大学物理实验（上）：第5章 振动和波动

1、第五章,振动和波动,5.1 简谐振动,振动是一种重要的运动形式，自然界中普遍存在。,特点：有定值；具有重复性。, 振动的一般概念,广义的说，任何一个物理量在一个定值附近随时间反复变化的现象都可以叫做振动。,机械振动：物体在同一路径的一定位置附近作重复往返运动称为机械振动。,电磁振荡：电磁场中的电场强度和磁场强度随时间作周期性变化的现象。,振动的分类：,本章通过讨论机械振动认识振动共性。,最简单、最基本的振动是简谐振动，存在于许多物理现象中。,复杂的振动都可以分解为一些简谐振动的叠加。,5.1.1 简谐振动的描述,1.简谐振动的引入, 以弹簧振子为例,弹簧质量不计,不计摩擦， 将物体视为质点。,

2、建立坐标系，坐标原点O选在弹簧平衡位置处。,回复力：,加速度：,即：,令,有：,简谐振动微分方程,线性谐振子,解微分方程得到简谐振动运动方程（振动方程）：,A为振幅，为初相位。,称为圆频率，只与弹簧振子性质有关。,结论：线性振子系统中物体离开平衡位置的位移是时间的余弦函数。,定义：凡是决定其位置的坐标按余弦（或正弦）函数规律随时间变化的振动都是简谐振动。,强调：简谐振动的振动方程只能用余弦函数表示！,2.简谐振动的判据,1.判断合外力（或合外力矩）与物体离开平衡位置的位移（或角位移）是否成F=-kx的形式。,2.判断位移与时间是否满足微分方程：,3.判断物体的运动是否满足方程：,例：证明竖直悬

3、挂弹簧的运动是简谐振动。,证明：平衡位置,在任意位置 x 处，合力为：,物体仍受回复力作用，作简谐振动。,例：单摆的运动。,质量集中于小球上，不计悬线质量。,取逆时针为 张角正向。,切向：,当 5 时，,令,结论：在角位移很小的时候，单摆的振动是简谐振动。,周期,3.简谐振动的速度和加速度,简谐振动运动方程（振动方程）：,简谐振动的速度：,简谐振动的加速度：,简谐振动的最大速度值：,简谐振动的最大加速度值：,4.描述简谐振动的物理量,简谐振动的振动方程：,A振幅 物体离开平衡位置的最大距离。,圆频率,由系统本身的性质决定。,x位移 振动物体离开平衡位置的位移。,单摆：,弹簧振子：,周期T 物体

4、完成一次全振动所用的时间。,频率 单位时间内物体完成全振动的次数。,周期、频率和圆频率三者的关系：,结论：简谐振动的周期和频率完全由这个系统本身的性质决定。, 初相位,(t)=t+相位,t=0时物体的相位，,物体在任一时刻t的相位。,对一个确定的简谐振动，一定的相就对应于振动质点一定时刻的运动状态，即一定时刻的位置和速度。,在简谐振动中，常用相来表示质点的某一运动状态。,相的概念在比较两个同频率的简谐振动的步调时特别有用：,两个同频率简谐振动：,它们的相位差：,5.振幅与初相的确定,初始条件：,由 得：,/有：,2+(/)2，,在02之间有两个解，但只有一个解符合要求，为此要根据已知的x0、v

5、0的正负来判断和取舍。,5.1.2 简谐振动的旋转矢量表示法,研究端点 M 在 x 轴上投影点P的运动。,t=0时，矢量与坐标轴的夹角等于初相，,1.M 点在 x 轴上投影点的运动,为简谐振动。,矢量 以角速度 逆时针作匀速圆周运动，,在平面上作一坐标轴Ox，由原点O作一长度等于振幅的矢量 。,2.M 点的运动速度,在x轴上投影速度,3.M 点的加速度,在x轴上投影加速度,旋转矢量法是由于简谐振动具有周期性这一特点而产生的描述质点运动的特殊方法。,这种以一个匀速旋转的矢量 ，在Ox轴上的投影来表示简谐振动的方法，称为旋转矢量法。,在简谐振动表达式x=Acos(t+)中，(t+)叫做振子在t时刻

