2015年高考数学数列知识点总结

1、2015 年高考数列基础知识点和方法归纳年高考数列基础知识点和方法归纳 1考纲要求考纲要求 要求层次 内容 4 ABC 数列的概念数列的概念和表示法 等差数列的概念 等比数列的概念 等差数列的通项公式与前n项和公式 数列等差数列、 等比数列 等比数列的通项公式与前n项和公式 二定义与性质二定义与性质 1. 等差数列的定义与性质 定义： 1nn aad （d为常数）， 1 1 n aand 等差中项：xAy，成等差数列2Axy 前n项和 1 1 1 22 n n aann n Snad 性质： n a是等差数列 （1）若mnpq，则 mnpq aaaa； （2）数列仍为等差数列， 232nnnn

2、n SSSSS， 仍为等 12212 , nnn aaa 差数列，公差为；dn2 （3）若三个成等差数列，可设为adaad， （4）若 nn ab，是等差数列，且前n项和分别为 nn ST，则 21 21 mm mm aS bT （5） n a为等差数列 2 n Sanbn（ab，为常数，是关于n的常数项为 0 的 二次函数） n S的最值可求二次函数 2 n Sanbn的最值；或者求出 n a中的正、负分界 项， 即：当 1 00ad，解不等式组 1 0 0 n n a a 可得 n S达到最大值时的n值. 当 1 00ad，由 1 0 0 n n a a 可得 n S达到最小值时的n值.

3、(6)项数为偶数的等差数列 n a ，有 n2 ),)()()( 11122212 为中间两项 nnnnnnn aaaanaanaanS ，.ndSS 奇偶 1 n n a a S S 偶 奇 （7）项数为奇数的等差数列 n a ，有 12 n ， ，.)() 12( 12 为中间项 nnn aanS n aSS 偶奇 1 n n S S 偶 奇 2. 等比数列的定义与性质 定义： 1n n a q a （q为常数，0q ）， 1 1 n n aa q . 等比中项：xGy、成等比数列 2 Gxy，或Gxy . 前n项和： 1 1 (1) 1 (1) 1 n n na q Saq q q （要

4、注意！） 性质： n a是等比数列 （1）若mnpq，则 mnpq aaaa （2） 232nnnnn SSSSS， 仍为等比数列,公比为. n q 注意：由 n S求 n a时应注意什么？ 1n 时， 11 aS；n2 时， 1nnn aSS . 三判定与证明三判定与证明 等差数列的判定方法 （1） 定义法：若或(常数) 是等差数列 daa nn 1 daa nn 1 Nn n a （2） 等差中项：数列是等差数列 n a)2(2 11 - naaa nnn 21 2 nnn aaa （3） 数列是等差数列（其中是常数）。 n abknanbk, （4） 数列是等差数列,（其中A、B是常数）

5、。 n a 2 n SAnBn 等差数列的证明方法 定义法：若或(常数) 是等差数列daa nn 1 daa nn 1 Nn n a 等比数列的判定方法 （1）用定义：对任意的 n,都有为等 1 1 (0) n nnn n a aqaq qa a 或为常数， n a 比数列 （2） 等比中项：（0）为等比数列 2 11nnn aaa 11nn aa n a （3） 通项公式：为等比数列0 n n aA BA B n a （4）前 n 项和公式： 为 等比数列, , nn nn SAA BSA BAA B A B或为常数 n a 等比数列的证明方法 依据定义：若或为等比数列 * 1 2, n n

6、 a q qnnN a 0且 1nn aqa n a 四、数列的通项求法：四、数列的通项求法： （1）观察法：如：（1）0.2，0.22，0.222，（2）21，203，2005，20007， （2）化归法：通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列。 递推式为及（为常数）：直接运用等差（比）数列。daa nn 1nn qaa 1 qd, 递推式为：迭加法)( 1 nfaa nn 如：已知中，求 n a 2 1 1 a 14 1 2 1 n aa nnn a 递推式为：迭乘法 nn anfa)( 1 如：已知中，求 n a2 1 a nn a n n a 1 1 n a 递推式为（为常数）：

7、qpaa nn 1 qp, 构造法：、由相减得，则 qpaa qpaa nn nn 12 1 )()( 112nnnn aapaa 为等比数列。 1nn aa 、设，得到，则)()( 1 tapta nn qtpt 1 p q t 为等比数列。 1 p q an 如：已知，求52, 1 11 nn aaa n a 递推式为（为常数）： n nn qpaa 1 qp, 两边同时除去得，令，转化为 1n q qq a q p q a n n n n 1 1 1 n n n q a b ，再用法解决。 q b q p b nn 1 1 如：已知中，求 n a 6 5 1 a 1 1 ) 2 1 (

