山西省2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理【含解析】

1、山西省2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 理（含解析）（本试卷考试时间120分钟，满分150分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】否定命题的结论，同时把存在量词改为全称量词【详解】命题“，”的否定是“，”故选：C【点睛】本题考查命题的否定，命题的否定除结论否定外，存在量词与全称量词需互换2.设直线的方向向量为，平面的法向量为，则使成立的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】验证哪个选项中直线的方向

2、向量与平面的法向量平行，则直线与平面垂直【详解】计算，A,C,D中都是=0，只有B中且，即，故选：B【点睛】本题考查用向量法判断直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量平行时，直线与平面垂直，直线的方向向量与平面的法向量垂直时，如果直线不在平面内，则直线与平面平行3.已知直线过点，且在轴上的截距为，则直线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】截距为3，说明直线过点(0,3)，由此求得直线斜率，由斜截式写出直线方程并整理为一般式【详解】由题意，直线l过点(0,3)，其斜率为，直线方程为y=-2x+3，即2x+y-3=0，故选：B.【点睛】本题考查直线方程，求直线方程可

3、先求出直线斜率，然后由斜截式或点斜式写出直线方程，再化为一般式4.刘徽注九章商功曰:“当今大司农斛圆径一尺三寸五分五厘，深一尺，积一千四百四十一寸十分之三.王莽铜斛于今尺为深九寸五分五厘，径一尺三寸六分八厘七毫.以徽术计之，于今斛为容九斗七升四合有奇.”其中的“斛、斗、升”都是中国古代量器名，也是容量单位，并且形状各异，常见的斗叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台）,如果一个方斗的三视图如图所示，则其容积为（ ）正视图侧视图俯视图A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由三视图观察尺寸，由棱台体积公式计算体积【详解】由三视图，棱台体积为故选：

4、C.【点睛】本题考查棱台的体积，掌握台体体积公式是解题基础5.抛物线准线经过双曲线的左焦点，则抛物线的焦点坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出双曲线的左焦点坐标，从而求得抛物线的参数p，得抛物线焦点坐标【详解】双曲线中，双曲线的左焦点为，右焦点就是抛物线的焦点故选：A【点睛】本题考查求抛物线的焦点坐标，考查双曲线的几何性质属于基础题6.设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先求出两直线平行时的a值，然后再根据充分必要条件的概念判断【详解】直线与直线平行，则

5、，时，两直线方程分别为，平行，时，两直线方程分别为，平行，直线与直线平行的充要条件是，则“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件故选：A.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，判断充分必要条件一种是证明两个命题的真假，一种是求出命题成立的参数范围，利用集合的包含关系判断充分必要条件7.设，是两条不同的直线，、是三个不同的平面，下面四个命题中正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】根据面面垂直的性质判断A，B，由线面平行的性质判断C，由面面平行的性质判断D【详解】若，与也可以垂直，如正方体有公共点的三个面，A错；若，但不与的交线垂直时，不与垂直，还可

6、以平行，B错；若， m与n可能异面，可能平行，C错；若，则，这是面面平行的性质定理，D正确故选：D.【点睛】本题考查空间线面间的位置关系，掌握面面垂直的性质定理，线面平行的性质定理，面面平行的性质定理是解题基础8.正方体中，异面直线和所成角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由可得异面直线所成的角，在三角形中求解即可【详解】正方体中，是异面直线和所成的角，而是正三角形，异面直线和所成的角是故选：C.【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题时需先作出这个角（必须证明），然后解三角形得结论9.若圆：关于直线对称，则与间的距离是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分

7、析】由圆心在直线l上求得m，然后由平行间距离公式求得距离【详解】由题意，圆关于直线对称，则，即l方程为，所求距离为故选：D.【点睛】本题考查两平行线间的距离，解题时需由圆关于直线对称，即直线过圆心求出参数m，再则平行间距离公式计算10.九章算术中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑.在鳌臑中，平面，鳌臑的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】四个面都是直角三角形，由得，然后证明，这样PC中点O，就是外接球球心，易求得其半径，得面积【详解】四棱锥的四个面都是直角三角形，又平面，A

