圆锥曲线部分常见结论

1、 沈阳市第三十一中学 李曙光编辑整理，希望对大家有帮助，疏漏之处请指正 椭圆常见结论y 焦点在轴上x 轴上 焦点在焦点的位置 图形 2222xyxy?0?b?1a?a?0b?1 标准方程 2222baabb?b?xa?a?xa?a?yb?b?y 且 且 范围?,0?a0,a,0?0,?aa? 、 、2112 顶点?bb,00,?b,0b0,? 、 、1122a?2?2b 轴长 短轴的长长轴的长 ?c0,FFF?c,00,F?c,0c 、 、 焦点2211?222bc?FF2ca 焦距21xy 轴、轴、原点对称关于 对称性 2bc?越大，椭圆越扁越小，椭圆越圆；离心率 ee1e?1?0?e?2a

2、aFF,P: 立结论成圆上任意一点,则有圆1.椭的两焦点分别为以下,椭是2122aa?cb?PF?PF?2PF?PF?aa?c?PF; ; (2)(1); (3)2211122yx?1?F,Fy,Px是椭圆上, 左、右焦点分别为）（ab0椭圆的方程为2. 210022ba22ab?222222yx?b?y?ax,; 意任一: 则有(1)点,000022ba?ex?|PF?aex|?a|PF?为原点O?bOPa; (2),; (3)0102 1 ?cosax?0?为参数; (3)?sinby?0?PF?F，则为其焦点记、F3.设P点是椭圆上异于长轴端点的任一点,F21212?b22|PF|PF|

3、?S?c|y|=btan.(3)当(1)P点位于短轴顶点处.(2) 21PF?PF?cos?12212?S?1?cos2e.?PFFPMM内心，时, 点最大,此时是也最大;(4) （5）21F?PF21|PM|aN?FF. ，则于点交 21|MN|c22yx?1(x,y)为AB，M的中圆点，则的不平行于对称轴的弦4.AB是椭 0022ab2bk?k?， ABOM2a2xb0K?。即 AB2ay022yx?1A,A为椭圆的长轴顶点，P点是椭圆上异于长b5. 椭圆的方程为0），（a 2122ab2bKK? 轴顶点的任一点，则有 PAPA2a2122yx?1B,B为椭圆的短轴顶点，P0椭圆的方程为6

4、. ），点是椭圆上异于短（ab 2122ab2bKK? 轴顶点的任一点，则有 PBPB2a2122yx?1A,B两点，P），过原点的直线交椭圆于点是椭圆上（ab椭圆的方程为7. 0 22ab2bKK?B,A 异于两点的任一点，则有 PBPA2a22yx?1P(x,(Px,y)y)为切点的切椭圆线斜上，则（18. 若）以率为在 00000022ab2xbyxyx000P?1?k?；的椭圆的切线方程是（2）过. 0222abay022yx?1)yP(x,外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为在椭圆P、P9.若，则切点弦21 00022abxxyy00?1?. 的直线方程是PP21 22abA(?a,

5、0)A(a,0)，与y椭圆的两个顶点为轴平行的直线交椭圆于PP时,AP与AP10.211、1222122yx?1. 交点的轨迹方程是 22abA(x,y)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC11.过椭圆上任一点002xb0?k（常数）有定向且. BC2ay0 2 ? ?PF?FPF?F，若, FP, 为椭圆上异于长轴端点的任一点12., ,F是焦点 211221?sinc?e . 则?sinasin?则，一定点，A为椭圆内焦13. P为椭圆上任一点,F,F为二点21PF,?a|AF|A,|2a?AF|?|PA|?|PF|?2. ,当且仅当三点共线时，等号成立21121111

6、?OQOP?;.（P、Q为椭圆上两动点，且1）为坐标原点，14.O2222baOP|OQ|2222bb4aaS22. 3）的最小值是的最大值为（2）|OP|+|OQ|;（OPQ?2222bb?a?a,0)P(x则, x轴相交于点、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与15. 已知A02222baba?x?. 0aabbc22?（）1）（2 、e=1- 16.离心率e=aaa其长度为17. 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，2b2 a 的周长为4a, ,ABF18.如图所示2. 从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点19. 22yx)xx2a?e(?AB?AB

