第9章_静电场中的导体和电介质

1、第9章 静电场中的导体和电介质什么是导体？什么是电介质？9.1 静电场中的导体 静电平衡9.1.1 静电感应 静电平衡金属导体：金属离子+、自由电子-1、静电感应：在外电场作用下，导体中电荷重新分布而呈现出的带电现象，叫做静电感应现象，对应的电荷称为感应电荷。（感应电荷与外加电场相互影响，比如金属球置于匀强电场中，外电场使电荷重新分布，感应电荷的分布使均匀电场在导体附近发生弯曲。）2、导体静电平衡条件不受外电场影响时，无论对整个导体或对导体中某一个小部分来说，自由电子的负电荷和金属离子的正电荷的总量是相等的，正负电荷中心重合，导体呈现电中性。 若把金属导体放在外电场中，比如把一块金属板放在电场

2、强度为的匀强电场中，这时导体中的自由电子在作无规则热运动的同时，还将在电场力作用下作宏观定向运动，自由电子逆着电场方向移动，从而使导体中的电荷重新分布。电荷重新分布的结果使得金属板两侧会出现等量异号的电荷。这种在外电场作用下，引起导体中电荷重新分布而呈现出的带电现象，叫做静电感应现象，对应的电荷称为感应电荷。感应电荷在金属板的内部建立起一个附加电场，其电场强度和外在的电场强度的方向相反。这样，金属板内部的电场强度就是和的叠加。开始时，金属板内部的电场强度不为零，自由电子会不断地向左移动，从而使增大。这个过程一直延续到金属板内部的电场强度等于零，即时为止。这时，导体上没有电荷作定向运动，导体处于

3、静电平衡状态。当导体处于静电平衡状态时，满足以下条件：从场强角度看：导体内任一点，场强（否则内部电荷运动）；导体表面上任一点与表面垂直（否则导体表面电荷运动）。从电势角度也可以把上述结论说成：导体内各点电势相等；导体表面为等势面。用一句话说：静电平衡时导体为等势体。9.1.2 导体静电平衡时电荷分布已知导体静电平衡时电场分布，应用高斯定理可分析电荷分布。1、导体内无空腔时电荷分布（实心带电导体）如图所示，导体电荷为Q，在其内作一高斯面S，高斯定理为： 导体静电平衡时其内， ， 即。 S面是任意的，导体内无净电荷存在。结论：静电平衡时，净电荷都分布在导体表面上。2、导体内有空腔时电荷分布（1）腔

4、内无其它电荷情况：电荷只分布在导体外表面如图所示，导体电量为Q，在其内作一高斯面，高斯定理为： 静电平衡时，导体内 ，即内净电荷为0是任意的，所以导体内无净电荷，电荷只分布在导体表面上。内表面电荷分布情况：在导体内部作一高斯面，使包围导体空腔。根据高斯定理，内所包围电荷代数和为零。 空腔内无其它电荷，静电平衡时，导体内又无净电荷 空腔内表面上的净电荷为0。 但是，在空腔内表面上能否出现符号相反的电荷，等量的正负电荷？我们设想，假如有这种可能，如图所示，这时在腔内就分布始于正电荷终止于负电荷的电场线。沿电场线方向电势越来越低，,但静电平衡时，导体为等势体，即，因此，假设不成立。结论：静电平衡时，

5、腔内表面无电荷分布，电荷都分布在外表面上，（腔内电势与导体电势相同）。（2）空腔内有点电荷情况：若原来导体带电量为，空腔内放一电荷，则导体内表面有感应电荷，导体外表面电荷为。如图所示，导体电量为Q，其内腔中有点电荷+q，静电平衡时，在导体内作一高斯面：导体内无净电荷，净电荷分布在导体表面在导体内作一高斯面：此时导体内部无净电荷，而腔内有电荷+q。 腔内表面必有感应电荷-q，即腔内表面带有与空腔内等量异号电荷。结论：静电平衡时，腔内表面有感应电荷-q，外表面有感应电荷+q，空腔内电荷影响外部电场。3、导体表面上电荷分布设在导体表面上某一面积元（很小）上，电荷分布如图所示 ，过边界作一闭合柱面S（

