福建省莆田市莆田第七中学2020届高三数学上学期期中试题理【含解析】

1、福建省莆田市莆田第七中学2020届高三数学上学期期中试题 理（含解析）一、单选题（每小题5分）1.设，若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】对集合分成两种情况考虑，即和，分别求得的范围再取并集.【详解】当时，此时，所以；当时，因为，所以；综上所述：.故选B.【点睛】本题考查根据集合间的基本关系求参数的取值范围，求解过程中注意不等式的等号能否取到是成功解决问题的关键.2.已知函数f(x) 则f(1)f(3)等于()A. 7B. 2C. 7D. 27【答案】C【解析】【分析】根据函数解析式，分别求得、函数值，再作差就可以.【详解】依题意，所以，选C.【点睛】

2、本小题考查分段函数求值问题.对于定义域不同的区间上，函数表达式不同的分段函数，在求值时一定要代入对应的自变量的范围内求.属于基础题.3.函数的部分图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 因为， 所以函数是定义在上的偶函数，排除A、B项； 又，排除C， 综上，函数大致的图象应为D项，故选D.4.已知函数, 满足对任意的实数x1x2都有0成立，则实数a的取值范围为()A. (，2)B. C. (，2D. 【答案】B【解析】【详解】试题分析：由题意有,函数在上为减函数,所以有,解出,选B.考点：分段函数单调性.【易错点晴】本题主要考查分段函数的单调性,属于易错题. 从题目中对任意

3、的实数，都有成立，得出函数在上为减函数,减函数图象特征:从左向右看,图象逐渐下降,故在分界点处,有,解出. 本题容易出错的地方是容易漏掉分界点处的情况.5.定义在上的函数满足：，；存在实数，使得则下列选项正确的是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据抽象函数关系，确定为对数型函数，设，结合条件判断对数函数的单调性，利用函数的单调性进行求解即可【详解】解：在上满足：，；对数型函数，设，若在实数，使得即当时，即则函数为增函数，则，故选C【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，结合抽象函数关系，转化为对数型函数，结合对数函数的单调性是解决本题的关键6.在ABC中，且ABC的面积，则

4、边BC的长为（ ）A. B. 3C. D. 7【答案】C【解析】因为ABC中，且ABC的面积，即BC=.选C.7.已知实数，满足，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】令，得到关于的二元一次方程组，解这个方程组，求出关于的式子，利用不等式的性质，结合的取值范围，最后求出的取值范围.【详解】解：令，,则又，因此，故本题选B.【点睛】本题考查了利用不等式的性质，求不等式的取值范围问题，利用不等式同向可加性是解题的关键.8.函数与两条平行线，及轴围成的区域面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据定积分的几何意义直接求出在区间的定积分，即可得出

5、答案【详解】 故选B【点睛】本题考查定积分的几何意义，属于基础题9.ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c已知，a=2，c=，则C=A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可详解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，sinB+sinA（sinCcosC）=0，sinAcosC+cosAsinC+sinAsinCsinAcosC=0，cosAsinC+sinAsinC=0，sinC0，cosA=sinA，tanA=1，A，A= ，由正弦定理可得，a=2，c=，sinC= ，ac，C=，故选B点睛

6、：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.10.若正数满足，当取得最小值时，的值为（ ）A. B. 2C. D. 5【答案】B【解析】【分析】将方程变形 代入可得3x+4y=（3x+4y）（）=3，然后利用基本不等式即可求解【详解】x+3y=5xy，x0，y03x+4y=（3x

7、+4y）（）=3 当且仅当即x=2y=1时取等号,的值为2.故答案为B.【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.11.设函数是定义在上的函数，且对任意的实数，恒有，当时，.若在在上有且仅有三个零点，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，求得函数的奇偶性，对称性和周期性，作出函数的图象，把在上有且仅有三个零点，转化为函数和的图象在上有且仅有三个交点，结合图象列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，函数满足，所以函数是奇

8、函数，图象关于y轴对称，又由，则，即，可得，代入可得，所以函数的图象关于对称，且是周期为4的周期函数，又由当时，画出函数的图象，如图所示，因为在上有且仅有三个零点，即函数和的图象在上有且仅有三个交点，当时，则满足，解得；当时，则满足，解得；综上所述，可得实数的取值范围是，故选C.【点睛】本题主要考查了函数的零点的应用，其中解答中根据题意得出函数的基本性质，作出函数的图象，把问题转化为函数和的图象在上有且仅有三个交点，结合图象列出不等式组求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.12.已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D. 【答

9、案】A【解析】【分析】令，由可知在上单调递增，从而可得在上恒成立；通过分离变量可得，令，利用导数可求得，从而可得，解不等式求得结果.【详解】由且得：令，可知在上单调递增在上恒成立，即：令，则时，单调递减；时，单调递增 ，解得：本题正确选项：【点睛】本题考查根据函数的单调性求解参数范围的问题，关键是能够将已知关系式变形为符合单调性的形式，从而通过构造函数将问题转化为导数大于等于零恒成立的问题；解决恒成立问题常用的方法为分离变量，将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系比较的问题，属于常考题型.二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知集合，则_.【答案】【解析】【分析】求出A中函数的值域确定出