7、,则左焦点的焦点弦为；过右焦20. 过椭圆0)?a1(?b?2122ba)e?(x?xAB?2a. 点的弦21ab2. 内接矩形最大面积：21.22yx?,0cc,0,FF? 22. ，设，焦点，半焦距为若椭圆方程为c0)?b?1(a?2122ba?F 两点，则有：A、过 的直线的倾斜角为B，交椭圆于l1222abbb?ABAF?,BF? ；11?cosa?ccosa?ca?ccos22yx?,0?FcF,c,0c ，半焦距为，焦点若椭圆方程为，设0)b?a1(?2122ba 3 ?F 的倾斜角为BA的直线两点，则有：过，交椭圆于、l222abbb2 ?AF,BFAB?； ?cosccosaa

8、ccos?ac2ab2?AB为b（a同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为为长半轴，?sina?c 为半焦距）短半轴，c2?ab2?轴上焦点在x?cos?ac 结论：椭圆过焦点弦长公式：?AB?2ab2?轴上y焦点在?sin?ac?a112nm,BF?AF? 则,F的弦设,23.若AB是过焦点?2bmn 双曲线常见结论y 焦点在轴上x 焦点在轴上焦点的位置 图形 2222xyxy?0?1b?1a?0,b?0a?0,? 标准方程 2222bbaaRx?R?yax?ax?ayy?a? ，或 ，或 范围?a?0,a,0?a,0?a0,? 、 顶轴 实轴的虚轴的0,0焦焦距21xy 轴对称，关于原点中心

9、对称关于轴、 对称性 2bce?1e?e?1越大，双曲线的开口越阔， 离心率2aa 4 渐近线方程bxy? a2?axy? b?2F,FP: 成立以下结论则线上任线意的两焦点分别为一点,有是双曲1.双曲21? 在右支上c?aPPF?a?c,PF?a?2?PFPF ; ; (2)(1)2121minmin? 在左支上c?aP?a?c,PF?PF 12minmin22yx?1?yP,x: ,则有） 2. 双曲线的方程为, ,是双曲线上任意一点（a0，b0 0022ba22ab?222222ya?,x?y?bx?; 000022ba?FPF则，焦点记、轴端点的任一点,FF为其双3.设P点是曲线上异于

10、长21212?b22?|PF|PF|cotb|=S?c|y. .(2) (1) 21PF?PF?cos1?22122yx1?)yx,(则点，轴的弦，M中线4.AB是双曲为AB的的不平行于对称 0022ba2b?kk ， ABOM2a2xb0?K 即。 AB2ya022yx1?AA,点是双曲为双曲线的实轴顶点，P，b05. 双曲线的方程为），a（0 2122ba2b?KK 线上异于实轴顶点的任一点，则有 PAPA2a2122yx1?B,B点是双曲0），6. 双曲线的方程为P为双曲线的虚轴端点，（a0，b 2122ba2b?KK 线上异于虚轴端点的任一点，则有 PBPB2a2122yx1?BA,点

11、两点，Pb0，07. 双曲线的方程为），过原点的直线交双曲线于（a 22ba2b?KKB,A 两点的任一点，则有是双曲线上异于 PBPA2a22yx1?),yP(xP(,y)x为切点的切线斜率为上，则（1若8. 在双曲线）以 00000022ba2xbyyxx000P1?k；的双曲线的切线方程是）过. （2 0222baya0 5 22yx1?)yP(x,，则切P9.若作双曲线的两条切线切点为P、外 在双曲线，则过Po21 00022bayyxx001?. P点弦P的直线方程是21 22ba,0)aA(A(?a,0)PAP时，与,y轴平行的直线交双曲线于P10. 双曲线的两个顶点为12、112

12、122yx1?. 与AP交点的轨迹方程是22 22ba),yA(x则直线过双曲线上任一点11.B,C两点，任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于002xb0?k?. （常数）BC有定向且 BC2ya0 bbc22?）1（）+（12 、=e=离心率12. e= aaa2b2, 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为13. aabb .顶点到渐近线的距离为14.双曲线焦点到渐近线的距离总是 c22ba 双曲线实轴顶点到两渐近线的距离之积为定值15. 2c22yx1?为设程可双曲线方有0）相同渐近线16. 与双曲线的a（0，b 22ba22yx?0? 22ba22yx?0?0?ay?bx ，则双曲线方

13、程可设为17.已知双曲线的渐近线方程为 22ba222，离心率双曲线18. . 称为等轴双曲线，其渐近线方程为x?y?2e?axy?22yx?1?F,0,0?cc,FF19. l的倾斜的直线设双曲线，过，其中两焦点坐标为 12122ab?，交双曲线于A、B两点，角为 焦点在x轴的焦点弦长为 6 2?ab2?在同一支曲线上A,B?cosa?c?AB ?2ab2?在两支曲线上A,B?a?ccos? 的倾斜角。其中a为实半轴，b为虚半轴，c为半焦距，为ABa112n?AF?m,BF?交在两,AB, ,AB交在同支时F的弦,设, 20. 若AB是过焦点2bnma112n?m) 支时, 设 (?2bnm

