知识点裂项相消法

1、第三部分,知识点的复习示例,数,列,求,和,裂项相消法,注重实用理性，缺乏终极思考,.,高中数学是由若干个分支构成，每个分支,都自成体系，具有鲜明的特点,.,每个分支又由,许多个知识点组成,.,高考命题经常在这些知识,点处进行，为此我们必须对重要的知识点进行,强化处理，提高学生解决相关问题的能力,.,裂项相消法,把数列的每一项拆分成两项之差，利用正,负抵消，达到简化和式的目的，通俗地讲就是,化简的一种技巧,.,1,1,2,3,1,1,1,2,.,1,n,n,n,n,n,n,a,a,n,n,n,n,b,b,n,n,a,a,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,L,引例：在数列,中，,，又,

2、，求数列,的前,项和,1,(1),2,2,8,1,1,8(,),(,1),1,n,n,n,n,n,a,b,a,a,n,n,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,分析：,研究通项公式：,为什么会有这个式子？怎样得到的？,1,2,3,(2),1,1,1,1,1,1,1,8(1,),(,),(,),(,),2,2,3,3,4,1,1,8,8(1,),.,1,1,n,n,S,b,b,b,b,n,n,n,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,L,L,求和：,(1),点评：,不解决问题的讲解，只能让学生了,解裂项相消法的解题步骤，死记硬背解题模式，,成为

3、题型教学，达不到一轮复习的目的,.,一轮复,习的效果就是看是否触摸到事物,的本质,.,8,(2),(,1),8,8(,1),n,b,n,n,n,n,?,?,?,?,?,事实上，在研究,时，视分母为,两个因式的积，寻找它们的差与分子的倍数,关系，即,，,逆用分数减法运算,得到，即,8,8(,1),1,8,(,1),(,1),(,1),(,1),1,1,8(,).,1,n,n,n,n,n,b,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,抵消后，被减数和减数,各剩一项，具有对称性,.,3,(,1),=1,1,n,n,n,?,?,（,）由于,，这个常

4、数,与,无关，故,分母的两个因式可以是等差数列中的两项,.,高三数学一轮复习，必须让学生认识问,题的本质，让学生有观察问题的视角、有解,决问题的思维方法和运算,的路径,.,.,对知识点的突破要分层处理，层层递,进，逐步落实，根据学生的基础和能力情,况，灵活掌握，切忌一刀切，,一步到位,第一个层次：了解裂项相消法的思维过程,和解题步骤,1.,?,?,?,?,L,L,求数列,的前,n,项和,.,1,1,1,1,1,1,3,2,4,3,5,4,6,n(n,+,2),首先：让学生把这个数列的规律体会一下，根,据规律写出通项公式；,其次：根据引例研究通项公式的方法，处理这,个通项公式，即裂项；,再次：求

5、和,.,3,2,3,4,2(,1)(,2),n,n,S,n,n,?,?,?,?,?,第一个层次：了解裂项相消法的思维过程,和解题步骤,点评：让学生比较和引例的通项公式、消项的,规律差别、相同点,.,让学生在比较中提高,.,2,2,2,2,2,2,2,2,4,1,4,2,4,3,4,2.,4,1,1,4,2,1,4,3,1,4,1,.,n,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,L,L,求数列,的前,项和,2,(,1),2,1,n,n,n,S,n,?,?,?,点评：能够解答这两题表明，学习者已对裂项,相消法有初步的了解，并不能说明学习者掌握解,法的本质,.,第二个层次：探究相同点

6、、寻求解法,2,2,2,2,3,5,7,2,1,3.,.,(1,2),(2,3),(3,4),(,1),n,n,S,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,L,求和,解法,1,：,2,2,2,1,1,1,(,),(2,1),(,1),1,n,n,a,n,n,n,n,n,?,?,?,?,?,?,?,通项,1,1,1,1,(,),(,1)(,),1,1,n,n,n,n,n,n,?,?,?,?,?,?,?,1,1,1,(1,1)(,),1,1,n,n,n,n,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,1,1,1,1,1,1,(,)(,),1,1,(,1),n,n,n,n,n,n,?,?

