河大高等数学同济下册期末考试题及答案

1、咼等数学（下册）考试试卷 （一、填空题（每小题 3分，共计24分）1、z = Jloga(x2 y2) (a0)的定义域为 D=2、2 2重积分 ln(X y )dxdy的符号为|x| |y| 13、由曲线 y In X及直线xy 1所围图形的面积用二重积分表示为，其值4、设曲线L的参数方程表示为(t)(t)（ X ）,则弧长元素ds5、设曲面刀为X22y 9介于3间的部分的外侧,y2 1)ds6、微分方程dxy tan#的通解为XX7、方程y（4）4y0的通解为级数的和为n 1 n(n 1)二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数z f（x,y）在（Xo,yo）处可微的充分条件是（(

2、B)(C)(D)(A) f(X, y)在(Xo, yo)处连续;fx(x, y) , fy(X, y)在(Xo, y0)的某邻域内存在;z fx(xo,yo) x fy(xo,yo) y当 J( x)2z fx(xo,yo) X fy(xo,yo) yJ( X)2 (y)2y)20时，是无穷小;2、设u忙）xf(yX）,其中f具有二阶连续导数，则uX 2 y Xu2 y等于（)(A)Xy ；(B)X ；(C) y ;(D)0O3、设2 :X2 y2 z1,z0,则三重积分IzdV等于（)(A)4和02d01r 03 sincos dr ； (B)0.1 2 . dr sin0 0dry2202

3、(C) d002d130 r sin cos dr ；( D)2 1 3d d r sin cos dr。0 0 04、球面Xz2 4a2与柱面x22ax所围成的立体体积V=(A)02d2a cos ,220 妬 r dr ；(B) 4 02d2a cosr扌4a2 r2dr ；(C)02d2a cos 1rP4a2r2dr ；2a cosrj4a2 r2dr。5、设有界闭区域由分段光滑曲线L所围成,L取正向，函数P（X, y）,Q（x, y）在D上具有一阶连续偏导数,Qdy(A)D (于Q) dxdy ；x(B)P)dxdy ；x(C)D (三Q)dxdy ；yP)dxdy。y6、下列说法中

4、错误的是（(A)方程xy2yx2y0是三阶微分方程;(B)方程ydxysi nx是一阶微分方程; dx(C)方程（x22xy3)dx (y2 3x2y）dy 0是全微分方程;(D)lx空是伯努利方程。2 x已知曲线 y y（x）经过原点，且在原点处的切线与直线2x y 60平行，而y（x）满足微分方程2y 5y 0 ,则曲线的方程为(A)ex sin 2x ；X(C) e (cos2x sin 2x)；设 nimnun 0,则 n1un(B)(D)ex (si n2xexsin 2x。cos2x)；（A）收敛；（B）发散;三、求解下列问题（共计 15分）1、（ 7分）设f,g均为连续可微函数。

5、(C)不一定;（D）绝对收敛。f ( x, xy ), v g (x xy )，x tt f （z）dz ,x t四、求解下列问题（共计 15分）。2 2dx e0 x2、（ 8 分）设 U（X,t）1、计算Iy2dy o (7 分)2、计算I(x2y2）dV，其中2 2是由X y 2乙z 1及z 2所围成的空间闭区域（8分）五、（13分）计算Ixdy ydx，其中L是xoy面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点0（0,0）的封闭曲线的逆时针方向。六、（9分）设对任意x,y, f(x)满足方程f (x y) 丄也一，且f (0)存在，求f (x) o1 f (x)f(y)七、（8分）求级数n(

6、1)12n 1n区一2的收敛区间。2n 1高等数学（下册）考试试卷（二）1、设 2sin(x 2y 3z)z z2y 3z，贝y x y2、limx 0 y3、4、5、3 yj9_xyxy2dx02xf （x, y ）dy，交换积分次序后,f（u）为可微函数，且f(0)0,则limt 0 t3x2y2f(x2 y2)dt2L为取正向的圆周x24，则曲线积分y(yex1)dx (2yex x)dy6、设A(x22 2yz) i (y xz) j (z xy) k，则 div A7、通解为xGeC2e 2x的微分方程是二、选择题（每小题 2分，共计16 分） oxy1、设函数 f (x, y) x

7、2 y0,x20,则在点(0, 0 )处(A )连续且偏导数存在；(C)不连续但偏导数存在;(B )连续但偏导数不存在；(D)不连续且偏导数不存在。2、设u(x, y)在平面有界区域D上具有二阶连续偏导数，且满足2u2u2y则(A)(B)(C)(D)最大值点和最小值点必定都在最大值点和最小值点必定都在 最大值点在D的内部，最小值点在 的内部，最大值点在2)2最小值点在DD的内部；D的边界上；D的边界上;D的边界上。3、设平面区域D: (X(y1)21,若I1(x y)2d ，I2D则有(A) I1 I2 ；(B)I112 ；(C) I1 I2 ；4、设是由曲面zxy, yX, X(X y)3d