6、硬币型高斯面），上下底、均与平行，S侧面与垂直，柱面的高很小，即与非常接近，此柱面并且是关于对称的。S作为高斯面，高斯定理为 ，带电导体表面电场强度的大小与该表面电荷面密度成正比。（注意与无限大带电平面的区别）结论：导体表面附近，导体内电场，即电场强度在导体表面跃迁。4、导体表面曲率对电荷分布影响导体表面电荷分布与导体形状及周围环境有关。根据实验，一个形状不规则的导体带电后，在表面上曲率越大的地方场强越强。由上面讲到的结果知，E大的地方， 必大，所以曲率大的地方即越尖的地方电荷面密度越大。如图，实验表明，如把一定量的电荷放到如图所示的非球形导体上，当到达静电平衡时，导体为一等势体，导体表面为一

7、等势面。在点A附近，曲率半径较小，其电荷面密度和电场强度的值较大；而在点B附近，曲率半径较大，其电荷面密度和电场强度的值较小。如图给出带有等量异号电荷的一个非球形导体和一块平板导体的电场线图像。从图中可以看出，曲率半径较小的带电导体表面附近，电场线密集，电场较强，尖端附近的电场最强。 5、尖端放电带电尖端附近的电场强度特别大，已可使尖端附近的空气发生电离而成为导体。在电场不过分强的情况下，带电尖端经由电离化的空气而放电的过程，是比较平稳地无声息地进行的；但在电场很强的情况下，放电就会以暴烈的火花放电的形式出现，并在短暂的时间内释放出大量的能量。这两种形式的放电现象就是所谓的尖端放电现象。例如，

8、阴雨潮湿天气时常可在高压输电线表面附近看到淡蓝色辉光的电晕，就是一种平稳的尖端放电现象。尖端放电在技术上有很广的用途。比如电风吹火、避雷针等。高大建筑物上都会安装避雷针，当带电云层靠近建筑物时，建筑物会感应上与云层相反的电荷，这些电荷会聚集到避雷针的尖端，达到一定的值后便开始放电，这样不停的将建筑物上的电荷中和掉，永远达不到会使建筑物遭到损坏的强烈放电所需要的电荷。雷电的实质是两个带电体间的强烈的放电，在放电的过程中有巨大的能量放出。建筑物的另外一端与大地相连，与云层相同的电荷就流入大地。 尖端放电也有危害的一面，高压输电线附近的离子与空气碰撞会使空气分子电离而导电，放电浪费了很多电能。尖端放

9、电会使电能白白损耗，还会干扰精密测量和通讯。高压输电导线和高压设备的金属元件，表面要很光滑，为的是避免因尖端放电而损失电能或造成事故。尖端放电还和环境状况有关。环境温度越高越容易放电。环境湿度越低越容易放电。在我们的日常生活中，还是有很多东西应用到尖端放电这个现象的，如打火炉、打火机、沼气灯的点火装置等。9.1.3静电屏蔽 若把一空腔导体放在静电场中，静电平衡时。电场线将终止于导体的外表面而不能穿过导体的内表面进入内腔（下图），因此，导体内和空腔中的电场强度处处为零。由于空腔中的场强处处为零，放在空腔中的物体，就不会受到外电场的影响，这表明，我们可以利用空腔导体来屏蔽外电场。所以空心金属球体对

10、于放在它的空腔内的物体有保护作用，使物体不受外电场影响。上面讲的是用空腔导体来屏蔽外电场。有时也需要防止放在导体空腔中的电荷对导体外其他物体的影响。空腔内电荷位于腔内不同位置时，只改变内表面感应电荷分布，外表面电荷分布由表面曲率半径决定。空腔内电荷电量发生改变时，外表面感应电荷分布受影响。这时，如把导体腔接地，导体空腔外面的电场就消失了，这样，接地的导体空腔内的电荷对导体外的电场就不会产生任何影响。综上所述，空腔导体（无论接地与否）将使腔内空间不受外电场的影响，而接地空腔导体将使空间不受空腔内的电场的影响。这就是空腔导体的静电屏蔽作用。应用：精密仪器金属网、金属外壳罩屏蔽外电场：空腔导体使腔内