6、的相位。在旋转矢量中，它还有一个直观的意义：在t时刻振幅矢量和x轴的夹角。,A,简谐振动,旋转矢量,t+,T,振幅,初相,相位,圆频率,简谐振动周期,半径,初始角坐标,角坐标,角速度,圆周运动周期,物理模型与数学模型比较,旋转矢量法确定初相位：,在第象限,在第象限,在第象限,在第象限,几种特特殊位置初相位：,例：质点沿x轴作简谐振动,振幅A=0.12m，周期T=2s，当t=0时，质点对平衡位置的位移x0=0.06m，此时刻质点向x轴正向运动。求：(1)此简谐振动的振动方程；(2)从初始时刻开始第一次通过平衡位置的时刻。,解：,(1)取平衡位置为坐标原点，,由旋转矢量法可得：,（2）质点第一次通

7、过平衡位置时，振幅矢量转过的角度为：,设,例：一质点作简谐振动，周期为T。求：当它由平衡位置向x轴正向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的最小时间。,解：由旋转矢量图可知，,当质点由平衡位置向x轴正向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处时，转过的角度为：,所需的最小时间为：,5.1.3 简谐振动的能量,以水平的弹簧振子为例, 简谐振动的势能：, 简谐振动的动能：,Ek 最大时， Ep最小， Ek 、Ep交替变化。, 简谐振动的机械能：,1.作简谐振动的物体，其机械能守恒。,2.频率一定时，简谐振动的能量与振幅的平方成正比。,结论：,例：有一水平弹簧振子k=24N/m，重

8、物的质量m=6kg，静止在平衡位置上，设以一水平恒力F=10N作用于物体（不计摩擦），使之从平衡位置向左运动了0.05m，此时撤去力F，当重物运动到左方最远位置时开始计时，求该简谐振动的振动方程。,解：,依题意，有：,选取坐标如图，,设振动方程为：,5.2 简谐振动的合成,5.2.1 同方向简谐振动的合成,1.同方向同频率简谐振动的合成,质点在一直线上同时参与两个独立的同频率的简谐运动，其振动方程分别为：,合振动的位移：,结论：两个同方向、同频率的简谐振动合成后仍然是一个简谐振动，且频率不变。,讨论：,合振动振幅最大。,合振动振幅最小。,3.一般情况,补充：N个同方向同频率简谐振动的合成（用矢

9、量合成法），设它们的振幅相等，初相位依次差一个恒量。,设N个简谐振动的振动方程分别为：,在OCP中：,上两式相除得：,在COM中：,合振动的表达式：,强调：上面所列的第一个振动的初相位为零，如果第一个振动的初相位不为零，设为0，则此时合振动的初相位应为 ：,即各分振动同相位时，合振动的振幅最大。,讨论1：,当,讨论2：,此时各分振动矢量依次相接，构成闭合的正多边形，合振动的振幅为零。,以上讨论的多个分振动的合成在说明光的干涉和衍射规律时有重要的应用。,当 且,例：两个同方向同频率的简谐振动，其振动方程分别为,解：,A、B好为反相振动, 所以合振动的表达式为：,求它们的合振动的振幅及初相位。,它

10、们的合振动的振幅A0.04m,它们的合振动的初相位=/2,10,可得第二个谐振动得振幅为10cm,解：,利用旋转矢量法，如图示,与第一个谐振动的相位差为,例：两同方向同频率简谐振动,其合振动振幅为20cm,此合振动与第一个简谐振动的相位差为/6，若第一个简谐振动的振幅为 cm,则第二个简谐振动的振幅为 cm,第一、二两个简谐振动的相位差为 。,例：三个同方向、同频率的简谐振动为： x1=0.08cos(314t+/6), x2=0.08cos(314t+/2), x3=0.08cos(314t+5/6), 求：（1）合振动的角频率、振幅、初相及振动方程；（2）合振动由初始位置运动到 （A为合振