14、 等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项21. 抛物线常见结论：2222py2?2pxy?2pxyx?py2?x? 标准方程? 0p?pp?0?p0?0 0y?y?00x?0?x 范围?0,0 顶点 轴y 轴对称轴 xpppp? ?F,F00,0FF0,?, 焦点?2222?pppp ?x?y?yx 准线方程2222p1e? 离心率越大，抛物线的开口越大， 焦半径pppp?x?yMFMF?y?MF?xMF )M(xy0000 222200,?p?HH2 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径： 通径2、,(x,B(xy)y)A0)ppx?y2(?ABAB焦点的弦，设，

15、直线的倾1.为过抛物线1122? 斜角为，则 7 2ppppp2?p?x,y;yx?x,BFAF?x? 2.1.211221?4cos121?cos?22113p22?pOA?OB?;?xAB?x?p 3.5.；4.212?P|FA|FB4sin2p11?h?OF?OASOBsin?AOB 6.；F?AOB?2sin22?yABBFAF或 为直径的圆与为直径的圆与准线相切，以轴相切；7.以 ?；B、AF 焦点在准线上射影的张角为对8.2BA,两点为切点引抛物线的两条切线，如图所示，以9.）（2，则有：（1）M点必在准线上；两条切线交于一点My?y21轴/x/MN?y；，的中点为N，则即设线段A

16、BM2ABMF? ）3（FR2AB? R，则10. AB的中垂线与X轴交于点p ，切线方程为11.以A为切点的切线斜率为 y1?xxp?yy? 11?20mm,0?0)y?(p?2pxl交抛物过点M，定点12.已知抛物线方程为，直线M2pm?2,yyxx?m?、y),y)(x,A(Bx两点，B线于，则有A， ； 2211122120)?px(py?2x轴，则有：，B是抛物线AB不垂直于两点，且直线13.已知Ap2p?中点纵坐标K?为线段yAB? AB中yy?y21中pt2x?2?pt2?x22. 为参数）的参数方程为（或（或）（tpy2xy?2px?14.2pt2y?pty?2?2OABy=2

17、px(p0) 抛物线内接直角三角形的性质：15.22P?4,xx?4Pyy? ；2211l)2(p,0 ；恒过定点AB2)x(?2py?pB,A 中点轨迹方程：；222ABOM?py)?(xp?M ，则轨迹方程为：；2p)S(4?. min?AOB 8 2),0A(a=2px(p0)y ，对称轴上一定点，则：16.抛物线ap?0?a 当；时，顶点到点A距离最小，最小值为2xp?2appa?A. 轴对称的两点到点时，抛物线上有关于当距离最小，最小值为2y轴交于点与直线相交于且该直线与17. 抛物线y=2px(p0)?bkx?y?yx,BAx,y,2211111 ，则有?y0,C?3 yyy312

18、2F两点向准线、y=2px(p0)的焦点两点，自的直线交该抛物线于18. 过抛物线AABB三点共、BA、F，则；其逆命题：若作垂线，垂足分别为，则00BA,90?AFB?AFB?90111111 线。 M是准线上任一点，则若点090?AMB? 一些有用的结论：CC，则与大圆内切与小圆外切的圆的圆心的轨迹为一椭圆，若一个圆内含于另一个圆21 两圆的圆心为焦点，其长轴长为两圆半径之和； 且其长轴则过该点且与已知圆相切的圆的圆心的点的轨迹为一椭圆，在一个圆内有一点，长为已知圆的半径。 m的点的轨迹为一椭圆（两点除外）。两定点过两点的两条直线的斜率之积为一负常数?1?m?0m?1时， 轴上；（当时，焦

19、点在x为椭圆的顶点，两定点间的距离为长轴长。焦点在y轴上） m倍，该圆变成椭圆； 将圆的横坐标（或纵坐标）拉伸或缩短为原来的连接圆内一定点与圆上任一点的线段的垂直平分线与圆上该点到圆心的连线的交点的轨迹为一椭圆。方椭圆的长半轴与圆的半径长相等； 两个同心圆较大圆上任一点与圆心的连线与小圆交于一点，从大圆上该点作x轴的垂线， 则过小圆交点向该垂线作垂线，其垂足的点的轨迹为椭圆。 ?yB,xAx,y时，则 的直线交圆锥曲线于两点，k7. 斜率为2211 9 22 k1?x?x?4x?xx?xABk1?k?1 =221121a ?111 2? ?11?y?y1?4yyyy?=212112222kka