8、(D)不能比较。0所围成的空间区域，则xy2z3dxdydz =( 3631364。5、设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续,xL的参数方程为y:)(t )，其中(t),(t)在上具有一阶连续导数，且2(t)2(t)0，则曲线积分L f(x,y)ds (A)f( (t), (t)dt ；(B)f( (t),(t)J 2(t)2(t)dt ；(C)f( (t), (t)J 2(t)2(t)dt ；(D)f( (t), (t)dt。6、设2是取外侧的单位球面 xz21,则曲面积分xdydz ydzdxzdxdy =(A) 0 ；(B)(C)(D)4 。7、下列方程中，设yi,y2是它的解，可以推

9、知 y1 y也是它的解的方程是(A) y P(x)yq(x) 0 ；(B) y P(x)y q(x)y 0 ；(C) yP(x)yq(x)y f(x)；(D) y P(x)y q(x) 0。&设级数 an为一交错级数，则（n 1（A）该级数必收敛;（B）该级数必发散;（C）该级数可能收敛也可能发散;三、求解下列问题（共计15 分)1、（8分）求函数U的方向的方向导数。（D）若an0 （n0），则必收敛。ln(x Jy22z )在点 A (0, 1 , 0)沿 A 指向点 B (3, -2, 2)2、(7 分)求函数 f(x, y) x2 y(4x y）在由直线x y 6,y0,x0所围成的闭区

10、域 D上的最大值和最小值。四、求解下列问题（共计 15分）1、（7分）计算Idv域。(1 x，其中 是由x 0, y 0,z0及xz)1所围成的立体2、（ 8分）设f （x）为连续函数,定义F(t)z2 f(x2)dv.其中2(x,y,z) | 0 z h, xt2，求dF。dt五、求解下列问题（15 分)1、（ 8分）求I/ X L(e sin ymy)dx (ex cos y m)dy ,其中L是从A (a,0)Jax X2 至U O（0, 0）的弧。2、（ 7分）计算x2dydzy2dzdx z2dxdy，其中是x2z2(0a)的外侧。六、（15分）设函数（x）具有连续的二阶导数，并使曲

11、线积分l3 (x)2 (x)xe2xydx（x）dy与路径无关，求函数（X）。高等数学（下册）考试试卷（三）(每小题yz .2et dt,xz3分，共计24分）则一z2、函数f(x,y) xysin（x 2y）在点（0, 0）处沿I （1,2）的方向导数(0,0)-2 23、设为曲面z 1 x y ,z 0所围成的立体，如果将三重积分If(x, y,z)dv化为先对z再对y最后对x三次积分，则I=4、设f(x,y)为连续函数，则I Fm 丄 f (x, y)d t D，其中D : x2y2 t2。5、(x2 y2)ds，其中 L:x2 y2 a2。6、设是一空间有界区域，其边界曲面是由有限块分

12、片光滑的曲面所组成，如果函数P(x, y,z)，Q(x,y,z)，R(x, y,z)在 上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲面积分之间有关系式:该关系式称为公式。27、微分方程y 6y 9y x 6x 9的特解可设为y8、若级数发散，则pn 1 n p二、选择题(每小题 2分，共计16分) f (x a,b) f (a x,b)1、设 fx(a,b)存在，则 limx 0(A)fx(a,b) ；( B)0；(C)2fx(a,b) ；(D)1fx(a, b)。2、设z2xy，结论正确的是(A)2z2z0；(B)2z(C)2z2z2z(D)x y2z0。3、f(x, y)为关于x的奇函数，积

13、分域D关于y轴对称，对称部分记为01,02，f (x, y)在D上连续，则f(x,y)d (A)0 ；( B)24、f(x,y)dD1z2 R2 ,；(C)4(x25、D1f (x, y)d ;y2)dxdydz=(D)2(A)3r5 ；R5 ；(C) 15 R5；设在xoy面内有一分布着质量的曲线f (x, y)d 。D216(D)16R5。在点(x,y)处的线密度为(X, y)，则曲线弧L的重心的x坐标x-1 - 1(A) x=k L x (x, y)ds ；(B) x= L x (x, y)dx;MLml-1x = xds, 其中M为曲线弧L的质量。M L(C) x= LX(X, y)d

14、s;(D)6、设为柱面x2 y21和x0,y0,z1在第一卦限所围成部分的外侧，则曲面积分2o y zdxdy2xzdydz x ydxdz=(A) 0;(C)5247、方程y2yf （x）的特解可设为（A）A，若f(x) 1 ；Aex，若 f(x)(C) Ax4 Bx3Cx2 Dx E ，若f(x) x2 2x；(D) x(Asin5xB cos5x)，若 f (x)sin 5x。8、设 f(x) 11,则它的Fourier展开式中的an等于（）2(A)二1n1)n；（B）0；(D)。n三、（12分）设yf(x,t),t为由方程F(x,y,t)0确定的x,y的函数，其中f,F具有一阶连续偏导

