向量加减法运算及其几何意义

1、知识回顾,1.向量、零向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？ 2.如何表示向量？,在以前的学习中我们知道数能进行运算，那么，与数的运算类比。向量是否也能进行运算呢？ 今天我们将一起学习向量的线性运算的第一节。向量的线性运算指的哪些运算呢？,向量的加法、减法、数乘运算以及他们之间的混合运算,A,B,2.2.1 向量加减法运算 及其几何意义,一、创设情景,（1）,（2）,（3）,上述分析表明：两个向量可以相加，并且两个向量的和还是一个向量,活动一：,求两个向量和的运算，叫做向量的加法,向量加法的三角形法则：,B,C,活动二：成语接龙,志同道合 合二为一 一心一意,鸿鹄之志,向量加法的三角形法则

2、的特点：,A,尝试练习一：,A,B,C,D,E,根据图示填空：,思考1 ？向量的加法可以用三角形法则计算，那么还有别的法则可以计算向量的加法吗？,同起点的对角线 起点相同,向量加法的平行四边形法则：,思考2 ？1.如何求 与任一向量 的和？,2.向量加法的三角形法则与平行四边形法则有什么区别与联系？,b,b,a,三 角 形 法 则:,平行四边形法则:,例1.如图，已知向量 ，求作向量 。,则,三角形法则,作法1：在平面内任取一点O，,作 ， ，,例题讲解：,例1.如图，已知向量 ，求作向量 。,例题讲解：,作法2：在平面内任取一点O，,作 ， ，,以 为邻边作 OACB ，,连结OC，则,平行

3、四边形法则,尝试练习二：,已知向量 ，用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出,当向量 不共线时，和向量的长度 与向量 的长度和 之间的大小关系如何？,三角形的两边之和大于第三边,当向量 不共线时，则,由例1可知：,思考3：如图，当在数轴上两个向量共线时，如何作出两个向量的和？他们的大小关系呢？,（1）,（2）,B,C,B,C,综合以上探究我们可得结论：,若 方向相同时，则 若 方向相反时，则,=,=,小结,1.向量加法的三角形法则,（要点：两向量起点重合组成平行四边形两邻边）,2.向量加法的平行四边形法则,（要点：两向量首尾连接）,例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，

4、如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。,A,D,B,C,例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输， 如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。,答：船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速

5、间的夹角为60。,A,D,B,C,（1）你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？,（2）两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？,思考：,如设,实数 的相反数记作 。,向量的减法运算及其几何意义,回顾：,一、相反向量：,规定：,（1）,（3）设 互为相反向量，那么,2.2.2 向量的减法运算及其几何意义,记作：,的相反向量仍是 。,二、向量的减法：,（2）,设,D,E,又,所以,你能利用我们学过的向量的加法法则作出 吗？,不借助向量的加法法则你能直接作出 吗？,三、几何意义：,可以表示为从向量 的终点指向向量 的终点的向量,（1）如果从 的终点指向 终点作向量，所得向量是什么呢？,（2）当 ，

6、共线时，怎样作 呢？,A,B,O,A,B,O,一般地,B,A,O,（三角形法则）,练习：,三、几何意义,一般地,B,A,O,可以表示为从向量 的终点指向向量 的终点的向量,练习：,已知向量 ，求作向量 ， 。,例3,O,B,A,C,D,作法：,在平面内任取一点O，,则,作,注意：,起点相同，连接终点，指向被减向量的终点。,练习：,已知向量 ，求作向量 。,（1）,（2）,（3）,（4）,例4,在 ABCD 中，,你能用 表示 吗？,D,B,A,C,变式二 本例中，当 满足什么条件时，,巩固练习：,1、在 中， ， ，则,2、如图，用 表示下列向量：,D,B,A,C,E,B,A,C,小结,1.向量加法的三角形法则,（要点：两向量起点重合组成平行四边形两邻边）,2.向