11、动振幅）所需最短时间。,解：(1)由题给可知=314rad/s,由图可知合振动A=0.16m，初相=/2,（2）由图可知旋转矢量转过的角度为：,*2.同方向不同频率简谐振动的合成,合成振动表达式：,为了简单起见，讨论两个振幅相同，初相位也相同，在同方向上以不同频率振动的合成。,结论：由于振幅是周期性变化的，所以合振动不再是简谐振动。,随t变化缓慢,随t变化较快,两振动的振动方程分别为：,当 1和2都很大且相差甚微时，可将 视为振幅变化部分，合成振动是以( 1+2 )/2为角频率的近似谐振动。,这种振动的振幅也是周期性变化的，即振动忽强忽弱。,这种合振动忽强忽弱的现象称为拍。,拍频：单位时间内振

12、动加强或减弱的次数。,振幅,所以，拍频是振动 的频率的两倍。 即拍频为：,由于余弦函数绝对值的周期为。,*5.2.2 互相垂直的简谐振动的合成,1.两个同频率互相垂直的简谐振动的合成,设一个质点同时参与了两个振动方向相互垂直的同频率简谐振动。,、式消 t ，得质点在直角坐标系中的轨道方程：,上式是个椭圆方程，具体形状由=(2-1) 相位差决定。,合运动一般是在 2A1 ( x向 )、2A2 ( y向 ) 范围内的一个椭圆。质点的运动方向与 有关。当0时，质点沿顺时针方向运动；当 2 时，质点沿逆时针方向运动。,讨论:,为直线方程,1.,同相位,利用旋转矢量合成,2.,当A1=A2时，,为圆方程

13、,是在x轴半轴长为A1， y轴半轴长为A2的椭圆方程，且顺时针旋转。,3.,反相位,是在x轴半轴长为A1，y轴半轴长为 A2的椭圆方程，且逆时针旋转。,4.,综上所述：两个频率相同的互相垂直的简谐振动合成后，合振动在一直线上或者在椭圆上进行（直线是退化了的椭圆）当两个分振动的振幅相等时，椭圆轨道就成为圆。,2.两个不同频率互相垂直的简谐振动的合成,一般是复杂的运动，轨道不是封闭曲线，即合成运动不是周期性的运动。下面就两种简单情况讨论：,（1）两分振动频率相差很小,=(2-1)t+(2-1)可看作两频率相等而D随t缓慢变化,合运动轨迹将按下图依次缓慢变化。, x y= 2 3,（2）两振动的频率

14、成整数比, 1 = 0 , 2 = / 4,如果两个互相垂直的振动频率成整数比，合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有周期。这种运动轨迹的图形称为李萨如图形。,用李萨如图形在无线电技术中可以测量频率：在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨如图形去比较，就可得知另一个未知的频率。,*5.3 阻尼振动 受迫振动 共振,5.3.1 阻尼振动,阻尼振动：由弹性恢复力和阻力共同作用的振动。,当物体低速运动时，阻力,当物体高速运动时，阻力,如：弹簧、单摆振动过程。,如：子弹运动、卫星发射过程。,式中为阻尼系数，由振动系统和介质的性质决定。,由于振动

15、系统要不断克服阻力做功，如果没有外来的能量补充(即自由振动)，系统要逐渐损耗振动的能量使振幅逐渐变小直至振动停止。,1.阻尼振动方程（低速）,振动系统所受的阻力与速度大小成正比，与其方向相反。,动力学方程：,以弹簧一维振动为例,阻尼振动微分方程,令,阻尼振动微分方程,0：振动系统的固有角频率,微分方程通解：,：阻尼系数,二阶常系数齐次微分方程,2.几种阻尼振动,（1）欠阻尼振动,为虚数，,A 与 由初始条件确定：,通解：,可写成,阻尼较小时，,令,振幅项 随时间周期性衰减。,振动周期,无阻尼时,有阻尼时，周期变长。,这种这种阻尼较小的振动称为欠阻尼振动。,阻力使周期增大,（2）过阻尼振动,通解