8、B是PB在平面ABC上的射影，取PC中点O，则O是外接球球心由得，又，则，所以球表面积为故选：C【点睛】本题考查求球的表面积，解题关键是寻找外接球的球心：三棱锥的外接球的球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线上11.已知椭圆：的左顶点为，上顶点为，右焦点为，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】表示出各点坐标，由得出的等式，变形后可求离心率【详解】由题意，则，（舍去）故选：D【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到一个关于的等量关系本题中由已知可得12.已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过左焦点引渐近线的垂线，垂足为，的面积是，则双曲线的方程为（

9、）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】离心率为可得，与渐近线垂直，则有，从而，由的面积是，可得，这样可求得，得双曲线方程【详解】如图，渐近线方程是，即，由于且，所以，所以，又，即，双曲线方程为：故选：B.【点睛】本题考查双曲线的标准方程，按照题意列出关于的两个等量关系即可求题中如果掌握双曲线的性质，求解更加方便：双曲线的焦点到渐近线的距离为.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.以为圆心，且与圆外切的圆的标准方程是_.【答案】【解析】【分析】由圆心距离等于两圆半径之和求出所求圆的半径【详解】设所求圆半径为，则由题意，所以所求圆方程为：故答案为：

10、【点睛】本题考查求圆的标准方程，解题关键是掌握两圆外切的条件，由此求出圆半径14.倾斜角是，且过点的直线交圆于，两点，则直线的一般式方程_，_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由点斜式写出直线方程整理成一般式即可，求出圆心到直线的距离，由垂径定理求弦长【详解】由题意直线l的方程为：，即，圆标准方程为：，圆心为，半径为，圆心到直线l的距离为，故答案为：；【点睛】本题考查直线方程的一般式，考查直线与圆相交弦长问题求直线与圆相交弦长一种结合垂径定理计算15.正四棱锥中，则与平面所成角的正弦值为_.【答案】【解析】【分析】作AEPB，连接CE，则CEPB，于是有PB平面ACE，作交延长线

11、于，可得平面PBC，从而是直线PA与平面PBC所成的角在中计算出这个角的正弦值即可【详解】在正四棱锥中，取BC中点M，连接PM，则PMBC，作AEPB，连接CE，则CEPB，由得，由，得是钝角，作交延长线于，连接PH，由CEPB，AEPB，得PB平面ACE，平面ACE，PBAH，平面PBC，是直线PA与平面PBC所成的角ACE中，取AC中点O，连接EO，则EOAC，且，在中，故答案为：【点睛】本题考查求直线与平面所成的角，解题关键是作出直线与平面所成的角，就是所谓的一作二证三计算作图证明计算缺一不可16.给出下列命题：（1）直线与线段相交，其中，则的取值范围是；（2）点关于直线对称点为，则的坐

12、标为；（3）圆上恰有个点到直线的距离为；（4）直线与抛物线交于，两点，则以为直径的圆恰好与直线相切.其中正确的命题有_.（把所有正确的命题的序号都填上）【答案】（2）（3）（4）【解析】【分析】根据两直线相交，点关于直线对称，直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系对各个命题进行判断【详解】（1）由于直线与线段AB有公共点，因此k范围是，（1）错；（2）的中点坐标为，即中点在直线上，又，直线的斜率是2，相乘等于，与直线垂直，（2）正确；（3）圆心C到直线l的距离为1，圆半径为2，与直线l距离为1的两条直线一条与圆相交，一条与圆相切，因此圆上有个点到直线的距离为，（3）正确；（4）直线过抛物线

13、的焦点F(1,0)，直线是抛物线的准线，设，由抛物线定义得，的中点到直线的距离为，以为直径的圆恰好与直线相切.（4）正确故答案为：（2）（3）（4）【点睛】本题考查命题真假的判断，考查两直线相交，点关于直线对称，直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系等知识，在求直线与线段有公共点时，要研究斜率不存在的直线是否与线段有公共点，以确定直线斜率范围是两斜率之间，还是两斜率之外三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.命题：直线与圆相交，命题方程表示焦点在轴上的椭圆.（1）若命题为真，求的取值范围；（2）若命题为真，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解