11、空间不受外电场影响外屏蔽屏蔽内电场：接地空腔导体，使空间不受空腔内影响全屏蔽应用：如电话线从高压线下经过，为了防止高压线对电话线的影响，在高压线与电话线之间装一金属网等。例1：在电荷+q的电场中，放一不带电的金属球，从球心 到点电荷所在距离处的矢径为，试问（1）金属球上净感应电荷？（2）这些感应电荷在球心处产生的场强？解：（1）0（2）球心处场强（静电平衡要求），即+q在处产生的场强与感应电荷在处产生场强的矢量和=0。 方向指向+q。（感应电荷在 处产生电势=？球电势=？选无穷远处电势=0。）例2有一外半径为10cm，内半径为7cm的金属球壳，在球壳中放一半径为5cm的同心金属球。若使球壳和球

12、均带有的正电荷，问两球体上的电荷如何分布？球心的电势为多少？解:为了计算球心的电势，必须先计算出各点的电场强度。我们先从球内开始，如取以的球面为高斯面，则由导体的静电平衡条件，球内的电场强度为: (1)在球与球壳之间，作的球面为高斯面，由高斯定理，有得球与球壳间的电场强度 (2)而对于所有的球面上的各点，由静电平衡条件知其电场强度应为零，即 (3)由高斯定理可知，其内所含有电荷的代数和应为零，即已知球的电荷为，所以球壳内的表面上的电荷必为。这样，球壳的外表面上的电荷则应是。再在球壳外面取的球面为高斯面，从而由高斯定理有其中。所以处的电场强度为（4）由电势的定义式(7-15)，球心的电势为 把式

13、(1)，(2)，(3)，(4)代入上式，可得将已知数据代入上式，例3：平行放置的两块大金属平板A和B，相距为d，两板带电量分别为和，求两板各表面上的电荷面密度。解：只要金属板线度远大于间距d，可将两板视为无限大。根据静电平衡知，电荷只分布在金属板外表面，设四个金属板电荷面密度分别为、根据电荷守恒定律：，静电平衡时 四式联立，得： 分析：若两极板带有等量异号电荷，9.2 静电场中的电介质9.2.1 电介质的极化电介质是由大量电中性分子组成的绝缘体，分子中外层电子与原子核相互作用很强，电子呈束缚状态，即使在外电场中，电子也很难挣脱原子核的束缚发生定向移动。按照分子内部结构，电介质可分为两类：(1)

14、 无极分子电介质：无外电场时，分子正负电荷中心重合（如）。无极分子在没有受到外电场作用时，它的正负电荷的中心是重合的，因而没有电偶极矩，如图a所示，但当外电场存在时，它的正负电荷的中心发生相对位移，形成一个电偶极子，其偶极矩方向沿外电场方向，如图b所示。对一块介质整体来说，由于电介质中每一个分子都成为电偶极子，所以，它们在电介质中排列如图，在电介质内部，相邻电偶极子正负电荷相互靠近，因而对于均匀电介质来说，其内部仍是电中性的，但在和外电场垂直的两个端面上就不同了。由于电偶极子的负端朝向电介质一面，正端朝向另一面，所以电介质的一面出现负电荷，一面出现正电荷，显然这种正负电荷是不能分离的，故为束缚

15、电荷。结论：无极分子的电极化是由于分子的正负电荷的中心在外电场的作用下发生相对位移的结果，这种电极化称为位移电极化。(2) 有极分子电介质：即使无外电场时，分子的正负电荷中心也不重合（如：等）。分子正负电荷中心不重合时相当于一电偶极子。有极分子本身就相当于一个电偶极子，在没有外电场时，由于分子做不规则热运动，这些分子偶极子的排列是杂乱无章的，如图d所示，所以电介质内部呈电中性。当有外电场时，每一个分子都受到一个电力矩作用，如图所示，这个力矩要使分子偶极子转到外电场方向，只是由于分子的热运动，各分子偶极子不能完全转到外电场的方向，只是部分地转到外电场的方向，即所有分子偶极子不是很整齐地沿着外电场

