毕业论文Dunkl-λ 算子的 Almansi 分解

1、本科毕业论文论文题目： Dunkl- 算子的 Almansi 分解作者姓名： 学科专业： 数学与应用数学导师姓名： 完成时间： Dunkl- 算子的 Almansi 分解中国科学技术大学数学系指导老师： 教授学科专业：数学与应用数学 年 6 月Almansi decomposition for Dunkl- operatorsZhao ChenSupervisor: Professor RenDepartment of Mathematics University of Science and Technology of ChinaJune,2013中国科技大学本科毕业论文致谢在此论文撰写过程

2、中，要特别感谢我的导师任广斌的指导与督促，同时感谢他的谅解与包容。没有任老师的帮助也就没有今天的这篇论文。求学历程是艰苦的，但又是快乐的。感谢我的班主任宋立功老师，谢谢他在这四年中为我们全班所做的一切。在这四年的学期中结识的各位生活和学习上的挚友让我得到了人生最大的一笔财富。在此，也对他们表示衷心感谢。谢谢我的父母，没有他们辛勤的付出也就没有我的今天，在这一刻，将最崇高的敬意献给你们！本文参考了大量的文献资料，在此，向各学术界的前辈们致敬！中国科技大学本科毕业论文目录摘要2Abstract3第一章引言41.1 Dunkl 算子分析理论介绍41.2 Dunkl 算子的定义及其 Almansi 分

3、解4第二章Dunkl- 算子的相关性质72.1 Dunkl- 算子的相关定义72.2 Dunkl- 算子的性质及应用8第三章Dunkl-算子的 Almansi 分解143.1 证明主要定理14参考文献1818摘要本文从 Dunkl 算子的 Almansi 分解理论出发，将其推广至 Dunkl- 算子，得到 Dunkl- 算子的 Almansi 分解。Dunkl- 算子作为 Dunkl 算子的推广，在数学， 物理等领域均有重要的应用背景以及研究意义。第一章，介绍了本文的研究背景和意义，包括 Dunkl 算子 Almansi 分解的基本结果，关于 Dunkl 算子在数学、物理中的背景和研究状况，以

4、及 Almansi 分解的研究状况。第二章，我们给出了 Dunkl- 算子的定义以及其基本性质，对某些特定函数作用后的结论。第三章，我们根据第二章的结论，利用与 Dunkl 算子的 Almansi 分解相似的方法，对其做一些调整，进而证明了本文的主要定理，即 Dunkl- 算子的 Almansi 分解。进一步可以研究 Dunkl- 算子的谱问题。关键词：Dunkl 算子，Dunkl- 算子，Almansi 分解。AbstractIn this paper, we get the Almansi decomposition of the Dunkl- operator. The Dunkl- o

5、perator is the generalized form of the Dunkl operator with an important significance and deep background in the application of math and physics.In Chapter 1,we introduce the background and significance of this paper including the operator theory for the Dunkl operator and the studying of the Almansi

6、 decomposition.In Chaper 2,we introduce the definition and the property of the Dunkl-operator,and the result of some special functions which done with the Dunkl- operator.In Chaper 3,based on the result of the Chaper 2,we give out and prove the main Theorem of this paper.Keywords: Dunkl operator, Du

7、nkl- operator, Almansi decomposition.第一章引言1.1 Dunkl 算子分析理论介绍Dunkl 算子是 Dunkl 分析的核心，它是含参数的微分-差分算子，与 Coxeter 群紧密相伴2。Dunkl 分析在数学和物理上，都有广泛应用。例如，在数学上， Cherednik 将 Dunkl 理论应用于分次仿射 Hecke 代数的表示理论4。在物理上， 它在 Calogero-Moser-Sutherland 型量子多体可积理论中起着核心作用，从而在量子混沌，超导理论，黑洞理论具有重要应用5。多调和函数作为多项式函数的直接推广，其理论在偏微分方程，数值计算，小波

