向量数乘及几何意义.ppt

1、2.2.3 向量数乘运算及其几何意义,数学源于生活，高于生活，服务于生活,复习回顾,1.已知两个非零向量a和b，如何求作它们的和向量、差向量？,1.向量加法三角形法则:,特点:首是首， 尾是尾,特点:共起点,特点：共起点，连终点，方向指向被减向量,2.向量加法平行四边形法则:,3.向量减法三角形法则:,问题提出,1.相同的几个数相加可以转化为乘法运算，如33333=53=15.那么相等的几个向量相加是否也可以转化为乘法运算呢？,探究一：向量数乘运算及其几何意义,思考1：已知非零向量a，如何求作向量a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)？,aaa,(-a)+(-a)+(-a),a+a+a记为3

2、a，(-a)+(-a)+(-a)记为-3a.,一般地，我们规定：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作a，,（1）|a|=|a|；,（2）当0时,a与a方向相同； 当0时,a与a方向相反； 当=0时,a =0.,向量的数乘的定义,注意:若a=0，,则=0或a=0.,探究二:向量数乘运算律,1.结合律(ab)c=a(bc), 2.分配律(a+b)c= ac+bc；,实数的乘法运算律,设、为实数，则 1）(a)=() a ； 2）(+) a =a +a； 3）(a+b)=a+b.,向量的数乘结合律和分配律,以上通过作图可验证,特别提醒：(-)a=-( a) = (- a) (a-

3、b)=a-b,题组一：,例1 计算 (1)(-3)4a； (2)3(a+b)-2(a-b)-a； (3)(2a+3b-c)-(3a-2b+c）.,解：1） 原式=(-34)a,解（2）原式=- 3a+3b-2a+2b-a,解：（3） 原式=2a+3b-c-3a+2b-c,=-12a,=5b,= -a+5b-2c,练习课本: 1. p90-3,(2)b= a.,(1)b=2a.,(4)b= a.,(3)b= a.,练习课本：2. p90-5,(1) 3a-2b,(3) 2ya,思考2：引入向量的数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间有何关系？,a,A,B,l,向量共线定理：向量a（a0）与b共

4、线，当且仅当有唯一一个实数，使b=a.,若a0，上述定理成立吗？,b,形：,数：,共线,b=a.,2.若a，b不共线， -ma+2b与a-3b共线，则实数m的值为_.,练习课本: 1. p90-4,例2 如图，已知任意两个非零向量a， b，试作 =ab， =a2b， =a3b.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？,题组二,向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数、x、y，则,(xayb）=xayb.,例4 如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且 =a， =b，试用a,b表示向量 、 、 、,解：平行四边形ABCD,又因为平行四边形的对角线互相平分,若向量a,b不共线，是否可以用向量a,b来表示平面上的任一向量？,小结作业,1.向量的数乘概念,注意:若a=0，则可能有=0,也可能有a=0.,3. 向量共线定理,2.向量的数乘运算律,注意:不是规定，而是可以证明的结论.,注意:平面几何中证明三点共