江苏省南京市2018届高三上学期期中考试数学

1、 2018学年度第一学期期中考试2017南京市 学数 分. 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70 _. ，Bx|2x4，则AB5 1. 已知集合A2，3， z(1i)2i，其中i是虚数单位，则复数z_. 2. 若复数z满足个数的和为奇数的，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2 3. 从1，2 概率是_. 现在 4. 某中学共有学生2 000人，其中高一年级共有学生650人人，高二男生有370_，则该校高三学生共有1名，抽到高二年级女生的概率是0.19全校学生中随机抽取 . 人 _. ，那么输入的x值是 5. 下面是一个算法的伪代码如果输出的y值是30 _，则S12a

2、的值为 6. 已知等差数列a的前n项和为S，若a2，6n1n31x的值为a3 7. 若曲线y0垂直，则实数在点(3，2)处的切线与直线axy1x _. 3?上的最大值和最小值在区间x)R，若 8. 已知函数f(x)2sinf(，x，2x?844 ，则bab的值为_分别为a，(6)2，那么fxx的图象关于直线2对称，当x0，2时，f(x 9. 已知奇函数f(x) 的值为_. 1，CB3sin2sinb，c.已知bca，10. 在ABC中，内角A，BC所对的边分别为a，4 _. cosA的值为则14 _. 的最小值等于b0，ab1，则已知11. ab2ba内是ABCAB的中点，BCP2，M为边在1

3、2. ABC中，已知AB4，AC10， _. CM的最小值是(包括边界)一点，则AP23，1)的左、右焦点分别为已知椭圆CF，F：，A，B为椭圆上关于原点对称212a的两点，椭圆C的离心率为e. 1?，e2的坐标为若点A的方程； (1) ，求椭圆C?2(2) 记AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上. 11证明AFAF为定值； 213，求e的取值范围. kkAB设直线的斜率为，若 3 19. (本小题满分16分) f（x）， f（x）g（x），?x3为自然对数(eh(x)xaR，g(x)e，x设函数f()xax，?）x）g（ g（x），f（x?的底数) (1) 当a0

4、时，求函数f(x)的极值； 1(2) 若函数h(x)的最小值为，求实数a的取值范围； e . 的值a时，求实数)x(g)x(h当(3) 20. (本小题满分16分) 1?21g且是实数)a，b，(3，gx)bxccx(x g(1)f(0)已知函数f()ax ?2(1) 试求b，c所满足的关系式； (2) 若b0，方程f(x)g(x)在(0，)有唯一解，求实数a的取值范围； (3) 若b1，集合Ax|f(x)g(x)且g(x)0，试求集合A. 密封线 (这是边文，请据需要手工删加) 密封线 _ _ 级班 _ 号学 _ 名姓 校学) 这是边文，请据需要手工删加( )(共2页南京市20172018学

5、年度第一学期期中考试数学附加题 第页) 这是边文，请据需要手工删加( 2018南京市2017学年度第一学期期中考试分解答应写出文字说明、小题，每小题10分，共计20数学附加题21. 【限选题】共2 证明过程或演算步骤 B. 选修42：矩阵与变换a1?的逆矩求矩阵M对应变换的作用下得到点B(4，5)A若点(2，1)在矩阵M，?1b1. M 阵 C. 选修44：坐标系与参数方程 2?t，x2?(t是参数)以坐标中，已知直线在平面直角坐标系xOyl的参数方程是2?24ty2原点O为极点，x轴正半轴为极轴，选取相同的单位长度，建立极坐标系，圆C的极坐标方?.由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值

6、. 程为2cos ?4 分解答应写出文字说明、证明过20【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计 . 程或演算步骤) 22. (本小题满分10分4. ，AAACACB如图，在直三棱柱ABCAC中，AB，AB31111 BCAB的正弦值；(1) 求二面角111BD的值；若不存在，？若存在，求出(2) 在线段BC上是否存在点D，使得ADAB11BC1 请说明理由 本小题满分1023. (分) 如图，已知正六棱锥PABCDEF的底面边长为2，高为1.现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X表示所得三角形的面积. (1) 求概率P(X3)的值； (2) 求X的分布. 密封线

7、) 这是边文，请据需要手工删加( )学年度第一学期期中考试(页数学参考答案共 南京市42017第页2018) 这是边文，请据需要手工删加( 2018南京市学年度第一学期期中考试2017 数学参考答案35. 4. 11. 6002，i3 3. 2. 可得x由x0，53 49. 7. 2 8. 212或5 6. 12 2?， ，?331 10. 41?x又sin0. ，故可得cosx，0?332x 2 1)15. (1) ab(sinx1，3cosx?22cos因为sin1， xx?33x3cos x因为(ab)c，所以sin1 1，2115?. 所以1cosx?443 x则sin3cosx2，1

8、6. (1) 如图，连结OE. 31? 22，可得xsinxcos?22由四边形ABCD是正方形知O为BD的中点 ?1. 故sinx?3因为PD平面ACE，PD?平面PBD，平面PBD平面ACEOE， ，x所以，为因x03所以PDOE. 在PBD中，PDDE，O为BD为中2? ，?33点， 所以E为PB的中点 5. x，解得故x632 1x因为(2) abx3cossin，所以211 ，3cosx，即sinx22 (2) 在四棱锥PABCD中，AB2PC， 131? 可得，2xsinxcos?222 ABCD是正方形，因为四边形22OC，则AB所以AC2AB1?. sin故x?43 ，OCOC