16、方向排列起来，如图f所示。但随着外电场的增强，排列整齐的程度要增大。无论排列整齐的程度如何，在垂直外电场的两个端面上都产生了束缚电荷。结论：有极分子的电极化是由于分子偶极子在外电场的作用下发生转向的结果，故这种电极化称为转向电极化。说明：在静电场中，两种电介质电极化的微观机理显然不同，但是宏观结果即在电介质中出现束缚电荷的效果时确是一样的，故在宏观讨论中不必区分它们。9.2.2 电介质中的高斯定理(1) 电介质中的电场强度如图所示，一面积为，相距为的平板电容器，极板间为真空。若对此电容器充电，使两极板上带等量异号的电荷，充电后撤去电源，维持极板上的电荷不变。用伏特计测得两极板电压为。此时若在两

17、极板间插入各向同性的电介质（如：玻璃，硬橡胶等），这时会发现伏特计读数变小。伏特计读数与电介质有关，为电介质的相对电容率，空气的相对电容率近似等于1，其它电介质的相对电容率均大于1。根据匀强电场性质可知，两极板间电压，两极板间距离固定，伏特计读数变小，只能说明两极板间场强变弱。E是如何减少的呢？从平板电容场强公式知，E的减小，意味着电介质与极板的接触处的电荷面密度减小了。但是，极板上的电荷没变，即电荷面密度没变。这种改变只能是电介质极化在表面上出现的极化电荷。当电介质受外电场作用发生极化时，电介质出现极化电荷，极化电荷也要产生电场，所以，电介质中的电场是外电场与极化电荷产生电场的叠加，即，极化

18、电荷的电场与源电场反向，所以：。束缚电荷受到限制，束缚电荷量比自由电荷少的多，故比少的多。插入电介质后场强变弱，介质的相对电容率。上式表明，在两极板电荷不变的条件下，充满均匀的各向同性的电介质的平板电容器中，电介质内任意点的电场强度为原来真空时的电场强度的。(2) 电介质中的高斯定理根据真空中的高斯定理，通过闭合曲面S的电场强度通量为给面所包围的电荷除以，即 此处，应理解为闭合面内一切正、负电荷的代数和，在无电介质存在时，；在有介质存在时，S内既有自由电荷，又有极化电荷，应是S内一切自由电荷与极化电荷的代数和，即、分别表示自由电荷和极化电荷。下面以平行板电容器为例，来讨论之。设极板上自由电荷面

19、密度为，介质在极板分界面上极化电荷面密度为，介质相对介电常数为。实际上，难以测量和计算，故应设法消除之。 介质内电场： 。，为电介质的电容率。即： （极化电荷面密度） 束缚电荷与极化电荷关系：取柱形高斯面，底面、分别在介质和极板内，且与板面平行，为侧面，与板面垂直。此时，高斯定理为由上可知，不出现了。定义： 称为电位移矢量（注意此式只适用于各向同性电介质，而对各向同性的均匀电介质，为一常数）。高斯定理为： 说明：（1）上式为电介质中的高斯定理，它是普遍成立的。（2）是辅助量，无真正的物理意义。算出后，可求。（3）如同引进电力线一样，为描述方便，可引进电位移线，并规定电位移线的切线方向即为的方向

20、，电位移线的密度（通过与电位移线垂直的单位面积上的电位移线条数）等于该处的大小。所以，通过任一曲面上电位移线条数为，称此为通过S的电位移通量；对闭合曲面，此通量为。可见有介质存在时，高斯定理陈述为：电场中通过某一闭合曲面的电位移通量等于该闭合曲面内包围的自由电荷的代数和。（4）电位移线与电力线有着区别：电位移线总是始于正的自由电荷，止于负的自由电荷（可从定理看出）；而电力线是可始于一切正电荷和止于一切负电荷（即包括极化电荷）。如：平行板电容器情况（不计边缘效应）。（5）应用：避开束缚电荷，求出，然后求9.3 电容器 电场能量9.3.1 电容导体具有储存电荷和电能的本领，称作电容。这一节我们讨论

21、：(1)孤立导体的电容，(2)电容器及其电容，(3)电容器的联接，(4)电场能量。在真空中设有一半径为R的孤立的球形导体，它的电量为q，那么它的电势为（取无限远处电势=0）对于给定的导体球，即R一定，当变大时，U也变大，变小时，U也变小，但是确不变，此结论虽然是对球形孤立导体而言的，但对一定形状的其它导体也是如此，仅与导体大小和形状等有关，因而有下面定义。定义：孤立导体的电量q与其电势U之比称为孤立导体电容，用C表示： 对于孤立导体球，其电容为。C的单位为：F（法），1F=1C/1V。在实用中F太大，常用或，他们之间换算关系：。（电容与电量的存在与否无关）9.3.2电容器(1) 电容器电容实际