16、 可表示为：,两项都衰减，不是周期振动。,如:单摆放在粘滞的油筒中摆到平衡位置须很长时间。,C1、C2 是积分常数，由初始条件来决定，,无振动发生。,不能往复运动。,阻尼较大时，,令,（3）临界阻尼振动,三种阻尼振动比较,衰减函数,临界阻尼达到平衡位置的时间较短，但仍不能超过平衡位置。,临界阻尼情况是振动系统刚刚不能作准周期振动，而很快回到平衡位置的情况，应用在天平调衡中。,通解 可表示为：,5.3.2 受迫振动 共振,1.受迫振动,受迫振动：系统在周期性的驱动力持续作用下所发生的振动。,（1）受迫振动方程,弹簧所受弹性力,阻尼力,驱动力,以弹簧一维振动为例,驱动力：周期性外力。,由牛顿第二定

17、律,令,方程的解：,受迫振动可以看成是两个振动合成的。,即,第一项为阻尼振动项，当时间较长时衰减为零。,第二项为驱动力产生的周期振动。,结论：开始时运动比较复杂，当第一项衰减为零后， 系统只作受迫振动，振动频率为驱动力的频率。,经过足够长的时间，受迫振动的稳定态为：,振幅A是的函数,在受迫振动中，振子因外力对它做功而获得能量，同时又因有阻尼而损耗能量。受迫振动开始时，前者大于后者，从而振动逐渐加强，随着振动加强，损耗能量增多，直到获得能量恰好补偿损耗的能量时，达到稳定状态。,强调：无阻尼的线性振子的振动与受迫稳态振动，从运动学角度看，都是简谐振动。但从动力学角度看二者有本质的区别：,线性振子是

18、保守的孤立系统，系统机械能守恒，有其自身的固有频率；,受迫稳态振动是开放的耗散系统，系统机械能不守恒。受迫振动只按外力的频率振动，它的振幅、初相位只由振动系统和外力性质决定，与初始条件无关。,2.共振,振幅共振：当驱动力的频率为某一特定值时，受迫振动的振幅将达到极大值的现象。,当 时， A最大。,结论：阻尼系数 越小，共振角频率r越接近于系统的固有频率 0 ，同时共振振幅Ar也越大。,共振频率：,共振振幅：,受迫振动的速度：,速度幅：,时，速度幅极大,在速度共振条件下稳态振动的初相位为,结论：速度和驱动力有相同的相位。即驱动力对振动系统始终做正功。,速度共振又称能量共振！,共振时，振动系统能最

19、大限度地从外界获得能量。,共振现象有利有弊。,1940年美国华盛顿州 的塔科曼大桥在大风 中产生共振断塌,例如： 收音机、乐器、核磁共振等。,我国古代对“共振”早有认识。,公元五世纪天中记：,张华曰：此盘与宫中钟相谐，,蜀人有铜盘，早、晚鸣 如人扣。,问张华。,玻璃球泡因声共振而破裂,5.4 平面简谐波,各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性。,下面以机械波为例介绍波的一些物理概念，讨论波动的现象和规律。,振动在空间的传播称为波动简称波。,波动一般可分为两大类：,机械波：机械振动在弹性介质中的传播过程,电磁波：交变电磁场在空间的传播过程,物质微粒也具有波动性，称为物质波。,水波,声波,5.4

20、.1 机械波的产生与描述,1.产生机械波的条件,1.振源,2.弹性介质,弹性介质：由无穷多的质元通过相互之间的弹性力组合在一起的连续介质。,波源处质点的振动通过弹性介质中的弹性力，将振动传播开去，从而形成机械波。,波动是振动状态的传播，是能量的传播，而不是质点本身的传播。,机械波是机械振动状态在弹性介质中的传播过程,2.机械波的分类,横波：质点的振动方向和波动的传播方向垂直。,如绳波、电磁波为横波。,纵波：质点的振动方向与波动的传播方向平行。,如声波，弹簧波为纵波。,横波和纵波只是振动方向不同，波动本质是相同的，下面以横波为例来讨论。,3.波的几何描述,振动状态或振动能量沿恒定方向传播的波称为

