人教版八级数学上册《乘法公式》PPT课件

1、.,1,乘法公式,整式的乘除与因式分解,.,2,活动1 知识复习 多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.,(x+1)(x1)； (2) (a+2)(a2)； (3) (3x)(3+x) ； (4) (2x+1)(2x1).,(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.,活动2 计算下列各题，你能发现什么规律？,.,3,平方差公式:,(a+b)(a b)=,a2 b2.,即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差.,( m+n) ( m n) =,m2 n2.,(a+b)(a b)=,a2 b2 .,a2 ab+ab b2

2、=,.,4,请从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形，如图1，拼成如图2的长方形，你能根据图中的面积说明平方差公式吗？,(a+b)(ab)=a2b2.,图1,图2,.,5,例1 运用平方差公式计算： (1) (3x2 )( 3x2 ) ； (2) (b+2a)(2ab); (3) (-x+2y)(-x-2y).,解：（1）(3x2)(3x2),=(3x)222,=9x24；,（2）(b+2a)(2ab),=(2a+b)(2ab),=(2a)2b2,=4a2b2.,(3) (-x+2y)(-x-2y),=(-x)2(2y)2,= x24y2,活动3,.,6,例2 计算 (1) 10298

3、 (2) (y+2) (y -2) - (y -1) (y+5),.,7,2.利用平方差公式计算： （1）(a+3b)(a - 3b)= （2）(3+2a)(3+2a)= （3）(2x2y)(2x2+y)= （4）5149= （5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)=,(a)2(3b)2,=4 a29；,=4x4y2.,活动4 练习 1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当 怎样改正？ (1)(x+2)(x2)=x22； (2)(3a2)(3a2)=9a24.,(2a+3)(2a-3),=a29b2 ；,=(2a)232,(-2x2 )2y2,(50+1)(50-1),=502

4、12,=2500-1,=2499,(9x216) -,(6x2+5x -6),=3x25x+10,.,8,活动5 科学探究 给出下列算式: 3212=8 =81； 5232=16=82； 7252=24=83； 9272=32=84. （1）观察上面一系列式子，你能发现什么规律？ （2）用含n的式子表示出来 （n为正整数）. （3）计算 2005220032= 此时n = .,连续两个奇数的平方差是8的倍数.,（2n+1)2 (2n1)2=8n,8016,1002,提示:根据2005=2n+1或2003=2n-1求n,.,9,1.通过本节课的学习我有哪些收获？ 2.通过本节课的学习我有哪些疑惑

5、？ 3.通过本节课的学习我有哪些感受？,作业：第156页 习题 15.2 第1题,.,10,练习 1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当 怎样改正？ (1)(x+2)(x2)=x22； (2)(3a2)(3a2)=9a24.,2.根据公式(a+b)(ab)= a 2b 2计算. (1)(x+y)(xy)； (2)(a+5)(5a)； (3)(xy+z) (xyz)； (4)(ca) (a+c)； (5)(x3) (3x).,.,11,利用平方差公式计算：,(1)(5+6x)(56x); (2)(x2y)(x+2y); (3)(m+n)(mn).,活动5 知识应用，加深对平方差公式的理解,下列

6、多项式乘法中，能用平方差公式计算的是( ): （1）(x+1)(1+x)； （2）(a+b)(ba)； （3）(a+b)(ab)； （4）(x2y)(x+y2)； （5）(ab)(ab)；（6）(c2d2)(d2+c2).,.,12,乘法公式 平方差公式,整式的乘除与因式分解,.,13,你能用简单方法计算下列问题吗？ (1)、1002998 =(1000+2)(1000-2) =10002+21000-21000-22 = 10002-22 =999996 (2)、 200004199996,.,14,观察下列多项式，并进行计算，你能发现什么规律？,(x+1)(x-1) =x2-x+x-1 =

7、x2-1 (m+2)(m-2) =m2-2m+2m-22 =m2-22 =m2-4,(2x+1)(2x-1) =(2x) 2-2x+2x-1 =(2x) 2-1 =4x 2-1,.,15,(a+b)(a-b)=a2-b2 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。,.,16,从边长为a的大正方形底板上挖去一个边长为b的小正方形（如图甲），然后将其裁成两个矩形（如图乙），通过计算阴影的面积可以验证公式,(a+b)(a-b)=a2-b2,a,b,a-b,.,17,快乐学习1： 运用平方差公式计算,( 3x+2 )( 3x-2) =(3x)2-22 =9x2-4 (b+2a)(2a-b) =

