第九讲二重积分

1、第九讲 二重积分.考试要求1了解二重积分的概念与基本性质2掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）注：(1) 数一要求：了解三重积分的概念与基本性质，了解二重积分的中值定理；会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）；会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、质量、质心、形心、转动惯量、引力等）(2) 数三要求：了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算.考试内容一、二重积分的概念与性质1. 二重积分的定义在有界闭区域上有界注：(1)若在闭区域上连续，或在上有界且只在有限条曲线上不连续，则函数可积.(2)若存在,则对:,取特殊的分割方式可得（3）曲顶柱体的体积2二重积分的性质

2、(1) ；(2) ，其中，；注：(3) ，其中为的面积；(4) 若在上，则；注： 逆命题不成立.在上连续，则.在上连续，则.(5) 设分别是在闭区域上的最大值与最小值，为的面积，则；(6)（二重积分的中值定理）设在闭区域D上连续，为的面积，则在上至少存在一点，使得二、二重积分的计算1.直角坐标系下（1）型区域先对积分 如果区域形如, , 则 区域特征： 平行于轴的直线与区域交于一个线段. .(2)型区域先对积分如果区域形如, . 特征: 与轴平行的直线与区域交于一个线段. 一般区域分成若干型区域和型区域. 注：后积先定限，限内划条线，先交是下限，后交是上线2. 极坐标系下用极坐标系, 一般先后

3、. 区域特征: 从极点出发的射线与区域交于一个线段. 利用极坐标计算：*积分区域是型区域: .注: (1) 极点在边界上时, 内层积分下限不一定为0（两种情况）; (2) 极点在区域内部时, 外层积分从0到，内层积分下限为0.（3）极点在区域外部.(4)掌握常见的极坐标方程: ,.3二重积分的对称性(1) 如果积分区域关于轴对称，为在轴上方的部分,则，其中；(2) 如果积分区域关于轴对称，为在轴右侧的部分,则，其中；(3) 如果积分区域关于变量具有轮换对称性，即关于直线对称，则=三、计算二重积分步骤1画出积分区域，考察能否利用对称性质简化积分2选择坐标系：根据积分区域（边界曲线方程）与被积函数

4、的特点来选择坐标系3确定积分次序：在直角坐标系下，根据被积函数的特征与积分区域的类型确定积分次序注意被积函数为以下特殊函数的情形：；4确定积分的上、下限5计算二次积分四、分区域函数的二重积分若，则. 题型与例题一概念与性质方法：1. 性质（*不等式，化为一元函数讨论） 2. 重积分是与积分变量无关的常数【例1】设，其中，则 (A) (B) (C) (D) 分析：用重积分的不等式性质比较二重积分大小，关键在于比较、与在区域上的大小. 【解】 在区域上，令有 ，由于在 上为单调减函数，于是， 即 ，因此 ，故应选 .注：不变，变化，比较积分大小.【例2】设连续，且，其中是由所围区域，则等于 (A)

5、(B)(C)(D)【解】设, 代入方程,得解得，所以，.故应选.二. 二重积分的计算方法：1. 直角坐标 2.极坐标【例3】计算二重积分，其中是由直线所围成的平面区域分析: 选择积分次序，先考虑区域，再考虑函数【解】 二重积分. 先对积分. .【例4】计算二重积分，其中是由直线以及曲线所围成的平面区域分析：1. 直角坐标系下的积分次序. 2.可加性【解1】 【解2】 ，在极坐标下 ，则，所以 【例5】（12218）计算二重积分，其中区域为曲线与极轴围成.【解】 .三利用对称性求二重积分【例6】（12206）设区域由曲线，围成，则( ) . . . . 【解】由对称性.故选.【例7】设区域，为上的正值连续函数，为常数，则 (A)(B)(C)(D)【解】 由轮换对称性，有 = = 应选.四交换次序 方法: 1. .2. .【例8】计算分析: 此次序下无法计算. 二合一.【解】 【例9】（12303）设函数连续，则二次积分 ( ). . . 【解】 .五.分片函数(隐含)的积分【例9】设, 表示不超过的最大整数, 计算二重积分. 解题思路 去掉取整函数符号，将积分区域分片. 当被积函数为分片函数时应利用积分的可加性分区域积分. 【解】 令 ， .则 = =六.广义二重积分（数三）方法：1. 无界 2. 无界【例10】设，求积分，其中【解】.【例10*】（12316）