7、,?,?,?,?,?,?,从熟悉的部分,入手，对运算,能力要求很高,第二个层次：探究相同点、寻求解法,解法,2,：根据裂项相消法的本质进行研究,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,1,2,1,(,1),(,1),(,1),(,1),1,1,(,1),n,n,n,n,n,a,n,n,n,n,n,n,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,通项,2,1,1,(,1),n,S,n,?,?,?,“一秒钟看清本质的人和花一辈子也看不清一,件事本质的人，自然是不一样的命运”,电影教父台词,第二个层次：探究相同点、寻求解法,?,求和：,k,n,n,k+1,k,k=1,2,4.,S,=

8、,(2,-1)(2,-1),n,n+1,1,S,=,1-,2,-1,体会前四道题的共同点是什么？差异是什么？,用什么视角可以把这,4,道题的解法统一起来？会,做,3,、,4,两题表明学习者对裂项相消法的本质有,初步的理解，能主动地寻找分母中两个因式的,差与分子的倍数关系,.,这个倍数是一个与,n,无关的常数,第三个层次：能根据裂项相消法的本质特征有,意识地、有目的的进行探究，并解题成功,.,1,2,1,3,2,1,*,5.(,2016,),2,.,(,),(2,1),3,(,),(,),.,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,n,b,n,N,b,a,

9、n,T,?,?,?,?,?,?,?,?,L,L,石家庄二中,年高三毕业班模拟,已知数列,满足：,是首,项、公差均为,的等差数列,求数列,的通项公式,；,令,，求数列,的前,项和,1,2,1,3,2,1,2,(,),(,),(,),(,),1,2,(,1),2,2,n,n,n,a,a,a,a,a,a,a,a,n,n,n,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,L,第三个层次：能根据裂项相消法的本质特征有,意识地、有目的的进行探究，并解题成功,.,(,),(2,1),3,(2,1),3,(,1),n,n,n,n,n,n,b,a,n,n,?,?,?,?,?,?,?,递进思

10、维展示：,这个形式不熟悉,.,3,n,与,从结构,特点上看不匹配,.,(2n,-1),n(n,+,1),2,1,3,(,1),n,n,n,b,n,n,?,?,?,?,(2n,-1),n(n,+,1),单看这个结构,也无法处理,.,第三个层次：能根据裂项相消法的本质特征有,意识地、有目的的进行探究，并解题成功,.,1,(2,1),3,(,1),n,n,b,n,n,n,?,?,?,?,1,n(n,+1),这个结构很熟,悉,处理很容易,1,1,(,)(2,1),3,1,n,n,b,n,n,n,?,?,?,?,?,无规律，仍,需继续处理,2,1,2,1,(,),3,1,n,n,n,n,b,n,n,?,

11、?,?,?,?,?,注意到两个分,式可分离常数,1,3,(2,),(2,),3,1,n,n,b,n,n,?,?,?,?,?,?,第三个层次：能根据裂项相消法的本质特征有,意识地、有目的的进行探究，并解题成功,.,3,1,(,),3,1,n,n,b,n,n,?,?,?,?,希望出现啦！,1,3,3,1,n,n,n,b,n,n,?,?,?,?,两个式子结构完全,相同，变形结束,.,点评：没有基于核心、本质的思考，就必然,受到其制约,.,繁难的运算，令人生畏，往往导致,解,题失败,.,2,1,3,(,1),n,n,n,b,n,n,?,?,?,?,第三个层次：能根据裂项相消法的本质特征有,意识地、有目

12、的的进行探究，并解题成功,.,另解：从通项的分式结构看：能否将分子表示,为分母中两个因式的差,.,1,2,1,3,3,(,1),n,n,n,b,n,n,?,?,?,?,?,分式的基本性质,1,3,(,1),3,3,(,1),n,n,n,n,b,n,n,?,?,?,?,?,?,寻找分子与分母中两,个因式差的倍数关系,第三个层次：能根据裂项相消法的本质特征有,意识地、有目的的进行探究，并解题成功,.,1,1,1,(,),3,1,3,n,n,b,n,n,?,?,?,?,?,裂项即逆用分式减法,1,3,3,1,n,n,n,b,n,n,?,?,?,?,1,3,3,1,n,n,T,n,?,?,?,?,点评

13、：裂项相消法能够实施的条件是项与项,之间的“轮转”，,即前一项的减数与后一项被,减数相同,.,第三个层次：能根据裂项相消法的本质特征有,意识地、有目的的进行探究，并解题成功,.,*,1,1.,(,),1,(,),(,),.,n,n,n,n,n,n,n,n,n,a,a,a,n,S,n,b,n,N,b,S,S,n,T,?,?,?,?,变式：已知数列数列,的首项、公差都是,求数列,的通项公式,及前,项和,；,令,，求数列,的前,项和,(,1),(1),;,2,n,n,n,n,a,n,S,?,?,?,答案：,2,(2)T,2,.,(,1)(,2),n,n,n,?,?,?,?,第四个层次：构造裂项相消法

14、，严守程式与灵,活运用相结合，体会其本质是两项取值的轮转,.,2,2,2,*,1,1,1,2,2,6.,(,3),3(,),0(,).,(1),(2),(3),1,1,1,1,(,1),(,1),(,1),3,n,n,n,n,n,n,n,a,n,S,S,n,n,S,n,n,n,N,a,a,n,a,a,a,a,a,a,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,L,例,设各项都为正数的数列,的前,项和为,且,求,的值；,求,；,证明：对一切正整数,，,有,*,1,(1),2,(2),2,(,).,n,a,a,n,n,N,?,?,?,解：易求,；,第四个层次：构造裂项相消法，严守程式与