20、k221?mx?nyn,m时表0同时大于 8. 过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：（0?mn ；时表示双曲线）示椭圆，2y0)(y,2. 抛物线上的点的坐标可设为，以简化计算(p9. 对于y0)=2px 0p2上任一弦中点与中心连线的斜率与弦所在直线的（圆、椭圆、双曲线）10. 有心型二次曲线2?1轴上，e?焦点在x （对圆则是，为什么？）斜率之积为?1,轴上焦点在y? 21?e 直线与圆常见结论 直线的斜率与倾斜角1?)?0, ；倾斜角，?yy?)x?x(tank?12?k)?(. 斜率：；斜率公式： 21xx?212?+，0?k?k?0且0?0?k ； 22?且0?k-?k?0?不存在?

21、k， ； 222 2直线方程)?x?k(xy?yb?ykx .点斜式：；斜截式：00x?y?yxyx11?1?两点式： .；截距式： x?yxy?ba1221)B(1,kA,)(B,?Ax?By?C?0A，不全为0）；直线的方向向量：，一般式：（或),B(A 法向量. 3直线的平行关系与垂直关系直线方程 2x1?k平行的充要条件 垂直的充要条件 备注bkx?l:y?111 bxyl:?k?222b?k,bk? 2211?k?1k 12l,l 斜率存在21?yxl:A?B?C0 11110?y?x:lABC 2222,ABAB?且1122CB?CB （验证）12210B?AAB 2121 不可写

22、成分式 4两条直线的交点 联立方程 5两点间的距离，点到直线的距离，平行线间的距离 22?yPPx?xy 1（）212112 10 CBy?Ax?)yP(x,0?Ax?By?C 到直线的距离：（2）点.00?d0022BA?C?C0?CByAx?C?0Ax?By 与的距离是.（3）两条平行线21?d2122B?Aa,mak,bkx?b,x?my?y? 中方程：6的几何意义是什么？?直线的斜 直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为零，直线在两轴上的截距相等7.?1?或直线过原点；直线在率为直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距互为相反数?1? 直线的斜率为两轴上的截距绝对值相等或直线过原点。 直

23、线系8. 0C?Ax?By?y?kx?b 已知直线0m?Ax?By?y?kx?m 平行直线系10m?Bx?Ay?mx?y? 垂直直线系k?0)?y?C(Ax?BAx?By?C 相交直线系221112 9.圆的四种方程222r)?y?bx?a)?(. （1）圆的标准方程22220?DxEy?F?x?yFD?E40). (（2）圆的一般方程 ?cosa?rx?. （3）圆的参数方程?sinb?ry?)?0A(x,y)yx)?(y?y)(?y?(xx)(x?、 (圆的直径的端点是（4）圆的直径式方程111212B(x,y). 2210.圆中有关重要结论: （1）切线方程： 2222上. 特别地，过圆

24、 b)=y b)(y R 一般方程若点(x ,y)在圆上，则(x a)(x a)+(r?y?x00002.(注:一点的切线方程为该点在圆上，则切线方程只有一条) r?xx?yy)P(x,y0000y?y?k(x?x)?0101?b?y?k(a?x)，联立求出切线方程.（注：若点(x ,y)不在圆上，圆心为(a,b)则?k?0011R?2?1R?过圆外的点引切线必定有两条,若联立的方程只有一个解，那么另外一条切线必定是垂直于X轴的直线。） 222yxxyr?yx切点分别为, )外一点,由P( (2) 若P(,向圆引两条切线)是圆0000A,B 2rxx?yy? 的方程为则直线AB00222yxyxr(y?b)?)(x?a?切P(, ,)向圆引两条切线外一点P(3) 若, ,)是圆由00002rb)?y?(?b)(y?aa(x?)(x?) 的方程为ABA,B点分别为则直线0011. 直线与圆、圆与圆的位置关系（B）（主要掌握几何法） d表示点到圆心的距离） 点与圆的位置关系：（d?R?d?R?d?R?点在圆外点在圆内；. 点在圆上； 11 d表示圆心到直线的距离） 直线与圆的位置关系：（d?R?d?R?d?R?相离.相交； 相切；dR?rrR,）圆与圆的位置关系：（表示两圆半径，且表