21、行波。,波线：表示波的传播途径和方向的有向线段。,波面：某时刻振动相位相同的点所构成的面。,波阵面（波前）：在最前面的那个波面。,在各向同性的均匀介质中，波线总是与波面垂直。,横轴x表示波的传播方向，,坐标x表示质点在空间的位置，,纵轴y表示质点的振动方向，,坐标y表示质点偏离平衡位置的位移。,波形图：表示某一选定时刻波动过程中各质点位置的图。,xy平面上一条曲线就表示某一时刻的波形图。,说明：在横波中波形图与实际的波形是相同的，但在纵波中，由于波形图表示的是各质点位移的分布情况，而区别于质点的实际位置分布。,4.描述波特性的几个物理量,波长：波传播过程中同一波线上相邻的两个相位相同点之间的距

22、离。,周期T：波前进一个波长的距离所需的时间。,频率：单位时间内波动前进距离中完整波长的个数。,注意：波源位置相对介质不动时，波的周期、频率与介质无关，与波源的相同。在不同介质中频率不变。,波速u：波在介质中的传播速度。单位时间某种一定的振动状态(或振动相位)所传播的距离，也称之相速 。,机械波的波速决定于介质的惯性和弹性，因此，不同频率的同一类波在同一介质中波速相同。,B为容变弹性模量，为质量密度。,液体,在各向同性均匀固体中,横波,纵波,G 切变弹性模量， E 杨氏模量， 密度。,F为张力，为线密度。,液体内只能传播纵波，不能传播横波。,绳索中的波速,注意波速与质点振动速度的区别：,机械波

23、的波速由介质本身的性质决定，与波的频率、振幅无关；,质点振动速度和振动的频率、振幅时间及所研究的质点的位置均有关。,T、 、 、 u 的关系：,注意:在讨论弹性波的传播时要假设介质是连续的。,如果波长小到等于或小于分子间距离时，相距约为一波长的两个分子之间，不再存在其它分子，我们就不能认为介质是连续的了，这时介质就再也不能传播弹性波了。因此有一个频率上限存在。高度真空中分子间距离极大，不能传播声波，就是由于这原因。,5.4.2 平面简谐波的波函数,如果波源是简谐振动，那么介质中各个质点也作简谐振动，其频率和波源相同，振幅也和波源有关。这种波称为简谐波。,波函数：描述波线上每一质点在每一时刻的位

24、移的函数y=f(x,t)，又称为波动方程。,波动是集体表现，可以用任意一个质点的振动方程来表示波的波函数。,1.写出某个已知点的振动方程；,2.以得到的已知点的振动方程为出发点，写出任一个点的振动方程，即得到波函数。,波函数（波动方程）的求解步骤：,（1）右行波的波函数,已知O点振动方程：,P点的振动比O点落后一段时间 t ,相位落后：,平面简谐波沿x轴正向传播，波速为u。,P点处质点在时刻t的位移等于O点在(t-t)时的位移。,P点的振动位移（即P点的振动方程）为 ：,1.平面简谐波的波函数,下述几式等价：,右行波的波函数,则右行波的波函数为：,若告知的是位于x0处的振动方程,若告知的是右行

25、波在t=t0时刻的波形图，设原点O在该时刻的相位可由图求出为，设振动圆频率为，振幅为A，,注意：此时根据波形图求得的相位并不是O点的初相位，而是O点在t=t0时刻的相位。,右行波的波函数为：,原点O的初相位为：,原点O的振动表达式为：,P点的相位超前于O点相位：,P点运动传到 O 点需用时间：,所以 P点的振动方程，也就是左行波的波函数：,（2）左行波的波函数,已知O点振动方程：,注意：若O点为波源，此时波动向O点左右两边传播，则波函数为：,将平面简谐波的波函数对t 和x 求导,比较上述两个二阶偏导数,平面波的微分方程,可以从数学上证明它是各种平面波（即不限于平面简谐波）所必须满足的微分方程式