15、灵,活运用相结合，体会其本质是两项取值的轮转,.,1,1,(3),(,1),2,(2,1),1,1,2,2,1,n,n,n,b,a,a,n,n,n,n,?,?,?,?,?,?,?,研究通项公式,1,1,2,2,1,1,1,(,1),(,1),(,1),1,1,1,1,1,1,1,1,(,),(,),(,),(,),2,3,4,5,6,7,2,2,1,n,n,a,a,a,a,a,a,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,L,L,于是得,上式没有出现正负相抵的情形，解,题失败,.,高三的数学复习不可能是,一帆风顺，我们的学习也必将在解,决问题中前行，只是我们如何对

16、待,失败，使失败成为我们成功的基石,.,第四个层次：构造裂项相消法，严守程式与灵,活运用相结合，体会其本质是两项取值的轮转,.,为什么没有出现正负相抵的情形呢？,2n,是偶数，,2n+1,是奇数，怎样解决问题呢？,看问题定方向：为什么题目不求和，而证明一,个不等式呢？,这个和式不可求和！可将通项适当放大，并,使分母中两个因式有相同的奇偶性，,便于求和,.,1,1,1,1,1,(,),2,(2,1),(2,1)(2,1),2,2,1,2,1,n,b,n,n,n,n,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,第四个层次：构造裂项相消法，严守程式与灵,活运用相结合，体会其本质是两项取值的轮转,.,

17、1,2,3,1,1,1,1,1,1,1,1,(1,),(,),(,),(,),2,3,3,5,5,7,2,1,2,1,1,1,1,(1,),2,2,1,2,n,n,T,b,b,b,b,n,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,L,L,又失败了！但是好在是能化简和式了，,这就是成功的地方，问题在于如何提高计算的,精确度，变失败为成功,.,第四个层次：构造裂项相消法，严守程式与灵,活运用相结合，体会其本质是两项取值的轮转,.,向学生展示探索求解的过程，是培养学,生理性思维和创新能力的组成部分，也是培,养学生个性品质的有效手段,.,提高精确度的方法之

18、一就是选择部分项放大,.,当,n=1,时，,；不等式成立,.,1,1,1,6,3,T,?,?,当,n2,时，,第四个层次：构造裂项相消法，严守程式与灵,活运用相结合，体会其本质是两项取值的轮转,.,1,2,3,1,1,1,1,1,1,1,1,(,),(,),(,),6,2,3,5,5,7,2,1,2,1,1,1,1,1,1,(,),6,2,3,2,1,3,n,b,b,b,b,n,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,L,L,综上所述：对于任意的,，都有,*,n,N,?,1,1,2,2,1,1,1,1,(,1),(,1),(,1),3,n,n,a,a

19、,a,a,a,a,?,?,?,?,?,?,?,L,数学学习就是要让学生体会到思考,的快乐，真正做到：尽享宁静与思考之,乐，随时倾听来自内心深处的呼唤！,第四个层次：构造裂项相消法，严守程式与灵,活运用相结合，体会其本质是两项取值的轮转,.,点评：该解法应用了三个思想,:,放大；,裂项,(,使分母的两个因式都变为奇数,),；提高,算式的精确度（部分项放大，另一部分不变）,.,问题：能否只进行一次放大就解决问题呢？,首先改造通项公式：,1,1,1,1,2,(2,1),4,(,),2,n,b,n,n,n,n,?,?,?,?,?,第四个层次：构造裂项相消法，严守程式与灵,活运用相结合，体会其本质是两项

20、取值的轮转,.,1,4,3,3,目标：由于结果是,，因此首项中要出现,，,还要满足分母的两个因式具有,“,后继,性,”,，以保证裂项后取值的,“,轮转,”,.,1,2,1,1,1,1,1,1,2,(2,1),4,4,(,)(,),(,),2,n,b,n,n,n,x,n,x,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,令,1,2,1,2,x,x,?,?,一方面：,第四个层次：构造裂项相消法，严守程式与灵,活运用相结合，体会其本质是两项取值的轮转,.,1,2,1,2,2,1,1,1,n,x,n,x,k,x,k,x,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,另一方面：,与,应具有,“,后继性,”,即,，即,1,2,1,3,4,4,x,x,?,?,?,解得,1,1,1,1,1,1,1,3,2,(2,1),4,4,(,),(,)(,),2,4,4,1,1,1,(,),1,3,4,4,4,n,b,n,n,n,n,n,n,n,n,?,?,?