8、3 1 n nn aa n a 递推式为（为常数）： nnn qapaa 12 qp, 将变形为，可得出 nnn qapaa 12 )( 112nnnn taastaa 解出，于是是公比为的等比数列。 qst pts ts, 1nn taa s 如：已知中，求 n a2, 1 21 aa nnn aaa 3 1 3 2 12 n a （3）公式法：运用 2, 1, 1 1 nSS nS a nn n 已知，求；已知中， ，求；153 2 nnSn n a n a nn aS23 n a 已知中，求 n a)2( 12 2 , 1 2 1 n S S aa n n nn a 五、数列的求和法：五

9、、数列的求和法： （1）公式法： 等差（比）数列前项和公式： ；nn321 ； 6 ) 12)(1( 321 2222 nnn n 23333 2 ) 1( 321 nn n （2）倒序相加（乘）法： 如：求和：； n nnnnn CnCCCS) 1(32 210 已知为不相等的两个正数，若在之间插入个正数，使它们构成以ba,ba,n 为首项，为末项的等比数列，求插入的这个正数的积；abn n P （3）错位相减法：如：求和： n nxxxxS 32 32 （4）裂项相消法： ； )( 1 knn an nkn an 1 ； 如： ； ) 1( 1 43 1 32 1 21 1 nn S ；

10、)2( 1 53 1 42 1 31 1 nn S 若，则 ； 1 1 nn an n S （5）并项法：如：求100994321 100 S （6）拆项组合法：如：在数列中，求， n a1210na n nn S 六、数列问题的解题的策略：六、数列问题的解题的策略： （1）分类讨论问题：在等比数列中，用前项和公式时，要对公比进行讨论；只有nq 时才能用前项和公式，时1qn1q 11 naS 已知求时，要对进行讨论；最后看满足不满足，若满 n S n a2, 1nn 1 a)2( nan 足中的扩展到，不满足分段写成。 n an * N n a （2）设项的技巧： 对于连续偶数项的等差数列，可

11、设为，公差为,3,3,dadadada ；d2 对于连续奇数项的等差数列，可设为，公差,2,2,dadaadada 为；d 对于连续偶数项的等比数列，可设为，公比为；, 3 3 aqaq q a q a 2 q 对于连续奇数项的等比数列，可设为公比为；, 2 2 aqaqa q a q a q 高考题高考题 一、选择题 1.(广东卷)已知等比数列 n a的公比为正数，且 3 a 9 a=2 2 5 a， 2 a=1，则 1 a= A. 2 1 B. 2 2 C. 2 D.2 2（安徽卷）已知为等差数列，则等 于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 3.（江西卷）公差不为零的等差数列 n a

12、的前n项和为 n S.若 4 a是 37 aa与的等比中项, 8 32S ,则 10 S等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 . 4（湖南卷）设 n S是等差数列 n a的前 n 项和，已知 2 3a ， 6 11a ，则 7 S等于 A13 B35 C49 D 63 5.（辽宁卷）已知 n a为等差数列，且 7 a2 4 a1, 3 a0,则公差 d （A）2 （B） 1 2 （C） 1 2 （D）2 6.（四川卷）等差数列 n a的公差不为零，首项 1 a1， 2 a是 1 a和 5 a的等比中项，则 数列的前 10 项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D.

13、190 7.（宁夏海南卷）等差数列 n a的前 n 项和为 n S，已知 2 11 0 mmm aaa ， 21 38 m S ,则m （A）38 （B）20 （C）10 （D）9 . 8.（重庆卷）设 n a是公差不为 0 的等差数列， 1 2a 且 136 ,a a a成等比数列，则 n a的前n项和 n S= A 2 7 44 nn B 2 5 33 nn C 2 3 24 nn D 2 nn 9.（四川卷）等差数列 n a的公差不为零，首项 1 a1， 2 a是 1 a和 5 a的等比中项，则 数列的前 10 项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 . 二、填空

