浙江省绍兴市诸暨市2019学年高二数学下学期期末考试试题【含解析】

1、诸暨市20182019学年高二下学期期末考试数学试卷选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，则等于（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用补集与交集的运算法则求解即可【详解】解：集合，由全集，故选：B【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础知识的考查2.已知是虚数单位，则计算的结果是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据虚数单位的运算性质，直接利用复数代数形式的除法运算化简求值【详解】解：，故选：A【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复

2、数的基本概念，是基础题3.椭圆的焦点坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】从椭圆方程确定焦点所在坐标轴，然后根据求的值.【详解】由椭圆方程得：，所以，又椭圆的焦点在上，所以焦点坐标是.【点睛】求椭圆的焦点坐标时，要先确定椭圆是轴型还是轴型，防止坐标写错.4.函数的导函数是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据导数的公式即可得到结论【详解】解：由，得故选：D【点睛】本题考查了导数的基本运算，属基础题5.设是实数，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】求解不等式，根据充

3、分条件和必要条件的定义分别进行判断即可【详解】解：设是实数，若“”则：，即：，不能推出“”若：“”则：，即：，能推出“”由充要条件的定义可知：是实数，则“”是“”的必要不充分条件；故选：B【点睛】本题考查了充分条件和必要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6.用数学归纳法证明：“”，由到时，等式左边需要添加的项是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】写出时，左边最后一项，时，左边最后一项，由此即可得到结论【详解】解：时，左边最后一项为，时，左边最后一项为，从到，等式左边需要添加的项为一项为故选：D【点睛】本题考查数学归纳法的概念，考查学生分析解决问题的能力，属于基础

4、题7.将函数的图形向左平移个单位后得到的图像关于轴对称，则正数的最小正值是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意利用函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，得出结论【详解】解：将函数的图形向左平移个单位后，可得函数的图象，再根据得到的图象关于轴对称，可得，即，令，可得正数的最小值是，故选：D【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题8.某几何体的三视图如图所示，当时，这个几何体的体积为（）A. 1B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】三视图复原几何体是长方体的一个角，设出棱长，利用勾股定理，基本不等式，求出最大值【详解】解：如图所

5、示，可知设，则，消去得，所以，当且仅当时等号成立，此时，所以故选：B【点睛】本题考查三视图求体积，考查基本不等式求最值，是中档题9.已知，是单位向量，且，向量与，共面，则数量积=（ ）A. 定值1B. 定值1C. 最大值1，最小值1D. 最大值0，最小值1【答案】A【解析】【分析】由题意可设，再表示向量的模长与数量积，【详解】由题意设，则向量，且，所以，所以，又，所以数量积，故选：A【点睛】本题考查平面向量基本定理以及模长问题，用解析法，设出向量的坐标，用坐标运算会更加方便。10.已知三棱锥的底面是等边三角形，点在平面上的射影在内（不包括边界），.记，与底面所成角为，；二面角，的平面角为，则，

6、之间的大小关系等确定的是（）A. B. C. 是最小角，是最大角D. 只能确定，【答案】C【解析】【分析】过作PO平面ABC，垂足为，过作ODAB，交AB于D，过作OEBC，交BC于E，过作OFAC，交AC于F，推导出OAOBOC，ABBCAC，ODOFOE，且OEOB，OFOA，由此得到结论【详解】解：如图，过作PO平面ABC，垂足为，过作ODAB，交AB于D，过作OEBC，交BC于E，过作OFAC，交AC于F，连结OA，OB，OC，PD，PE，PF，ABC为正三角形，PAPBPC，二面角PBCA，二面角PACB的大小分别为，PA，PB与底面所成角为，PAO，PBO，PEO，PFO，OAOB

7、OC，ABBCAC，在直角三角形OAF中，在直角三角形OBE中，OAOB，OAFOBE，则OFOE，同理可得ODOF，ODOFOE，且OEOB，OFOA，可得是最小角，是最大角，故选：C【点睛】本题考查线面角、二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11._；_.【答案】 (1). (2). 3【解析】【分析】利用分数指数幂与对数的运算规则进行计算即可。【详解】，故答案为：(1). (2). 3【点睛】本题考查分数指数幂与对数的运算规则，是基础