8、(2a)2-b2 =4a2-b2,( -x+2y )(-x-2y) =(-x)2-(2y)2 =x2-4y2,.,18,(1)(x+2)(x-2)= x2-2,牛刀小试,.,19,快乐学习2： 计 算,10298 =(100+2)(100-2) =1002-22 =9996,(y+2 )( y-2)-(y-1)(y+5) = y2-22-(y2+5y-y-5) = y2-4-y2-4y+5 = -4y+1,.,20,试一试：,( a+b)(-b+a) (3a+2b)(3a-2b) (a5-b2)(a5+b2) (a+b)(a-b)(a2+b2),a2-b2,9a2-4b2,a10-b4,a4-

9、b4,.,21,算一算： （x+y )( x-y)+(2x+y )( 2x-y） x(x-3)-(x+7)(x-7) 填一填: （_+_）（_-_）= - 9 （a+2b+2c）（a+2b-2c）写成平方差公式形式：_,大显身手,5x2-2y2,-3x+49,(a+2b)2-(2c)2,.,22,200004199996 =（200000+4）（200000-4） = 2000002 - 42 = 40000000000 - 16 = 39999999984,成功体验,.,23,大家谈收获,(a+b)(a-b)=a2-b2 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。,平方差公式中字母

10、a、b可代表一个数、一个单项式或多项式。,.,24,拓展探究,.,25,谢 谢!,再 见！,.,26,人教版 数学 八年级(上),乘法公式,完全平方公式,.,27,一、情景引入,请同学们探究下列问题：一位老人非常喜欢孩子每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块塘，（1）第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？（2）第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？（3）第三天这（a+b）个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？（4）这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数

11、哪个多？多多少？为什么？,(1)a2 (2)b2 (3)(a+b)2 (4)(a+b)2-(a2+b2),.,28,二、探求新知,在上面问题中遇到了两个数和的平方的运算，如何进行这样的运算呢？,我们知道a2=aa，所以(a+b)2=(a+b)(a+b)，这样就转化成多项式与多项式的乘积了,能不能将(a+b)2转化为我们学过的知识去解决呢？,.,29,二、探求新知,像研究平方差公式一样，我们探究一下(a+b)2的运算结果有什么规律 计算下列各式，你能发现什么规律？ （1）(p+1)2=(p+1)(p+1)=_； （2）(m+2)2=_； （3）(p-1)2=(p-1)(p-1)=_； （4）(m

12、-2)2=_； （5）(a+b)2=_； （6）(a-b)2=_,.,30,二、探求新知,(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+p+p+1=p2+2p+1 (2)(m+2)2=(m+2)(m+2)=m2+2m+m2+22=m2+4m+4 （3）(p-1)2=(p-1)(p-1)=p2+p(-1)+(-1)p+(-1)(-1) =p2-2p+1 （4）(m-2)2=(m-2)(m-2) =m2+m(-2)+(-2)m+(-2)(-2)=m2-4m+4 （5）(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2 （6）(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-a

13、b-ab+b2=a2-2ab+b2,.,31,二、探求新知,通过上面的研究，你能用语言叙述完全平方公式吗？,完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍,用符号怎么表述呢？,(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2,.,32,二、探求新知,其实我们还可以从几何角度去解释完全平方差公式 你能根据图（1）和图（2）中的面积说明完全平方公式吗？,.,33,二、探求新知,先看图（1），可以看出大正方形的边长是a+b还可以看出大正方形是由两个小正方形和两个矩形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和阴影部分的正方形边长是a，所以它的面积

14、是a2；,另一个小正方形的边长是b，所以它的面积是b2；另外两个矩形的长都是a，宽都是b，所以每个矩形的面积都是ab；大正方形的边长是a+b，其面积是(a+b)2于是就可以得出：(a+b)2=a2+2ab+b2这正好符合完全平方公式,.,34,二、探求新知,如图（2）中，大正方形的边长是a，它的面积是a2；矩形DCGE与矩形BCHF是全等图形，长都是a，宽都是b，所以它们的面积都是ab；正方形HCGM的边长是b，其面积就是b2；,正方形AFME的边长是（a-b），所以它的面积是(a-b)2从图中可以看出正方形AEMF的面积等于正方形ABCD的面积减去两个矩形DCGE和BCHF的面积再加上正方形

15、HCGM的面积也就是：(a-b)2=a2-2ab+b2这也正好符合完全平方公式,.,35,二、探求新知,数学源于生活，又服务于生活，于是我们可以进一步理解完全平方公式的结构特征现在，大家可以轻松解开课时提出的老人用糖招待孩子的问题了,(a+b)2-(a2+b2) =a2+2ab+b2-a2-b2=2ab于是得孩子们第三天得到的糖果总数比前两天他们得到的糖果总数多2ab块,.,36,例3 运用完全平方公式计算: (1) (4m+n)2; (2) (y- )2.,解: (1) (4m+n) 2= (4m)2 + 2(4m)n+n2 = 16m2+8mn +n2; (2) (y - )2 = y2