14、析】【分析】（1）由圆心到直线的距离小于半径求得为真时m的范围（2）由方程表示焦点在x轴上椭圆求出m的范围，由p真且为真得结论【详解】解：（1）因为直线与圆相交，所以，解得，即的取值范围为.（2）椭圆焦点在轴上，所以为真，真假.或.所以的取值范围为.【点睛】本题考查由复合命题的真假求参数取值范围，掌握复合命题的真值表是解题关键pq真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真18.动点到的距离比到轴的距离大.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点作斜率为的直线交曲线于，两点，求的面积.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）题意转化为动点到的距离等于其到直线的距离，根据抛物线的定义可得轨迹方程，注

15、意点P也可能在x轴负半轴上.（2）写出直线l方程，设交点为，直线方程与抛物线方程联立消元可得x的二次方程，由韦达定理得,从而的，再由求出O到直线l的距离，由底乘高除以2得三角形面积【详解】解：（1）由题意可知动点到的距离等于其到直线的距离，由抛物线的定义可知动点的轨迹的方程为或.（2）设直线的方程为，设直线与曲线交于，联立方程得，.点到直线的距离.所以.【点睛】本题考查用抛物线定义求轨迹方程，考查抛物线的焦点弦的性质，在求轨迹方程时要注意点的轨迹不仅仅是抛物线，还含有一条射线，抛物线的焦点弦中，则.19.如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，且.（1）证明：平面平面；（2）若，求四棱锥的体积.

16、【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由及得，从而有平面，于是可得面面垂直（2）取的中点，连接，证明平面，同时说明底面是正方形，即可求体积【详解】（1）四边形是平行四边形，.又，即，平面，平面，从而平面.又平面，所以平面平面.（2）如图，取的中点，连接.，.又因为平面，平面，平面，四边形为正方形，又，平面，.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查求棱锥的体积证明面面垂直，一般要证线面垂直，而要证线面垂直，就是要证线线垂直，除了垂直以外，判定定理中还有其他条件也应满足才能得出结论20.已知直线恒过定点，过点引圆的两条切线，设切点分别为，.（1）求直线的一般式方程；（2）求四边形的外接

17、圆的标准方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直线方程整理成a的多项式，关于a恒成立，由恒等式知识可得定点坐标，过圆外一点的圆的切线有两条，先考虑斜率不存在的直线是否是切线，然后再求斜率存在的切线方程，本题中知道定点是P(3,1)，直线x=3是一条切线，可知一切点为A(3,0)，由可求得AB的斜率，从而得直线AB的方程不需求另一切点坐标（2）由切线性质知PC是四边形的外接圆的直径，外接圆方程易求【详解】（1）直线，直线恒过定点.由题意可知直线是其中一条切线，且切点为.，所以直线的方程为，即.（2），所以四边形的外接圆时以为直径的圆，的中点坐标为，所以四边形的外接圆为【点睛】本题考查求

18、直线与圆相切的切点弦所在直线方程，求圆的方程，求圆的方程方法就是确定圆心坐标和圆半径，写出圆标准方程求直线方程就是求出直线斜率和直线所过的点，即可写出直线方程，本题直线AB方程可以由四边形的外接圆方程与已知圆方程相减可得21.如图，已知三棱锥，平面平面，点，分别为、的中点，.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由中位线定理得，即可得线面平行；（2）建立解析中的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，由法向量的夹角求得二面角【详解】（1）因为点，分别为，的中点，所以.平面，平面，平面.（2），由勾股定理得.，故.又平面平面，且平面平面，故平面.以为坐标原点，垂直于，的直线为轴，为轴正方向，为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.则，.故，.显然平面的法向量.设平面的法向量，则令有故.，平面与平面所成角为.【点睛】本题考查证明线面平行，考查求二面角证明线面平行根据线面平行的判定定理证明即可，而求二面角可以建立空间直角坐标系，用向量法求解22.已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过右焦点作直线交椭圆于，两点，的周长为，点.（1）求椭圆的方程；（2）设直线、的斜率，请问是否为定值？若是定值，求出其定值；若不是，说明理由.【答案】（1）（2）是定值,且为【解析】【分析】（1）由的周长为，得到，即.再由离心率求得，从而可得