26、，,2. 波函数的物理意义,波函数y=f(x,t)是波程 x 和时间 t 的函数，描写某一时刻任意位置处质点振动位移。,（1）当x=x0（常数）时，,为距离原点为 x0 处一点的振动方程。,为t0时刻各质点的振动位移，波形的“拍照”,波函数的题型：,（2）当t=t0（常数）时，,（1）已知波函数求各物理量；,（2）已知各物理量求波函数。,例：已知波函数 ，,求：A、u。,解：,由,解：,原点,波函数,例：原点O 振动方程为 ，波速u=200m/s，方向向右，求：波函数；波长、频率；x=5m处质点振动与原点的相位差。,.,. x=5m处,P 点相位落后20 ，原点完成 10 个全振动后，P 点开

27、始振动。,例：平面简谐波向右移动速度u =0.08 m/s，图示为t=0时刻的波形图。求：原点处的振动方程；波函数；P 点的振动方程；a、b 两点振动方向。,解： ,t = 0 时，o点处的质点向 y 轴负向运动,原点的振动方程：,P 点振动方程,a、b 振动方向如图。,波函数,例：一平面简谐诐在t=0时刻的波形如图所示，设波的频率v =2.5 Hz ，且此时图中P点的运动方向向下，求：(1)此波的波函数；(2)P点的振动方程和位置坐标x。,解：(1)设O点的振动方程为：,根据P点的运动方向，可以判定：波沿-x方向传播，O点的运动方向向上。,由据波形图可知：A=1010-2 m =0.1m,t

28、=0时刻，O点:,由旋转矢量法可知：,O点的振动方程为：,t=0时刻，x=3m处:,根据：,解得：,此波的波函数为：,由旋转矢量法可知：,(2)t=0时刻，P点处的振动状态,由旋转矢量法可知：,P点的振动方程为：,根据：,解得：,5.4.3 波的能量,波动的过程实际是能量传递的过程。,以平面余弦弹性纵波（行波）通过一根细长的棒为例来讨论有关波动的能量问题。,1.波的能量,弹性介质中取一体积元 dV，,设波函数,质元振动速度,质量,（1）波动的动能,动能,质元振动速度,势能,Ek、EP,同时达到最大,同时达到最小,平衡位置处,最大位移处,（2）波动的势能,可以证明体元内具有的势能与动能相同：,（

29、3）波动的机械能,结论：对于波动来说，任一质元总机械能随时间周期性的变化，系统总机械能不守恒。,平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值,结论：平均能量密度与振幅平方、频率平方和质量密度均成正比。,能量密度：单位体积内的总机械能,总机械能,2.波的强度（平均能流密度）,能流：单位时间内通过介质中某面积的波动能量。,平均能流密度（波的强度）：单位时间内通过垂直于波传播方向的单位面积的平均能量。,在t时间内通过垂直于波速截面S的平均能量:,能流密度是矢量，其方向与波速方向相同。,单位：Js-1m-2 ， W m-2,*5.5 声波 超声波 次声波,5.5.1 声波,1.声速,声波：频率在20 H

30、z 2104 Hz之间引起听觉的机械纵波。,声波在理想气体中的传播速度：,一些弹性媒质中的声速,为气体的比热比。,2.声压,声压：介质中有声波传播时的压力(压强)与无声波传播时的静压力之差。,介质质量密度：,无声波时的压强：p0,有声波时左侧声压：p,由牛顿第二定律：,有声波时右侧声压： p+dp,简化后,设声波的波动表达式：,质元的振动速度：,质元的振动加速度：,两边积分：,结论：声压随空间位置和时间作周期性变化，并且与振动速度同相位。,声阻抗：,声阻抗较大的介质称为波密介质；,声波在两种不同介质分界面上反射和折射时的能量分配由该两种介质的声阻抗来决定。,声阻抗较小的介质称为波疏介质。,3.

