等于例3、如图所示的几何体中,平面， ,，是的中点.()求证:;()求二面角的余弦值.解法一:()证明:取的中点,连接,则,故四点共面，平面，. 又 由，平面 ; ()取的中

21、点,连,则平面过作,连,则是二面角的平面角. 设, 与的交点为,记 ,则有, 又在中,即二面角的余弦值为. zyxEDCBAAMA解法二: 分别以直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，所以. ()证:,即.()解:设平面的法向量为, ，由,得取得平面的一非零法向量为 又平面BDA的法向量为 ，二面角的余弦值为. 例4、 已知四棱锥的底面为直角梯形，底面，且，是的中点 （）证明：面面；（）求面与面所成二面角的大小 证明：以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则 各点坐标为 （）证明：因由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面 又在面上，故面面 （）解：在上取一

22、点，则存在使要使 所求二面角的平面角 例5、如图，三棱锥PABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB (I) 求证：AB平面PCB； (II) 求二面角C-PA-B的大小解法一：(I) PC平面ABC，平面ABC，PCABCD平面PAB，平面PAB，CDAB又，AB平面PCB (II) 取AP的中点E，连结CE、DEPC=AC=2，CE PA，CE=CD平面PAB，由三垂线定理的逆定理，得 DE PA为二面角C-PA-B的平面角由(I) AB平面PCB，又AB=BC，可求得BC=在中，PB=， 在中， sinCED=二面角C-PA-B的大小为arc

23、sin解法二：（I）同解法一(II) 设平面PAB的法向量为m= (x，y，z)，则 即解得 令= -1, 得 m= (，0，-1) 设平面PAC的法向量为n=()， 则 即解得 令=1, 得 n= (1，1，0) = 二面角C-PA-B的大小为arccos训练题1、 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形,平面底面 （）证明：平面； （）求面与面所成的二面角的大小 证明：以为坐标原点，建立如图所示的坐标图系 （）证明：不防设作，则， ， 由得，又，因而与平面内两条相交直线，都垂直 平面 （）解：设为中点，则，由因此，是所求二面角的平面角，解得所求二面角的大小为2、（2008高考山东卷

24、）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，,E，F分别是BC, PC的中点.（）证明：AEPD; （）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角EAFC的余弦值.（）证明：由四边形ABCD为菱形，ABC=60，可得ABC为正三角形.因为E为BC的中点，所以AEBC. 又 BCAD，因此AEAD.因为PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE.而 PA平面PAD，AD平面PAD 且PAAD=A，所以 AE平面PAD，又PD平面PAD.所以 AEPD.（）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH.由（）知 AE平面PAD，则EHA

25、为EH与平面PAD所成的角. 在RtEAH中，AE=，所以 当AH最短时，EHA最大，即 当AHPD时，EHA最大.此时 tanEHA=因此 AH=.又AD=2，所以ADH=45，所以 PA=2.解法一：因为 PA平面ABCD，PA平面PAC，所以 平面PAC平面ABCD. 过E作EOAC于O，则EO平面PAC， 过O作OSAF于S，连接ES，则ESO为二面角E-AF-C的平面角， 在RtAOE中，EO=AEsin30=，AO=AEcos30=, 又F是PC的中点，在RtASO中，SO=AOsin45=,又 在RtESO中，cosESO= 即所求二面角的余弦值为解法二：由（）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以E、F分别为BC、PC的中点，所以A（0，0，0），B（，-1，0），C（，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），所以 设平面AEF的一法向量为则因此取因为 BDAC，BDPA，PAAC=A，所以 BD平面AFC，故为平面AFC的一法向量.又 =（-），所以 cosm