完整版圆与方程知识点总结典型例题

1、 湖州市弘大培训学校 圆与方程 222),bC(a. 以点为圆心，为半径的圆的标准方程是1. 圆的标准方程：r(x?ba)(yr222. 特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：r?x?yr 点与圆的位置关系：2. r：设点到圆心的距离为 (1). d，圆半径为 r d c.rd； b.点在圆上 d=r；点在圆外 a.点在圆内 222. 给定点 (2). 及圆rb)?)(C:x?ay?(?)M(xy,00222 在圆 内rby?)?a(?x?)(?CM00222上 在圆?)?)x（?ay?(brCM00222 外在圆r?)?)?x?(ay?(bCM00 （3）涉及最值：PBPB 的最值圆外一

2、点 ，圆上一动点，讨论 r?BNBCPB? minrPB?BMBC max PAPA的最值，圆上一动点 ，讨论 圆内一点 PA?AN?r?AC minPA?AM?r?AC max ACA） 点作最短的弦？（此弦垂直思考：过此 22?Dx?Ey?Fx?y?0 . 圆的一般方程：3. 22?4FED?ED?220F?ED?4. 方程表示一个圆，(1) 当，其中圆心半径时，?r?C,?222? 1 湖州市弘大培训学校ED?22. 当时，方程表示一个点(2) ?,0F?D4?E? 22?220F?E?D4. (3) 当时，方程不表示任何图形22且且要条件是注：方程：示表圆的充0?Ey?AxF?Bxy?

3、Cy?Dx0?B0A?C?. 220?4AFD?E 直线与圆的位置关系：4. 222r?bx?a)?(y?(0C?Ax?By? 直线与圆C?Aa?Bb 圆心到直线的距离?d22BA? ；1）无交点?直线与圆相离d?r ；2）只有一个交点?直线与圆相切d?r22dr?= 23）；弦长|AB|有两个交点?d?r?直线与圆相交 rd=rrdd Ax?By?C?0?求解，通过解还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组?220F?y?Dx?Ey?x? 的个数来判断：0? ）当（12个交点，直线与圆相交；时，直线与圆有0? 个交点，直线与圆相切；12）当时，直线与圆只有（0? 3）当时，直线与圆没有交点，直

4、线与圆相离；（ 两圆的位置关系5. 222222r)?ba:C)(a:C(x?)?y?b?r(x?)(y? 与圆，1（）设两圆2211221122)b?)?(b?d?(aa 圆心距 2211 ； 条公切线4?dr?r?外离21 ；条公切线?3外切?r?dr?21 ； 条公切线?r?r?rdr相交2?2211 2 湖州市弘大培训学校； 条公切线1?d?r内切?r?21 ； 无公切线内含?rd?r?0?21 外离 外切 相交 内切 （2）两圆公共弦所在直线方程 22Cx?y?Dx?Ey?F?0，：圆 111122Cx?y?Dx?Ey?F?0， ：圆2222?F?0?FE?E?yD?Dx为两相交圆公

5、共弦方程. 则211221补充说明： CC相切，则表示其中一条公切线方程；与 若 21CC相离，则表示连心线的中垂线方程与 若. 21 （3）圆系问题 2222CCx?y?Dx?Ey?xD?Ey?F?0F?0x?y?交点的圆系过两圆：和22111221?2222?1?0?Dx?Eyx?yx?D?Ey?FFx?y? （方程为）221121 补充：C 上述圆系不包括；2?1? 时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）当 2220?F?x?yDx?Ey0?C?Ax?By为方圆与程交点直 过线的圆系?22?C0Ax?ByxEy?y?Dx?F? 6. 过一点作圆的切线的方程： (1) 过圆外一点的切线：

6、k不存在，验证是否成立 =半径，即 k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离 3 湖州市弘大培训学校)?k(x?xy?y?0101?)?xk(a?b?y ?11?R?21?R? 求解k，得到切线方程【一定两解】22=yx+ 。2)P(1，2)点作圆(41)的切线，则切线方程为(1. 例 经过点 222y=rx，xa+yb ，圆上一点为(2) 过圆上一点的切线方程：圆()，002= rbxa+ybyxa ()()(则过此点的切线方程为002222. 的切线方程为特别地，过圆上一点r?yxx?yx?r?y),yP(x000022=x+y+ 的切线，4，8)点作圆(7)则切线方程为( 8)。9P(例