22、上，孤立的导体是不存在的，周围总会有别的导体，当有其它导体存在时，则必然因静电感应而改变原来的电场分布，当然影响导体电容。下面我们具体讨论电容器的电容。两个带有等值而异号电荷的导体所组成的带电系统称为电容器。电容器可以储存电荷，以后将看到电容器也可以储存能量。如图所示，两个导体A、B放在真空中，它们所带的电量分别为+q，-q，如果A、B电势分别为、，那么A、B电势差为，电容器的电容定义为： 由上可知，如将B移至无限远处，=0。所以，上式就是孤立导体的电容。所以，孤立导体的电势相当于孤立导体与无限远处导体之间的电势差。所以，孤立导体电容是B放在无限远处时的特例。导体A、B常称电容器的两个电极。(

23、2) 电容器电容的计算1、平行板电容器的电容设A、B二极板平行，面积均为S，相距为d，电量为+q，-q，极板线度比d大得多，且不计边缘效应。所以A、B间为均匀电场。由高斯定理知，A、B间场强大小为。 可见，平板电容器的电容仅与电容器形状、尺寸、电介质有关，与极板的面积成正比，与极板间的距离成反比。增大电容的方法：(1)插入纸片、陶瓷等；(2)增大极板面积，但耗费成本高。2、球形电容器设二均匀带电同心球面A、B，半径、，电荷为+q，-q。分析：电场只分布在两极板之间，A、B间任一点场强大小为：，。讨论：（1）当时，有，令，则平行板电容器结果。（2），外球壳在无穷远处时，（3）A为导体球或A、B均

24、为导体球壳结果如何？3、圆柱形电容器圆柱形电容器是两个同轴柱面极板构成的，如图所示，设A、B半径为、，电荷为+q，-q，除边缘外，电荷均匀分布在内外两圆柱面上，单位长柱面带电量，是柱高。由高斯定理知，A、B内任一点P处的大小为 。同样：电容只与电介质、电容器的形状、大小有关，与带电量无关。电介质能增大电容，降低极板电压。总结：计算电容的一般步骤(1) 设电容器两极板带有等量异号电荷；(2) 求出两极板之间电场的分布，先求真空中电场，再用求介质中 电场分布(3) 计算两极板之间的电势差 (关键)(4) 根据电容器电容定义计算电容 9.3.3 电容器的串联和并联电容器有两个性能指标：容量和耐压值，

25、如。在实际应用中，现成的电容器不一定能适合实际的要求，如电容大小不合适，或者电容器的耐压程度不合要求有可能被击穿等原因。因此有必要根据需要把若干电容器适当地连接起来。若干个电容器连接成电容器的组合，各种组合所容的电量和两端电压之比，称为该电容器组合的等值电容。1、 串联：几个电容器的极板首尾相接（特点：各电容的电量相同）。设A、B间的电压为，两端极板电荷分别为+q，-q，由于静电感应，其它极板电量情况如图，每个极板上所带电量相等。 。由电容定义有 结论：电容器串联时等效电容的倒数等于各分电容电容倒数和。 等效电容小于任何一个电容器电容，可提高电容耐压能力。2、 并联：每个电容器的一端接在一起，

26、另一端也接在一起。（特点：每个电容器两端的电压相同，匀为，但每个电容器上电量不一定相等）等效电量为：，由电容定义有：结论：电容器并联时，等效电容等于各电容器电容之和。耐压要求符合得前提下，需要大电容量时可采用并联。例：半径为a的二平行长直导线相距为d（da），二者电荷线密度为，试求（1）二导线间电势差；（2）此导线组单位长度的电容。解：（1）如图所取坐标，P点场强大小为：（2）注意：（1）公式。（2）此题的积分限，即明确导体静电平衡的条件。9.3.5 电场能量一个电中性的物体，周围没有电场，当把电中性物体的正、负电荷分开时，外力作了功，这时该物体周围建立了电场。所以，通过外力做功可以把其它形式能量转