31、声强、声强级,声强：声波的平均能流密度。,声压的幅值：,加速度的振幅,结论：声强与频率的平方，振幅的平方成正比。,这样的超声波在几个毫米范围内有比重力加速度 g 大十多万倍的正负加速度和近百个大气压，可见它 的威力。,超声波的频率高 ，而波长在毫米数量级。 压强振幅约 大气压。,加速度 已达重力加速度的上百万倍；,引起人的听觉的声波，还有一定的声强范围。大约为1012瓦/米2 1瓦/米2。声强太小听不见，太大会引起痛觉。,由于可闻声强的数量级相差悬殊，通常用声强级来描述声强的强弱。,规定声强 I0=10-12瓦/米2作为测定声强的标准,声强级L：,单位为贝耳(Bel),1Bel=10dB,单位

32、为分贝(dB),如炮声声强 1瓦/米2 ，声强级120分贝。,响度：人耳对声音强弱的主观感觉。,5.5.2 超声波和次声波,超声波：频率高于20000赫兹的机械纵波。,1.超声波,特点：频率高，波长短，定向传播性好；穿透性好，在液体、固体中传播时，衰减很小，能量高等。,定位、测距、探伤、显象，随着激光全息的发展声全息也日益发展，它在地质、医学等领域有重要的意义；,近来在超声延时方面有新的发展，因为它的波速比电磁波速低。,由于能量大而集中可用来切削、焊接，钻孔，清洗机件还可用来处理种子和催化。,2.次声波,次声波：频率低于20赫兹的机械纵波。,因为大气湍流、火山爆发、地震、陨石落地、雷暴、磁暴等

33、大规模自然活动中，都有次声波产生，因此，它是研究地球、海洋、大气等大规模运动的有力的工具。,人体承受次声的安全极限：150dB 声压级,特性：,频率低、波长甚长、衰减极小。,由于它具有衰减极小的特点，具有远距离传播的突出特点。已形成现代声学的一个新的分支次声学。,5.6 波的叠加,5.6.1 波的叠加原理,波的独立性原理：几列波相遇后仍保持它们原有的特性（频率、波长、振幅、传播方向）不变，互不干扰。好象在各自传播过程中没有遇到其它波一样。,波的叠加原理：在相遇区域内，介质任一点的振动为各列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和。,5.6.2 惠更斯原理,研究波的传播方向：知道某时刻波前的位

34、置，能否知道下一时刻的波前位置？,惠更斯原理：介质中任一波阵面上的各点， 都是发射子波的新波源，其后任意时刻，这些子波的包迹就是新的波阵面。,根据惠更斯原理，只要知道某一时刻的波阵面，就可以确定下一时刻的波阵面。,波在传播过程中，遇到障碍物时其传播方向发生改变，绕过障碍物的边缘继续传播的现象。,惠更斯原理可解释波的衍射、反射和折射等现象。,波达到狭缝处，缝上各点都可看 作子波源，作出子波包络，得到新的 波前。在缝的边缘处，波的传播方向发生改变。,当狭缝宽度与波长相近时，衍射效果显著。,衍射现象是波动特征之一。,水波通过狭缝后的衍射图象。,A3,当波传播到两种介质的分界面时，一部分反射形成反射波

35、，另一部分进入介质形成折射波。,反射定律：入射线、反射线和界面的法线在同一平面上；反射角等于入射角。,折射定律：,由惠更斯原理，A、B为同一波面上的两点，A、B点会发射子波，,经t后， B点发射的子波到达界面处D点， A点的到达C点，,5.6.3 波的干涉,1.波的干涉现象,频率相同、振动方向相同、有恒定相位差的两列波（或多列波）相遇时，在介质中某些位置的点振幅始终最大，另一些位置振幅始终最小，而其它位置，振动的强弱介乎二者之间，保持不变。称这种稳定的叠加图样为干涉现象。,2.相干条件,1.两列波振动方向相同；,2.两列波频率相同；,3.两列波有稳定的相位差。,满足相干条件的波源称为相干波源。

36、,3.干涉相长相消的条件,两个频率相同的波源S1和S2，其振动方程为：,两列波传播到P点引起的振动分别为：,在P点的合振动为同方向同频率振动的合成。,()波源位置确定的情况,在P点的合振动为：,由于波的强度正比于振幅的平方，所以合振动的强度为：,结论：对空间不同的位置，都有恒定的，因而合强度在空间形成稳定的分布，即产生干涉现象。,干涉相长,干涉相消,1.当 时，,讨论：,2.当 时，,干涉相长相消条件：,干涉相长,干涉相消,干涉相长,干涉相消,为波程差,结论：初相位相同的两个相干波源，在两列波叠加的区域内，当波程差为零或波长的整数倍时，合振动的振幅最大，干涉相长；当波程差为半波长的奇数倍时合振