7、2.经过点 7切点弦222),yP(xr(y?b)?a(x?)?B、ACC，作外一点(1)过：切点分别为的两条切线，002r?yb)(?b)x(?a)(x?a?(y?AB 则切点弦所在直线方程为：00 切线长：8. 222ybrPxxay 长为,)的)(切?)=一，则过圆外点线为圆若的方程(?00222d =r?y?a(x?)b)+(00 圆心的三个重要几何性质：9. 圆心在过切点且与切线垂直的直线上； 圆心在某一条弦的中垂线上； 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。 两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法10. 2222 yyyxxx =0：C和圆，试判断圆和位置关系， +

8、+42：C.例已知圆 + =021 的方程及公共弦长。ABBA若相交，则设其交点为、，试求出它们的公共弦 4 湖州市弘大培训学校 一、求圆的方程0?4y?5(2,?1)3x?) ( 为圆心且与直线 例1 (06重庆卷文) 以点相切的圆的方程为22223)?3(x?x(?2)2)?(y?11?(y?) (B) (A) 22229(9x?2)?(y?12(x?)?(y?1)? (C)(D) 二、位置关系问题220xay?y?2a)0(x?y?1a?的取值范直线与圆没有公共点，则例2 (06安徽卷文) ) 围是( )2?,21)?1(2?1,(0 (B) (A) )10,2?(21,2?1)?( (

9、C)(D) 三、切线问题5220?y?y?4x?x2) ( 相切的直线方程为过坐标原点且与圆例3 (06重庆卷理) 211?xyyx?xy?3y?3x或或 (A) (B) 3311xy?x?yx?3?3xyy? 或或 (C) (D) 33 四、弦长问题224?2)?(x?1)(?y0?ax?y?3B、A两点，且相交于设直线例4 (06天津卷理) 与圆32?aAB. 弦 的长为 ，则 五、夹角问题220?1?x?y2?yx?2)3,2P(向这个圆作两条切线，则两外一点) 从圆全国卷一文例5 (06) 切线夹角的余弦值为( 331(D) 0 (C) (A) (B) 252 六、圆心角问题22?y)

10、x?24?()2(1,l分成两段弧，当劣弧所对的圆心 全国卷二例6 (06)过点将圆的直线?kl 的斜率角最小时，直线 . 5 湖州市弘大培训学校 七、最值问题220?10?4x?4xy?y14?y?x0?的最大距离与上的点到直线 例7 (06湖南卷文) 圆) 最小距离的差是 ( 2256 (D)(C) (A) 30 (B) 18 八、综合问题220?10?4xx?4y?y上至少有三个不同的点到直线例8 (06湖南卷理) 若圆220byl?:ax?l_ 取值范围的距离为的斜率k，则直线 圆的方程4222 的取值范围是）表示圆方程，则t+9=0（t（14tR）y+161.方程xt+y（2t+3）

11、x+21112 tD.11 B.1tC.A.1tt 72772截圆所得弦长为=xy=0上，且直线y，求此圆的方程. 2. 一圆与y轴相切，圆心在直线x3 22224F0）表示的曲线关于x+y=0成轴对称图形，则（ ）yDxEyF0（D E3.方程xA.D+E=0B. B.D+F=0 C.E+F=0 D. D+E+F=0 4.（2004年全国，8）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有（ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 22+x6y+3=0上两点P、Q关于直线5. kxy+4=0y年黄冈市调研题）圆（2005x+对称，则k=_. 22距离的最小

12、的4到直线xP）设为圆上的动点，则点+y=1P3xy10=01620046.（年全国卷，_. 值为y22的最大值和最小值；求（xy满足方程、已知实数7.xyx+4+1=0.1（2）y）x的最小值； x22. 的最大值和最小值y+）3（x 6 湖州市弘大培训学校 经过两已知圆的交点的圆系22220?y6?4yx?4x?6?0yx?3的交点且圆心的横坐标为1例 求经过两已知圆：和 的圆的方程。 设圆方程为： 例222?0?16440)y?48y?(2x?4)?(12?(?4)x?(?4)?4 其中 ? 求证： 不论为何值，所给圆必经过两个定点。 直线与圆的位置关系 224?y?x 的圆的切线方程；1例：求由下列条件所决定圆),1(P3)Q(3,01? (1)，(2)，经过点 经过点(3)斜率为 7 湖州市弘大培训学校 直线和圆 1自点（3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其