8、分析，多复变函数论，弹性理论，雷达成像等领域中有很多重要的应用。Almansi 分解定理是多调和理论的核心定理。它是 Fisher 定理的推广，表明了在的星形域 中任何度为 n 的多调和函数，即! = 0时，存在唯一调和函数!,使得 = ! + ! + + ! ! ! , .在上述命题的基础上，我们将其应用至Dunkl算子上，讨论相关性质及应用。1.2 Dunkl 算子的定义及其 Almansi 分解定义1.1对非零向量 !,记!为与v正交的超平面 !中的反射，即! 2, !其中 , 表示通常在欧式空间定义下的内积，且 ! = , 。定义1.2设 ! 0 为一个有限集，满足! = ,且 = 对

9、任意 成立，则称R为根系。由 !: 生成的 , 的子群 = ()称为与R相伴的反射群（或称为Coxeter群）。!为R的子集，使得 = ! ! ，其中!与!被过原点的超平面分开。定义1.3定义在根系上的重度函数为R到的映射，满足! = !对任意 成立。设 = ! ! !，并一直假定! /2定义1.4我们定义Dunkl算子!：!= ! +!注1：Dunkl算子有重要的性质：! = !(具体证明见2)注2：假定是!中G-不变且包括原点的凸集，由1可知，Dunkl算子具有正则性，即：若 ! , 1,则有! ! 。这是由公式!=(! + 1 ,!2决定的。其中 ! , 。(具体证明见1)定义1.5Du

10、nkl-Laplace算子定义为!= ! + + !通过直接计算可知，!= +! + !其中，为通常定义下的Laplace算子；!= 2!;!= 2! !;由此，我们可以给出Dunkl算子的Almansi分解。定理1.1 (Dunkl算子的Almansi分解)设! /2设是!中G-不变且包括原点的凸集，其中G是!中的Coxeter群。若是中度为n的Dunkl-调和函数，则唯一存在一系列Dunkl-调和函数!,有 = ! + ! + + ! ! ! , .相应地，若表述成上述形式，且!为一系列Dunkl-调和函数，则有为中度为n的Dunkl-调和函数。第二章Dunkl- 算子的相关性质2.1 D

11、unkl-算子的相关定义在本文中，我们一直设 = !, ! !, ! 0定义2.1Dunkl-算子定义为!= ! + + !通过直接计算可知，!=!+ ! + !其中，! =! ! ;!() = 2!;! () = 2 !;!在此， = , ;! ! ! = ! + !.! !定义2.2 设I为恒等算子。对任意 且 0,我们定义算子!: ，! =()!对任意 ,我们考虑算子!= 14!(!)!(!)! !并设! = +! !2.2 Dunkl-Laplace 算子的性质及应用定理2.1若 , 0, ! ，有 = ! = ! 证明：对任意 , 0, ! ， =! ! (! ).通过直接计算，可知

12、! = ! + ! ,其中! = !.因此，! =! + ! = ! +!由上两个等式及!, !定义可知， = ! = ! .! !.定理2.2若 ! ，则对任意 , 0 ,! ! = ! ! .证明：对任意 ，由定义可知， () = 2! != 2! ! , ! ! !()!=2!=! != ! !同样地， = 2 ! ! != 2! ! ( ( !)!, ! !=2! ! !( ( ), != ! 且! ! =! !()! !=! ! ()! != ! ! 因为!=!+ ! + !，所以可以得出结论! ! = ! ! 对 成立。定理 2.3设! = :! = 0 .若 0且!如上所设，则!