10、A，求出B中函数的定义域确定出B，找出A与B的交集即可【详解】由A中的函数y2x0，得到A（0，+）；Bx|ylg（3x）x|3x0x|x3，则AB（0，3）故答案为（0，3）【点睛】此题考查了交集及其运算，考查了集合的表示方法，注意描述法中代表元素的意义是解本题的关键14.已知实数满足，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解即可【详解】实数，满足，如图所示可行域，令结合图象，可看作原点到直线的距离的平方，根据点到直线的距离可得，故【点睛】本题考查线性规划的简单性质，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力15.已知函数，对于下列说法：要得到

11、的图象，只需将的图象向左平移个单位长度即可；的图象关于直线对称：在内的单调递减区间为；为奇函数.则上述说法正确的是_（填入所有正确说法的序号）.【答案】【解析】【分析】结合三角函数图象与性质对四个结论逐个分析即可得出答案.【详解】要得到的图象，应将的图象向左平移个单位长度，所以错误；令，解得，所以直线是的一条对称轴，故正确；令，解得，因为，所以在定义域内的单调递减区间为和，所以错误；是奇函数，所以该说法正确.【点睛】本题考查了正弦型函数的对称轴、单调性、奇偶性与平移变换，考查了学生对的图象与性质的掌握，属于中档题.16.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由，利用导

12、数再分情况讨论当，当，当时，当时函数的最小值，即可求得实数的取值范围.【详解】解：由，则，由函数在上单调递增，则在恒成立，设，当时，为增函数，要使，则只需，求得，由， 当时，即函数为减函数，即，要使，则只需，即，当时，有，即函数为增函数，要使，则只需，即，当时，有当时，当时，即函数在为减函数，在为增函数，即，要使，则只需，即，综上可得实数的取值范围是，故答案为.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，函数的最值，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属综合性较强的题型.三、解答题（共70分）17.设集合.（1）若求.（2），求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先求集合

13、和，再求；（2）首先解集合，若，再根据包含关系列不等式组，求的取值范围.【详解】解：（1）当m=5,(2)）令，无解）【点睛】本题考查集合的运算，以及根据集合的包含关系求参数的取值范围，一般含有参数的不等式可以采用分解因式求不等式的解集，根据集合的包含关系求参数时，1.不要忘了空集的情况，2,.一般需要借助数轴表示集合的包含关系.18.已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求在上单调递增区间.【答案】(1)；（2）递增区间为，【解析】【分析】（1）由三角恒等变换的公式，化简，再利用周期的公式，即可求解；（2）令，求得，又由由，即可求解函数的单调递增区间【详解】（1）由题意，函数所以的最小正周期

14、为（2）令，得，由，得在上单调递增区间为，【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及三角恒等变换的应用，其中解答中利用三角恒等变换的公式化简函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题19.已知函数求方程的实根；若对于任意，不等式恒成立，求实数m的最大值【答案】（1）x=0；（2）4【解析】【分析】(1)由题得,再解即得.(2)先化简得，再利用基本不等式求右边函数的最小值即得解.【详解】（1）(2)由条件知所以而.当且仅当f(x)=,即f(x)=2,x=0时取得最小值.所以,所以实数m的最大值为4.【点睛】(1)本题主要考查指数方程的解法，考查

15、不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2)处理参数问题常用的方法有分离参数和分类讨论.本题利用的是分离参数法.20.已知分别是的角所对的边，且（1）求角；（2）若，求的面积【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由余弦定理得值，再根据三角形内角范围求角；（2）由正弦定理将条件化为边的关系：，再根据余弦定理得，代人解得，由勾股定理得，最后根据直角三角形面积公式得的面积试题解析：解：（1）由余弦定理，得 ，又，所以（2）由，得，得，再由正弦定理得，所以又由余弦定理，得，由，得，得，得，联立，得，所以所以所以的面积21.已知函数（1）求的定义域；（2）判断的奇

16、偶性并给予证明；（3）求关于x的不等式的解集【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）根据题意，由函数的分析式分析可得，解可得x的取值范围，即可得答案；（2）根据题意，由函数的分析式分析可得，结合函数的奇偶性的定义分析可得结论；（3）根据题意，分与两种情况讨论，求出不等式的解集，综合即可得答案【详解】解：（1）根据题意，函数，则有，解可得，即函数的定义域为；（2）首先，定义域关于原点对称，函数，则则函数为奇函数，（3）根据题意，即，当时，有，解可得，此时不等式的解集为；当时，有，解可得，此时不等式的解集为；故当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为【点睛】本题考查

17、函数的奇偶性与单调性的判定以及性质，注意分析函数的定义域，属于基础题研究函数问题时，首先要确定函数的定义域，主要依据有：（1）分式的分母不为零；（2）偶次被开方式不小于零；（3）对数的真数大于零等.解决复杂的函数不等式问题时，可以把复杂的函数分解成熟悉的函数，再利用函数的单调性奇偶性等解决相关问题.22.已知函数（1）若，求的单调区间和极值点；（2）若在单调递增，求实数的取值范围.【答案】（1）单调减区间为，单调增区间为，极小值点为；（2）.【解析】【分析】（1）将代入函数的解析式，求出该函数的定义域和导数，然后解导数方程，并列表分析的符号和的增减性，可得出函数的单调区间与极值点；（2）求出函数的导数为，由