9、. 所以PC? 因为，xx?236的中为POPCOC，G在CPO中， 点，?所以sinsinxx?263PO. 所以CG面底，ABCDBD?面为因PC底?. cosx?3 ABCD，BD. PC所以ABCD是正方形，所以 ，平面PACACPCCPAC， . CGPAC，所以BDPO，BD平面PBDPBD. CACDx，B由题意可知A1111 x)，(30x)，22cy， 1AFAF(cx，y)(cx，11112222yc0(定值) y)x111ykx，?11?2x?12y1，242)由题意2a得到k(a1a?22cyx11. 3142(0，3， ，a2a因为k2k，221所以3因为四边形 BD

10、，ACAC，PC?因为所以BD平面?因为CG平面因为PO，BD? ，OCG所以平面17. (1) ，DBh11则AC(AB 224222a3. 3即00时，令f(x)3xf(x)19. (1) 920x0；当时，当x(020) (x)0V，30)时，a ，(， (a3，在所以V(x)(020)(20单调递增，在，(aa3x a33 30)单调递减，) a3) 3取得最大V(x)20时，x所以当且仅当9 000. 值f(x) 0 0 时，容答：当容器的底面边长为20cm 极小值 极大值 f(x) 3. 9 000 cm器的容积最大，最大容积为a时，f(x)取极大值所以当xf(231a214e由题

11、意知18. (1) ，即142a4aa2aa2a3a，) 39333 ， 16aa?取极小值f时，f(x)当x242或16a，解得0所以416a3a?334a2a3a2a2. a. 3339223xxx. 1)eg(x)(x(2) 2y1或的方程为C所以椭圆44当x1时，g(x)0；当x1时，g21. y(x)0时，令h(x)0，因为函数 ae 的解，所以x1是不等式f(x)g(x)22?，0在h(x)上单调递减，在(，所以 ?aa11. aa，即1所以1 ee )上单调递增，214?，1. 1所以h(x)h的取值范围是故实数a. ? min?a2ea恒g(x)，所以g(x)f(x)(3) 因

12、为h(x)2?，0(0，若h)即a2，则当x ?a3x 恒成立xx成立，即eRx对一切axxx2)(ex，pe，即p2x令p(x)x2，0时，h(x)时，h(x)0，当且仅当x ax 2e， 上有唯一的零点；x)0；当x0， h(x)在(0，)即当xln 2，p( ，)所以p(x2ln 220时，(0h，)0，则当x若 ?ax2 上单调递减在xeR所以p(x)x3 上不存在零点；在(0，)恒成立，即xeh(x)xxax对一切R恒成立等价于 R)在ap(x时，问题转化为当x032? 因为h(0)10，h若h10，0， ?aa 上恒成立； R；不等式恒成立，当x0时，则a322?，0内各有一个和所

13、以h(x)在 ?aaaR)x当0时，(x)(0)31. 3xx方法二：由方法一可知a1； 31，a在3tt令x(0t，则由题意可得a，所以pp(0)1 )1. 上有唯一解233th(t)3令h(t)3t综上所述，a1. t(t0)，则由 ，可得t101?2b，得20. (1) 由gg(1)f(0)( ?2，(0(t)0，可知h(t)在当0t10. 时，由h(t)h(0)当x3可转，0th(3)0t1当时，因为，223 3xax，时，3ax(x)，则1hh(t)0h(x)令)2)6x3x(ax(1，由零点存在性定理可知h(t) 在 时，a当0h，在h(x)，(x)0(0)只有一个零点g(x)0上

14、单调递减 时，方程f(x)故当a2或a 在h(x)，20a有唯一解(0，(0)在或2a|a从而所求a的取值范围是(0在h(x)知由零点存性定理，上连续，)， 0上有)，(0在h(x)内存在唯一零点，即1)a0. ，可得1 唯一的零点；0c，由(3) b1bc 得g(x)g(x)A由，0)的空间直角坐标系Axyz，则A(0，012x0. ax3x即1ax且x00，?2a设平面ABC的法向量为n(x，y，z)， 1111?AB0，3yn4z0，?0， ；当a0时，A?11?3?即则 ?0.4x?，0AnC9111 0)；(，当a时，A4取z3，则x0，y4， 所以平面ABC的一个法向量为n9111

15、，当，a0时A(4(0，4，3) 同理可得平面BBC的一个法向量为n4a3394a9211 0)(，)2a2a(3，4，0)， 数学附加题nn1621cosn. ，n所以2125|n|n|21a242?因为n，n0， ?则21. B. 由题意知M，21?5112b341. BCB的正弦值为所以二面角A111254? ，?5 ，aa4，22? 解得所以?，b3，15b2?21?. M所以 ?1321(2) 假设存在 ?1由|M|7得M?13上一点，且BD)是线段BCx，y，z设D(121?77? . 1，则(x，y30，z)(4，BC，113?773，4)， 所以x4，y33，z4， ，sinc

16、os因为C. 2 2 2 2cos2即 sin， )，4 3(4，3AD所以222的直角坐标方程为C所以圆yx2222? x2y0，即1，xyBB0ADA， 因为ADA，所以?2211922?. 0，解得即925. 所以圆心的直角坐标为，25?22 20，4yx因为直线的普通方程为9上存，所以在线段BC0，因为1125是以所距线直到心圆Cl离9BD22?. AB，此时D在点，使得AD24125BC?221 5，2个点构37(1) 从个顶点中随机选取23. 上的点向圆l故直线成三角形，引的切线长的最C3 取法种C35()共有226. 5小值是217为原点建立如图所示22. 以如图，(1) A这类三，ABF的三角形如3X其中 角形共有6个，6 所以P(X. 3) 35，26，由题意