1.4.1 《 角平分线》 （第1课时）.ppt

1、第一章 三角形的证明 4 角平分线（1）,Contents,目录,01,02,旧知回顾,学习目标,新知探究,随堂练习,课堂小结,1.能够证明角平分线的性质定理及其逆定理； 2.进一步发展自己的推理证明意识和能力，培养将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力.,定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.,这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.,如图, AC=BC, MNAB, P是MN上任意一点(已知), PA=PB (线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等).,逆定理: 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.,几何语言描述： 如图, PA=PB

2、(已知), 点P在AB的垂直平分线上 (到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上),这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.,A,B,P,那么结合我们前面学习的有关线段垂直平分线的定理及证明方法，你还记得角平分线上的点有什么性质吗?,你能利用折纸的方法得到角平分线及角平分线上的点的性质吗?,你还记得角平分线上的点有什么性质吗?,角平分线上的点到这个角的两边距离相等.,你能证明这一结论吗? 结合我们前面学习的定理的证明方法，你能写出这个性质的证明过程吗？,已知: 如图,OC是AOB的平分线,P是OC上任意一点, PDOA,PEOB,垂足分别是D,E. 求证

3、: PD=PE.,分析: 要证明PD=PE,只要证明它们所在OPDOPE,而OPDOPE的条件由已知易知它满足公理(AAS).,故结论可证.,已知: 如图,OC是AOB的平分线,P是OC上任意一点, PDOA,PEOB,垂足分别是D,E. 求证:PD=PE.,证明： OC是AOB的平分线 1= 2 PDOA,PEOB PDO= PEO OP=OP OPDOPE (AAS). PD=PE,几何语言表示： 定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.,这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.,如图, OC是AOB的平分线, P是OC上任意一点, PDOA, PEOB, 垂足分别是D, E (

4、已知) PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等),你能写出“定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等”的逆命题吗?,逆命题 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.,它是真命题吗?,如果是. 请你证明它.,已知: 如图所示, PD=PE, PDOA, PEOB, 垂足分别是D,E. 求证: 点P在AOB的平分线上.,分析: 要证明点P在AOB的平分线上, 可以先作出过点P的射线OC, 然后证明POD=POE.,B,A,C,D,E,O,P,已知: 如图所示, PD=PE, PDOA, PEOB, 垂足分别是D,E. 求证: 点P在AOB的平分线上.,证明： PD

5、OA ，PEOB POD和POE都是Rt PD=PE,OP=OP RtPODRtPOE(HL) POD= POE OC是AOB的平分线 点P在AOB的平分线上,逆定理：在一个角的内部, 且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.,如图, PD=PE, PDOA, PEOB, 垂足分别是D, E(已知), 点P在AOB的平分线上. (在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).,这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.,例1 如图，在ABC中，BAC=60，点D在BC上，AD=10，DEAB，DFAC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.,解

6、： DE AB，DF AC，垂足分别为E，F且DE=DF AD平分BAC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上） 又 BAC=60 BAD=30 在Rt ADE中， AED=90，AD=10 DE= AD/2=10/2=5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半）,1. 如图,求作一点P, 使PC=PD, 并且点P到AOB的两边的距离相等.,2. 已知: 如图, 在ABC中, A D是它的角平分线且BD=CD, DEAB, DFAC, 垂足分别是E,F. 求证: EB=FC.,证明: AD是ABC的角平分线 且DEAB,DFAC DE=DF BD=CD RtBDERtCDF (HL) EB=EC,1.角平分线的性质定理 定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.,这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.,如图, OC是AOB的平分线, P是OC上任意一点, PDOA, PEOB, 垂足分别是D, E (已知) PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等),2.角平分线的判定定理 定理：在一个角的内部, 且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.,如图, PD=PE, PDOA, PEOB, 垂足