14、题 1（浙江）设等比数列 n a的公比 1 2 q ，前n项和为 n S，则 4 4 S a 2.(山东卷)在等差数列 n a中,6 , 7 253 aaa,则_ 6 a. 3.（宁夏海南卷）等比数列 n a的公比0q , 已知 2 a=1， 21 6 nnn aaa ，则 n a的 前 4 项和 4 S= . 三、解答题 1、（2014 年山东卷）已知等差数列满足：，的前项 n a7 3 a26 75 aa n an 和为 n S （）求及；（）令（），求数列的前项和为。 n a n S 1 1 2 n n a b * Nn n bn n T 2、（2014 陕西卷）已知an是公差不为零的等

15、差数列，a11，且 a1，a3，a9成等比数列. （）求数列an的通项;（）求数列2an的前 n 项和 Sn. 3、（2014 重庆卷） 已知是首项为 19，公差为-2 的等差数列，为的前项和. n a n S n an （）求通项及；（）设是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列 n a n S nn ba 的通项公式及其前项和. n bn n T 4、（2013 北京卷） 已知为等差数列，且，。| n a 3 6a 6 0a （）求的通项公式；（）若等差数列满足，| n a| n b 1 8b ，求的前 n 项和公式 2123 baaa| n b 5、（2013 年全国卷）设等差数列的

16、前项和为，公比是正数的等比数列的 n an n s n b 前项和为，已知的通项公式。n n T 113333 1,3,17,12, nn ababTSb求a 6、（2011 年全国卷） 设数列的前 N 项和为,已知求和 n a n S 2 6,a 12 630,aa n a n S 7、（2011 重庆卷）设是公比为正数的等比数列，,. ()求的通项公式;www.ylhxjxm()设是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数 列的前 项和 参考答案： 一、选择题 1.【答案】B【解析】设公比为q,由已知得 2 284 111 2a qa qa q,即 2 2q ,又因为等比 数列 n a的公

17、比为正数，所以2q ,故 2 1 12 22 a a q ,选 B 2.【解析】 135 105aaa 即 3 3105a 3 35a 同理可得 4 33a 公差 43 2daa 204 (204)1aad .选 B。【答案】B 3.答案：C【解析】由 2 437 aa a得 2 111 (3 )(2 )(6 )adad ad得 1 230ad,再由 81 56 832 2 Sad得 1 278ad则 1 2,3da ,所以 101 90 1060 2 Sad,.故选 C 4.解: 1726 7 7()7()7(3 11) 49. 222 aaaa S 故选 C. 或由 211 61 31 5

18、112 aada aadd , 7 1 6 213.a 所以 17 7 7()7(1 13) 49. 22 aa S 故选 C. 5.【解析】a72a4a34d2(a3d)2d1 d 1 2 【答案】B 6.【答案答案】B 设公差为d，则)41 (1)1 ( 2 dd.d0，解得d2， 10 S100 7.【答案】C【解析】因为 n a是等差数列，所以， 11 2 mmm aaa ，由 2 11 0 mmm aaa ，得：2 m a 2 m a0，所以， m a2，又 21 38 m S ，即 2 )(12( 121 m aam 38，即（2m1）238，解得 m10，故选.C。 8.【答案】

19、A 解析设数列 n a的公差为d，则根据题意得(22 )22 (25 )dd，解得 1 2 d 或0d （舍去），所以数列 n a的前n项和 2 (1)17 2 2244 n n nnn Sn 9.【答案答案】B 设公差为d，则)41 (1)1 ( 2 dd.d0，解得d2， 10 S100 二、填空题 1.【命题意图】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式，通过对数列知识点 的考查充分体现了通项公式和前n项和的知识联系 【解析】对于 44 3 14 441 3 4 (1)1 ,15 1(1) aqsq saa q qaqq . 2.【解析】:设等差数列 n a的公差为d,则由已知得

20、64 72 11 1 dada da 解得 1 3 2 a d , 所以 61 513aad. 答案:13.【命题立意】:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算. 3.【答案】 15 2 【解析】由 21 6 nnn aaa 得： 11 6 nnn qqq，即06 2 qq， 0q ，解得：q2，又 2 a=1，所以， 1 1 2 a ， 21 )21 ( 2 1 4 4 S 15 2 。 三、解答题 1、解：（）设等差数列的首项为，公差为， n a 1 ad 由于，所以，26102 1 da，7 3 a26 75 aa72 1 da 解得，2d ，由于 ， ，3 1 adnaan) 1( 1

