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1、8.4 函数的幂级数展开,一、泰勒公式 二、泰勒级数 三、函数展开成幂级数,8.4 函数的幂级数展开,一、泰勒公式,对于一些较复杂的函数，为了便于计算或研究，我们常常将它们简化，用一些简单的函数来近似表达多项式函数是最简单的函数形式，它只是对自变量进行有限次的加、减、乘三种算术运算，便能求出它的函数值因此，用多项式来近似表达函数是一种很好的思想，这种近似表达在数学上称为逼近,用怎样的多项式去逼近给定的函数,误差又如何呢,问题,拉格朗日型余项,8.4 函数的幂级数展开,8.4 函数的幂级数展开,当 n = 0 时, 泰勒公式变为,拉格朗日中值公式,8.4 函数的幂级数展开,即,称为麦克劳林（ M

2、aclaurin ）公式,则有,在泰勒公式中若取,由此得近似公式,解,代入公式,得,8.4 函数的幂级数展开,由公式可知,估计误差,其误差,8.4 函数的幂级数展开,当,时，可算出,解,例2,因为,所以,8.4 函数的幂级数展开,误差为,8.4 函数的幂级数展开,泰勒多项式逼近,8.4 函数的幂级数展开,8.4 函数的幂级数展开,类似可得,8.4 函数的幂级数展开,二、泰勒级数,问题,若存在这样的幂级数，称函数,可以展成幂级数,8.4 函数的幂级数展开,8.4 函数的幂级数展开,8.4 函数的幂级数展开,三、函数展开成幂级数,1.直接法(泰勒级数法,步骤,如,则级数在收敛区间内收敛于f (x,

3、例3,解,其收敛半径,因泰勒公式的余项,介于0, x之间,它满足不等式,R =,8.4 函数的幂级数展开,对任一确定的,是处处收敛的幂级数 的一般项,是确定的数,而,所以在 上恒有,有展开公式,于是,8.4 函数的幂级数展开,8.4 函数的幂级数展开,例4,解,其收敛半径,对 内任一点x,有,R =,8.4 函数的幂级数展开,于是,有展开公式,8.4 函数的幂级数展开,8.4 函数的幂级数展开,2.间接法,利用已知函数的展开式，通过线性运算法则、变量代换、恒等变形、逐项求导或逐项积分等方法间接地求得幂级数的展开式的方法,例5,展开为x的幂级数,解,8.4 函数的幂级数展开,例6,将 展开为x的幂级数,解,而,利用间接展开法时,要注意区间端点的收敛性,熟记下面函数的展开式,8.4 函数的幂级数展开,8.4 函数的幂级数展开,内容小结,2. 泰勒级数收敛于函数的充分必要条件,4. 函数展开成泰勒级数的方法,3. 函数幂级数展开的唯一性,1. 泰勒公式,8.4 函数的幂级数展开,思考

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