37、幅最小，干涉相消。,干涉相长,干涉相消,当两相干波源为同相波源时，有：,例：两相干波源分别在 P、Q 两点处，它们初相相同，振幅均为A，相距3 / 2。由P、Q两点发出频率为 ，波长为的两列相干波，如图所示，R为PQ连线上的一点。求：（1）自P、Q 发出的两列波在 R 处的相位差。（2）两波源在 R 处干涉时的合振幅情况。,解：设R到Q点的距离为x，则R到P的距离为(3/2+x),为 的奇数倍，,合振幅最小，,例： 位于A、B两点的两个波源，振幅相等，频率都是100赫兹，相差为。A、B 相距30米，波速为400米/秒，求: AB连线之间因相干涉而静止的各点的位置。,解：如图所示，取A点为坐标原

38、点，A、B联线为x轴，,干涉相消的点需满足：,同理可知：在A、B两点是干涉相长位置。,总结：在波源确定的情况下，求干涉相长、相消的位置，关键是确定出两波源到相遇点的距离r1、r2，进而求出，再根据干涉相长、相消的条件求出干涉相长、相消的位置。,()波源位置不确定的情况,此时可以根据波函数写出两相干波在相遇点的振动方程，此时在相遇点的合振动仍为同方向同频率简谐振动的合成。处理方法同上。,例：两列相干波在一根很长的弦线上传播,其波函数分别为: （SI）求两列波干涉极小的位置x。,解： 两列波在相遇点x处引起的振动分别为：,依题意：,两列波干涉极小的位置x为 ：,同理：两列波干涉极大的位置x为 ：,

39、5.6.4 驻波,1.驻波的产生,两列相干波，它们不仅频率相同、相位差恒定、振动方向相同，而且振幅也相等。当它们在同一直线上沿相反方向传播时，在它们叠加的区域内就会形成一种特殊的波。这种波称为驻波。,当一列波遇到障碍时产生的反射波与入射波叠加可产生驻波。,驻波的特点：媒质中各质点都作稳定的振动。波形并没有传播。,2.驻波的表达式,设有两列相干波，分别沿x轴正、负方向传播。选初相位均为零的表达式为：,其合成波称为驻波表达式：,简谐振动的时间项,简谐振动的振幅项,结论：各点都在作简谐振动，各点振动的频率相同，是原来波的频率。但各点振幅随位置的不同而不同。,注意：,驻波表达式：,此时驻波表达式为：,

40、若,1.振幅项 只与位置有关，而与时间无关。,讨论：,波腹的位置：,波节的位置：,相邻波腹间的距离为：,相邻波节间的距离为：,相邻波腹与波节间的距离为,可通过测量波腹或波节间的距离来确定波长。,相邻的两个波节和波腹之间的距离都是,结论：,时间部分提供的相位对于所有的 x是相同的，而空间变化带来的相位是不同的。,在波节两侧点的振动相位相反。同时达到反向最大或同时达到反向最小。速度方向相反。,考查波节两边的振幅，如x=/4是波节位置。,两个波节之间的点其振动相位相同。 同时达到最大或同时达到最小。速度方向相同。,结论：,在 范围内，,3.驻波的相位,在 范围内，,各质点位移达到最大时,动能为零，势能不为零。在波节处相对形变最大，势能最大；在波腹处相对形变最小，势能最小。势能集中在波节。,能量从波腹传到波节，又从波节传到波腹，往复循环，能量不被传播。这可从能流密度证明：因为能流密度等于平均能量密度乘波速，左行波与右行波能流密度之和为零。,结论：驻波不传播能量，它是媒质的一种特殊的运动状态，稳定态。,4.驻波的能量,当各质点回到平衡位置时，全部势能为零；动能最大。动能集中在波腹。,5.半波损失,入射波在反射时反射波相位突变了，相当于波程损失了半个波长的现象称为半波损失。,在绳与墙壁固定处，为波节位置。,反射波与入射波形成的驻波在介质分界处是波