21、 2 )( 1n n aan S 所以，12 nan)2( nnSn （）因为，所以因此12 nan) 1(41 2 nnan) 1 11 ( 4 1 ) 1(4 1 nnnn bn 故 nn bbbT 21 ) 1 11 3 1 2 1 2 1 1 ( 4 1 nn 所以数列的前项和) 1 1 1 ( 4 1 n) 1(4 n n n bn ) 1(4 n n Tn 2、解 （）由题设知公 差 d0， 由 a11，a1，a3，a9成等比数列得， 12 1 d1 8 12 d d 解得d1，d0（舍去）， 故an的通项 an1+（n1）1n. ()由（）知=2n，由等比数列前 n 项和公式得2

22、 m a Sm=2+22+23+2n=2n+1-2.、 2(1 2 ) 1 2 n 3、 4、解：（）设等差数列的公差。 n ad 因为 所以 解得 36 6,0aa 1 1 26 50 ad ad 1 10,2ad 所以10(1) 2212 n ann （）设等比数列的公比为 因为 n bq 2123 24,8baaab 所以 即=3824q q 所以的前项和公式为 n bn 1(1 ) 4(1 3 ) 1 n n n bq S q 5、解设的公差为，的公比为 n ad n bq 由得 由得 33 17ab 2 12317dq 33 12TS 2 4qqd 由及解得 0q 2,2qd 故所求

23、的通项公式为 1 21,3 2n nn anb 3求数列通项公式的常用方法 （1）求差（商）法 如：数列 n a， 12 2 111 25 222 n n aaan ，求 n a 解 1n 时， 1 1 2 1 5 2 a ， 1 14a 2n 时， 121 21 111 21 5 222 n n aaan 得： 1 2 2 n n a ， 1 2n n a ， 1 14(1) 2(2) n n n a n 练习数列 n a满足 111 5 4 3 nnn SSaa ，求 n a 注意到 11nnn aSS ，代入得 1 4 n n S S ； 又 1 4S ， n S是等比数列， 4n n

24、S 2n 时， 1 1 3 4n nnn aSS （2）叠乘法 如：数列 n a中， 1 1 3 1 n n an a an ，求 n a 解 32 121 1 21 2 3 n n aaan aaan ， 1 1 n a an 又 1 3a ， 3 n a n . （3）等差型递推公式 由 110 ( ) nn aaf naa ，求 n a，用迭加法 2n 时， 21 32 1 (2) (3) ( ) nn aaf aaf aaf n 两边相加得 1 (2)(3)( ) n aafff n 0 (2)(3)( ) n aafff n 练习数列 n a中， 1 11 132 n nn aaan

25、 ，求 n a （ 1 31 2 n n a ） （4）等比型递推公式 1nn acad （cd、为常数，010ccd，） 可转化为等比数列，设 11 1 nnnn axc axacacx 令(1)cxd， 1 d x c ， 1 n d a c 是首项为 1 1 d ac c ，为公比的等比数列 1 1 11 n n dd aac cc ， 1 1 11 n n dd aac cc （5）倒数法 如： 11 2 1 2 n n n a aa a ，求 n a 由已知得： 1 2111 22 n nnn a aaa ， 1 111 2 nn aa 1 n a 为等差数列， 1 1 1 a ，公

26、差为 1 2 ， 111 111 22 n nn a ， 2 1 n a n ( 附： 公式法、利用、累加法、累乘法.构造等差或等比 1( 2) 1( 1) nn SSn S n n a 或、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、 1nn apaq 1 ( ) nn apaf n 换元法 ) 4. 求数列前 n 项和的常用方法 (1) 裂项法 把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如： n a是公差为d的等差数列，求 1 1 1 n k kk a a 解：由 11 11111 0 kkkkkk d aaaaddaa 11 1112231 11111111111 nn

27、 kk kkkknn a adaadaaaaaa 11 111 n daa 练习求和： 111 1 12123123n 1 2 1 nn aS n ， （2）错位相减法 若 n a为等差数列， n b为等比数列，求数列 nn a b（差比数列）前n项和，可由 nn SqS，求 n S，其中q为 n b的公比. 如： 231 1234 n n Sxxxnx 2341 2341 nn n x Sxxxxnxnx 21 11 nn n x Sxxxnx 1x 时， 2 1 1 1 n n n x nx S x x ，1x 时， 1 123 2 n n n Sn （3）倒序相加法 把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加. 121 121 nnn nnn Saaaa Saaaa 相加 1211 2 nnnn Saaaaaa 练习已知 2 2 ( ) 1 x f x x ，则 111