微分算子法实用整理总结

1、.微分算子法微分算子法分类小结一、 n 阶微分方程1、二阶微分方程：d2 y+p(x)dy+q(x)y=f(x)dx2dx2、n 阶微分方程：y(n) +a1y(n-1)+a2y(n-2)+a3y(n-3) + . +any=f(x)二、微分算子法1、定义符号：d表示求导，如 Dx 3=3x2， Dny 表示 y 对 x= D ，Ddx求导 n 次；1表示积分，如 11 x 2,1DDx= 2D n x 表示对 x 积分 n 次，不要常数。2、计算将 n 阶微分方程改写成下式：Dny+a1Dn-1y+a2Dn-2y+a3Dn-3y+ . +an-1Dy+any=f(x)即n1n-12n-23n

2、-3n-1n（ D +a D+a D+a D+ . +aD+a ） y=f(x)记 F(D)=D n+a1Dn-1+a2Dn-2+a3Dn-3+ . +an-1D+an规定特解 ：y* = F(D)1 f ( x)13、的性质F(D)(1) 性质一： F(D)1ekx = F(k)1 ekx (F(k) 不等于 0）注：若 k 为特征方程的 m 重根时，有1 / 7.1ekxm1ekxm1kxF(D)= xF(m) (D)= xF(m)(k) e1ekxkx1(2) 性质二： F(D)v(x) = eF(D +k)v(x)11(3) 性质三：特解形如 F(D) sin(ax)和F(D)cos(

3、ax)i. 考察该式（该种形式万能解法） ：1iaxF(D) e利用性质一和二解出结果，并 取相应的虚部和实部作为原方程的特解注：欧拉公式eiax = cos(ax) +i sin(ax)虚数 i 2 = -111ii. 若特解形如 F(D2) sin(ax) 和 F(D 2) cos(ax) ，也可按以下方法考虑：若 F(-a2) 0，则1F(D 2 )1F(D 2 )sin(ax)=cos(ax)=1F(-a 2 )12F(-a )sin(ax)cos(ax)若 F(-a2)= 0 ，则按 i.进行求解， 或者设-a2 为 F(-a2)的 m 重根，则1sin(ax)=xm1F(D2 )F

4、(m) (D2 ) sin(ax)2 / 7.1cos(ax)=xm1cos(ax)2)(m) 2F(DF (D )(4) 性质四（多项式）：1p1p-12p-2+.+bp-1x+bp）F(D)（x +b x+b xp1p-12p-2+.+bp-1x+bp）= Q(D) （ x+b x+b x注： Q(D) 为商式，按 D 的升幂排列，且D 的最高次幂为 p 。(5) 性质五（分解因式） :11f ( x)=1f (x)= F1(D) ?F2 (D)f (x)F(D)F2 (D) ?F1 (D)(6) 性质六 :1 ( f1 ( x) + f 2 (x) =1f1(x) + 1f2 (x)F(

5、D)F(D)F(D)三、例题练习例 1.d 2 yx2+4y=edx则(D2+4)y=ex , 特解 y*=21ex= 21ex= 1 ex ( 性质一 )D +41 +45例 2、 y(4)），则(D4）+y=2cos(3x+1)y= 2cos(3x3 / 7.特解 y* =412cos(3x）= 21cos(3x）D+1D4+1=21cos(3x）=1 cos(3x）(性质三 )22( -3 )+141d2y-4dxdy2x, 则( D2-4D+4)y= x2e2x例 3、dx2+4y= x2e特解 y*1x22x=2x1x2=2e2D- 4D +4e（D + ）2- 22x1x2 =1x

6、4e2x= eD 212（性质二）32xxd y-3ddxy2 +3dydx -y=e例 4、 dx3, 则( D3-3D2+3D-1)y=e特解 y* =13ex =ex13?1（D）（D +）-11-1=ex1?13xD 31=6 x e( 性质二）例 5、 d3 y -y=sinx ,则( D3-1)y=sinx ,特解 y* = 1 sinxdx3D 3 -1考察31eixD-113eix=1ix= -1eix=i - 1 ixDi3- 1ei +12e-1i -1= 2 (cosx+i sinx)11(cosx-sinx)=- 2(cosx+sinx)+i 21(cosx-sinx)

7、取虚部为特解 y* = 2(性质一、三 )4 / 7.例 6、d2y+1)y=cosx ，特解 y* =1cosxdx2 +y=cosx ，则 (D22+1D考察21eixD+1D 21+1 eix =1(D- i)(D +i) eix= (12i eixixD- i)=e?=1ix(D - i)(D+i) e1?2i ?(D +i -i)1iix11=- 2 xe= 2 xsinx -i 2 xcosx取实部为特解 y* =1xsinx(性质一、二、三）2d4y-y=exx例 7、4，则(D4-1)y= edx特解 y* =41 ex=( D - 1)(D12exD -1+1)(D+1)=1

8、ex( D - 1)(1 +1)(1 2 +1)= 1 ?1 ?1 ex = 1 1 exD-1 2 2D-1 41x11x= 4eD+1-1?1= 4 xe（性质一、二、五）例 8、d2 ydx2 +y=x2-x+2 , 则(D 2+1)y= x2-x+25 / 7.特解 y* =12(x2-x+2)D+1=(1-D2)(x2-x+2)=x2-x(性质四 )例 9、d 2 y+2dy+2y=x2e-x,则( D2+2D+2)y=x2e-xdx2dx1-x-x1特解 y*= (D +1) 2 +1 x2e=e(D -1+1)2 +1 x2=e-x1-x-xD2+1x2=e(1-D2)x2=e(x2-2)（性质二、四）d2 y例 10、 dx2 +y=xcosx ，则 (D2+1)y=xcosx ，11ix特解 y* =xeD 2 +1 xcosx，考察D 2 +11ix1ixix1D 2 +1 xe=(D - i)(D+i) xe=e(D +i - i)(D +i +i) xix1ix11D=eD(D+2i) x=eD(2i+ 4) x=eix1 ( x +1) x =eix (