15、数，求O四、（8分）在椭圆x24y24上求一点,使其到直线2x 3y60的距离最短。五、（8分）求圆柱面2 y被锥面z Jx2y2和平面z0割下部分的面积A。六、（12分）计算Ixyzdxdy,其中为球面 x2y2z21的x 0, y 0部分的外侧。七、(10 分)设1 sin2d(cosx)x，求 f（X）。八、（10分）将函数f（X） ln（1 xx2 x3）展开成x的幕级数。高等数学（下册）考试试卷（一）参考答案一、1、当 0a 1时，0 x2 y21 ；当 a1时,2、负号；3、dD1e 1 y30dy ey dx； 3仃；4、5、1806、sin xCx ；7、yGcosJZx C2

16、, 巧xsi n 寸 2x C3eC4e、迈X；二、1、D ；2、D ；3、C；4、B；5、D；6、B ；三、1、uf1yf2 ；xg (x xy)；7、A ；2 2 .x y 1 ；2、f(xt)f(xt);四、1、2dx0y2dy20dyu t ye2、柱面坐标Idr2r3dz五、x2 y2，Qx2 2 x y于是当L所围成的区域所围成的区域 D中含f(xdxt)f(x中不含ox22(0六、由所给条件易得:V 2(t)2(t)dt ；t);8、C;2ye2_drJ2（0，0）2dy2丄r222 y (x2(1e4)；r3dz2x2、2y )时，y（0，0）时，上卫y x1），逆时针方向，并

17、假设DI Green公式143Q，(x, y) (0,0)；xQ在D内连续。所以由Green公式得：1=0;当LxD内除O （ 0, 0 ）外都连续，此时作曲线I为为L及I所围成区域，则d(EP)dxdy。2yx2 y2 2f(0) ”1 f2(0)f(0) 0又f(x)忸rf(x)f(x) f( x)= lim1 f(x)f(x)X 0xf(x)f (0)1 f2(x)lim _ 1 f2(x) f( x) f(0)x 0 1即 f (X) f1 f2(x)(0)arctan f (x)f (0) Xf(x)tan f (0)x c又 f (0)0k ,kf(x)tan(f (0)x)七、令

18、x 2考虑级数t2nlimnt22n 3t2n 12n 1当t21即t1时，亦即3时所给级数绝对收敛;1即x 3或x 1时,原级数发散;(1)n 1 1一 收敛;1 2n 11即x 3时，级数(1)n 收敛; n 1 2n 1级数的半径为R=1，收敛区间为1，3。高等数学（下册）考试试卷（二）参考答案一、1、1 ；2、-1/6 ；30dy y/2f(x,y)dx2dyf (x, y/2 y)dx；4、- f (0)；35、8；6、2(xy z) ；7、yy 2y0 ；8、0；二、1、C；2、B ；3、A ；4、D ；5、C；6、D ；7、B ；8、C；三、1、函数uln(xJy2 z2)在点

19、A（1，0,1)处冋微，且422 y(1,0,1) 1/2 ；z2yr22VYz(1,0,1) 0 ；Jy2(1,0,1) 1/22,1),故在A点沿I3 3AB方向导数为:uuuAA cos + A COS +xyz2,1),所以IAB (2,(|,A COS1/2.2、由fy2xy(42 xx y)xy(1)0得D内的驻点为f(o, y)而当x(4 x 2y)0, f(x,0)0Mo(2,1),且 f(2,1)4 ,令(2x3于是相应36, x 0, y 0 时，f (x, y) 2x12x2)0 得 X1 0, X2 4y1 6,y22 且 f(0,6) 0, f(4,2)f(x,y)在

20、D上的最大值为f(2,1)四、1、的联立不等式组为1所以I dx0dydz(1 x yz)3212x64.(0 x 6)最小值为f(4,2)64.dx 0122、在柱面坐标系中2F(t) d / 0tdrS)dx 11n 242h 2 20z2 f(r2)rdz5160hf(r2)r 3h3rdr0所以dFdt2 hf(t2)t 1h3t2 htf(t2)卜23 3五、1、连接OA，由Green公式得:OAOAL OAoAGreen公式2 2x y ax,y/ x(e cosy0xe cosym) dxdy 02、作辅助曲面，上侧，则由 Gauss公式得:x2y2 z2,02(xaz) dxd

21、ydzx22a dxdyy2 a2=2a0dzx2由题意得:(x)(x)2x xe(x)(x) 3(x)(x)2x xe特征方程r23r0，特征根r11,r2 2对应齐次方程的通解为:xy qec2e2x又因为2是特征根。故其特解可设为:2xx(Ax B)ezdxdy2 2y za32z3dz0代入方程并整理得：A丄,2* 1即 y - x(x 2)e2x故所求函数为：（X） c1ex2xc2e2)e2x2z22、J5 ；3、1dxJ1 x2dy1 x2 y20 f (x, y,z)dz ；4、 f(0,0);5、2 a3;6、(上xR)dvzO PdydzQdzdx Rdxdy ,Gauss公式;7、Ax2Bx C0。二、1、C;4、5、A ;7、三、由于dyfx(x,t)dxft(x,t)dt，FxdxFy