8、题。12.双曲线的离心率_；焦点到渐近线的距离_.【答案】 (1). (2). 1【解析】【分析】由双曲线得，再求出，根据公式进行计算就可得出题目所求。【详解】由双曲线得， 一个焦点坐标为，离心率，又其中一条渐近线方程为：，即，焦点到渐近线的距离故答案为：(1). (2). 1【点睛】本题考查双曲线的相关性质的计算，是基础题。13.若，满足不等式，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【详解】解：由，满足不等式作出可行域如图，令，目标函数经过A点时取的最小值，联立，解得时得

9、最小值，目标函数经过B点时取的最大值，联立，解得，此时取得最大值，所以，z2xy的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题14.若，则_；_【答案】 (1). (2). ，【解析】【分析】用两角和的正弦公式将展开，即可求出，再结合同角三角函数的基本关系及倍角公式，可求出。【详解】，又故答案为：(1). (2). ，【点睛】本题考查三角恒等变形及同角三角函数的基本关系，是基础题。15.函数（其中是自然对数的底数）的极值点是_；极大值_.【答案】 (1). 1或2 (2). 【解析】【分析】对求导，令，解得零点，验证各区间的单调性，得出极大值和极小

10、值【详解】解：由已知得，令，可得或，当时，即函数在上单调递增；当时，即函数在区间上单调递减；当时，即函数在区间上单调递增故的极值点为或，且极大值为故答案为：(1). 1或2 (2). 【点睛】本题考查了利用导函数求函数极值问题，是基础题16.已知，则的最小值为_.【答案】3【解析】【分析】，利用基本不等式求解即可【详解】解：，当且仅当，即时取等号。故答案为：3【点睛】本题考查了基本不等式的应用，关键要变形凑出积为定值的形式，属基础题17.设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意的，都有，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由，得，分段求解析式，结合图象可得m的取值范围【详解】解：，时，

11、时，；时，；时，；当时，由，解得或，若对任意，都有，则。故答案为：。【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思想方法，属中档题三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知函数的最小正周期为.（1）当时，求函数的值域；（2）已知的内角，对应的边分别为，若，且，求的面积.【答案】（）（）【解析】【分析】（1）利用周期公式求出，求出相位的范围，利用正弦函数的值域求解函数f（x）的值域；（2）求出A，利用余弦定理求出bc，然后求解三角形的面积【详解】解：（1）的最小正周期是，得，当时，所以，此时的值域为（2）

12、因为，所以，的面积【点睛】本题考查三角函数的性质以及三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力19.如图，在三棱锥中，在底面上的射影在上，于.（1）求证：平行平面，平面平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）证明EFBC，从而BC平面DEF，结合ABDF，ABDE，推出AB平面DEF，即可证明平面DAB平面DEF（2）在DEF中过E作DF的垂线，垂足H，说明EBH即所求线面角，通过求解三角形推出结果【详解】解：（1）证明：因为，所以，分别是，的中点所以，从而平面又，所以平面从而平面平面（2）在中过作的垂线，垂足由（1）知平面，即所求线面角由

13、是中点，得设，则，因为，则，所以所求线面角的正弦值为【点睛】本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题。20.已知数列满足，且.（1）设，求证数列是等比数列；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）由已知数列递推式可得，又，得，从而可得数列是等比数列；（2）由（1）求得数列的通项公式，得到数列的通项公式，进一步得到，然后分类分组求数列的前项和【详解】（1）由已知得代入得又，所以数列是等比数列（2）由（1）得，因为，且时，所以当时，当时，.所以【点睛】本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了数列

14、的分组求和，属中档题21.已知是抛物线焦点，点是抛物线上一点，且.（1）求，的值；（2）过点作两条互相垂直的直线，与抛物线的另一交点分别是，.若直线的斜率为，求的方程；若的面积为12，求的斜率.【答案】（1），（2）或【解析】分析】（1）直接利用抛物线方程，结合定义求p的值；然后求解t；（2）直线AB的斜率为，设出方程，A、B坐标，与抛物线联立，然后求AB的方程；求出三角形的面积的表达式，结合ABC的面积为12，求出m，然后求AB的斜率【详解】解：（1）由抛物线定义得，（2）设方程为，与抛物线方程联立得由韦达定理得：，即类似可得直线的斜率为，或，当时，方程为，此时直线方程是。同理，当时，直线的方程也是，综上所述：直线的方程是或或【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系，考查计算能力.22.已知函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）当时，恒成立，求的值；（3）确定的所有可能取值，使得对任意的，恒成立.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）求出导函数，通过当时，当时，判断函数的单调性即可（2）由（1）及知所以，令，利用导数求出极值点，