13、 = !,! = !,! = !.证明：首先证明! ! = ! ! . .事实上，由于定理 2.1，可知! != ! ! ! = ! ! ! =! !由此，我们可直接得出若调和，则!,!是调和的结论。进而，由!的定义，亦可知! = !. 从而，命题得证。定理 2.4设 ! , , 0 , 记!= ( !)!,!则! !,! = !,! ! + 2!,! 证明：对 ! 0 , ! ,通过简单计算可得，! = ! + 2 !, + ! .其中!，!如上所述。又可知， = ! !,!,!从而! !,! =! ! !,!= !,! +( 2) ! !,!= ( + 2)!,!所以，有 = ! + 2

14、+ ( + !,!,! !,! ! 2)!,!()= !,! ! + 2!,!又可知，!,! = !其中 1 = (!, , 1!)所以由!的性质可知，! ! = !即!,! = !,!带入!表达式后易得，! !,! = !,!由定义，可知 = 2!,!= !,! + 2!= !,! + 2!,!()综上所述，可得! !,! = !,! ! + 2!,! 定理 2.5对在中任何 Dunkl-调和函数，有结论! !,! = , 证明：由上可知! = 4! !(!)!(!) !记 = !，因此也为 Dunkl-调和函数且 = 4! !(!)!(!)! !()!下证! !,!() = 4! !(!)

15、!(!) !()!对任意中任何 Dunkl-调和函数以及 成立。易知，n=1 时，由定理 2.4 知，结论成立。进而，! !,! =! ! !,! != 4 ! (2!(!),! ! x )!我们利用数学归纳法，可知结论成立。第三章Dunkl-算子的 Almansi 分解3.1 主要定理的证明我们利用上一章所提出的 Dunkl-算子的性质，来推导本文的主要定理。定理 3.1（主要定理）记若满足(!,!)! = 0对一些指数 n 成立，则存在Dunkl- 调和函数!,即对任意!,满足!,! ! = 0，使得 = ! + !,! + + !(!),! , .进而，Dunkl- 调和函数!有如下形式

16、：! = !,! ! !,! ! !(!),! ! ! =! ! !,! ! ( !,! !)()! =! ! ().其中!= ( !)!,!相应地，若!是中的 Dunkl- 调和函数，则由上式求和得到的函数可定义为中度为 n 的多调和函数。下面我们来证明这个定理证明：记! = : ! = 0下证! = ! + !(!),! 由定理 2.5 知，! !,! = 为证明上述命题，我们将其分成两部完成：! ! + !(!),!.由于! !，我们只需证明!(!),! !.对任意 !,由定理 2.3，定理 2.5 知，! ! !, ! =! ! ! ! ! ! !,!=!,! ! != 0! ! +

17、!(!),!.对任意 !,我们可将分解成如下形式： = !(!),! ! + !(!),!(! ! ).!首先，因为! !(!),! ! =! (! !(!),!) ! != ! != 0进而，由于! !且! !我们有! ! !，即可知!,! ! + !(!),!.由上，我们可得证! = ! + !(!),!.用同样的方法，我们可推出! = ! + !,! + + !(!),!接下来，我们需要证明对任何 !，分解 = + !(!),!, !, ! !.!是唯一的。事实上，对这样的分解，等式两边同时用!作用，可得! =! +! ! ! ,!=! !(!),! != ! !.!因此，! = ! !

18、 进而! = ! ! ,! = ! ! ,! ! 即可说明分解的唯一性。!反之，由定理 3.1 的推导过程可知，对任意 ，! !,! = 0，用 j 替代n，得! !,! = 0对任意 成立，可知若!是中的 Dunkl- 调和函数，则为中度为 n的多调和函数。综上，本文在一般 Dunkl 算子的 Almansi 分解的基础上，通过引入!,!，讨论了 Dunkl- 算子性质，以及 Almansi 分解，并证明了与此相关的结论。参考文献1 Ren, G. B., Almansi decomposition for Dunkl operators, Science in China Ser. A 48 (2005), 1541-1552.2 Rsler, M., Dunkl operators: theory and applications. Orthogonal polynomials and special functions. Springer Berlin Heidelberg, 2003: 93-135.3 Dunkl, C. F., Xu, Y., Orthogonal Pol