16、- 2y + ( )2 = y2-y +,.,37,例4 运用完全平方公式计算: (1) 1022 ; (2) 992 .,解: (1) 1022 = (100 +2) 2 = 1002 +21002 + 22 = 10 000 +400 +4 = 10 404 .,(2) 992 = (100 -1)2 = 1002 -21001+12 = 10 000 - 200 + 1 = 9 801.,.,38,三、小结回顾,1、完全平方公式的内容是什么？,2、请同学们总结完全平方公式的结构特征。,公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方而另一项是左边二项式中

17、两项乘积的2倍,(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2,3、我们要正确理解公式中字母的广泛含义：它可以是数字、字母或其他代数式，只要符合公式的结构特征，就可以运用这一公式,.,39,乘法公式 完全平方公式,整式的乘除与因式分解,.,40,回顾旧知平方差公式 ( a + b )( a b )=a2 - b2,那么(a+b)(a+b)和(a-b)(a-b)是否 也能用一个公式来表示呢？,.,41,完 全 平 方 公 式,一块边长为a米的正方形实验田，,图16,因需要将其边长增加 b 米。,形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图16).,用不同的形式表示实验田的总面积,

18、 并进行比较.,(a+b) ；,2,a2+,ab+,ab+,b2.,(a+b)2=,a2+,ab,+,b2.,2,.,42,探究,计算下列各式，你能发现什么？ (p+1)2 =(p+1)(p+1)= (m+2)2= (p-1)2 =(p-1)(p-1)= (m-2)2 =,p2+2p+1,(m+2)(m+2)=m2+4m+4,p2-2p+1,(m-2)(m-2)=m2- 4m+4,.,43,m2- 4m+4=m2-2m2+22,猜想 (a+b)2= (a -b)2=,a2+2ab+b2,a2 - 2ab+b2,.,44,完全平方公式,(1) 你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?,(a+b)2

19、=a2+2ab+b2 ;,(a+b),(a+b),=a2+ab+,ab+b2,=a2+2ab+,b2;,(2),a2 2ab+b2.,小颖写出了如下的算式:,(ab)2=,a+(b)2,她是怎么想的?,利用两数和的 完全平方公式,推证公式,= 2 + 2 + 2,a,a,(b),(b),=,a2,2ab,b2.,+,你能继续做下去吗?,的证明,.,45,(a+b),a,b,完全平方和公式：,完全平方公式 的图形理解,.,46,(a-b),a,b,完全平方差公式：,完全平方公式 的图形理解,.,47,初 识 完全平方 公式,(a+b)2 = a2+2ab+b2 . (ab)2 = a2 2ab+

20、b2 .,a2,ab,b2,结构特征:,左边是,的平方;,二项式,右边是,(两数和 ),(差),(a+b)2=,a2,ab,b(ab),=,a22ab+b2 .,=,(ab)2,ab,ab,b(ab),(ab)2,a2+2ab+b2,两数的平方和,加上,(减去),这两数乘积的两倍.,(ab)2 = a22ab+b2,语言表述:,两数和 的平方,等于 这两数的平方和,加上 这两数乘积的两倍.,(差),(减去),.,48,公式特点：,4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和 多项式。,(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2,1、积为二次三项式；,2、积中两项

21、为两数的平方和；,3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中 间的符号相同。,首平方，尾平方，积的2倍在中央,.,49,例题解析,例题,例1 利用完全平方公式计算： (1) (2x3)2 ； (2) (4x+5y)2 ; (3) (mna)2,使用完全平方公式与平方差公式的使用一样,先把要计算的式子与完全平方公式对照,明确哪个是 a , 哪个是 b.,第一数,2x,4x2,2x,的平方,( )2,减去,2x,第一数,与第二数,2x,3,乘积,的2倍,2,加上,+,第二数,3,的平方.,2,=,12x,+,9 ;,3,.,50,1.下面各式的计算错在哪里？应怎样改正？,. (a+b)2=a2+b2 (

22、2). (a-b)2=a2-b2,.,51,纠 错 练 习,指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a1)22a22a+1; (2) (2a+1)24a2 +1； (3) (a1)2a22a1.,解: (1),第一数被平方时, 未添括号;,第一数与第二数乘积的2倍 少乘了一个2 ;,应改为: (2a1)2 (2a)222a1+1;,(2) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项);,应改为: (2a+1)2 (2a)2+22a1 +1;,(3) 第一数平方未添括号,第一数与第二数乘积的2倍 错了符号;,第二数的平方 这一项错了符号;,应改为: (a1)2(a)22(a )1+12;,.,52,拓 展 练 习,下列等式是否成立? 说明理由 (1) (4a+1)2=(14a)2； (2) (4a1)2=(4a+1)2； (3) (4a1)(14a)(4a1)(4a1)(4a1)2； (4) (4a1)(14a)(4a1