结构力学——力矩分配法1111

1、第七章,渐近法,力矩分配法,学习内容,转动刚度、分配系数、传递系数的概念及确定。,力矩分配法的概念，用力矩分配法计算连续梁和,无侧移刚架。,无剪力分配法的概念及计算。,利用对称性简化力矩分配法计算。,学习目的和要求,目的,：力矩分配法是计算连续梁和无侧移刚架的一种实,用计算方法。它不需要建立和求解基本方程，直接得到杆,端弯矩。运算简单，便于掌握。,要求,：熟练掌握力矩分配法的基本概念与连续梁和无侧,移刚架的计算。了解无剪力分配法的计算。,第一节,力矩分配法的基本概念,一、引言,对于超静定结构的内力计算，我们前面学习了两种基本的,方法,力法和位移法，二者的共同特点是都要建立和求解联立,方程组，当

2、未知量太多时，计算量也相应的增大，同时，在求,得未知量后，还需要利用杆端弯矩的叠加公式求得杆端弯矩，,整个计算求解过程较繁琐。,为了寻求计算超静定刚架更简捷的途径，自,20,世纪,30,年代,以来，又陆续出现了各种渐近法，如力矩分配法、无剪力分配,法、迭代法等。而这些方法的理论基础都是位移法，共同特点,是避免了组成和解算典型方程，而以逐次渐近的方法来计算杆,端弯矩，其结果的精度随计算轮次的增加而提高，最后收敛于,精确值。,二、力矩分配法的概念,1,、力矩分配法：主要用于连续梁和无结点线位移,(,侧移,),刚架的计算，其特点是不需要建立和求解联立方程组，,而在其计算简图上直接进行计算或列表计算，

3、就能直接,求得个杆端弯矩。,理论基础：位移法,力矩分配法,计算对象：杆端弯矩,计算方法：逐次逼近的方法,使用范围：连续梁和无结点线位移的刚架,2,、力矩分配法的正负号规定,力矩分配法的理论基础是位移法，故力矩分配法中对杆,端转角、杆端弯矩、固端弯矩的正负号规定与位移法相,同，即都假设对杆端顺时针旋转为正号。作用于结点的,外力偶荷载、作用于附加刚臂的约束反力矩，也假定为,对结点或附加刚臂顺时针旋转为正号,。,3,、力矩分配法的三要素,（用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架，需要先,解决三个问题：）,（,1,）计算单跨超静定梁的固端弯矩,固端弯矩：常用的三种基本结构的单跨超静定梁，,在支座移动和几种

4、常见的荷载作用下的杆端弯矩，可用力,法计算或在计算表中查得。,（,2,）计算结点各杆端的弯矩分配系数,（,3,）计算杆件由近端向远端传递的弯矩传递系数,C,4,、相关参数的概念,（,1,）转动刚度,S,：表示杆端对转动的抵抗能力，在,数值上等于杆端产生单位转角时所需要施加的力矩,。,S,AB,=4,i,1,A,S,AB,=3,i,1,A,B,EI,l,B,S,AB,=,i,1,A,B,S,AB,=0,1,A,B,远端固定，,S,AB,= 4,i,；远端铰支，,S,AB,= 3,i,远端滑动，,S,AB,=,i,；远端自由，,S,AB,= 0,说明：在,S,AB,中，,A,端是施力端，也称为近端

5、，,B,端称为远端,杆端转动刚度不仅与杆件的线刚度,i,有关，而且与远端,的支承情况有关。,（,2,）弯矩分配系数,和弯矩分配,r,11,?,4,i,AB,?,3,i,AC,?,i,AD,R,1,P,?,?,M,r,11,?,1,?,R,1,P,?,0,R,1,P,M,M,M,?,1,?,?,?,?,?,r,11,4,i,AB,?,3,i,AC,?,i,AD,S,AB,?,S,AC,?,S,AD,?,S,(,A,),M,AB,S,AB,M,?,4,i,AB,?,1,?,?,S,(,A,),M,AC,S,AC,M,?,3,i,AC,?,1,?,?,S,(,A,),M,AD,S,AD,M,?,i,

6、AD,?,1,?,?,S,(,A,),可以看出，刚结点,A,在外力偶荷载作用下，结点,A,上各杆在,A,端的弯矩与各杆的转动刚度成正比，由此我们进入分配系,数,?,?,Aj,S,Aj,?,S,(,A,),(,j,?,B,、,C,、,D,),定义：结点处，某杆的转动刚度与汇交于该结点的所有杆,件的转动刚度之和的比值。,特性：相交于一点的所有杆件的分配系数之和为,1,弯矩分配：,近端弯矩,=,分配系数结点弯矩,远端弯矩,=,近端弯矩传递系数,（,3,）弯矩传递系数和弯矩传递,传递系数,C,：表示当杆端发生转角时，杆件远端弯矩,与近端弯矩的比值。,当杆件的某一端发生转角时，在该端产生的弯矩称为,近端

7、弯矩，另一端产生的弯矩称为远端弯矩。,远端弯矩与近端弯矩的比值称为弯矩传递系数。,C,Aj,?,M,BA,?,2,i,AB,Z,1,M,BA,1,?,C,AB,?,M,AB,2,M,jA,M,Aj,C,待分配力矩,Z,1,M,A,A,Z,1,Z,1,D,M,CA,?,0,M,CA,?,C,AC,?,0,M,AC,M,DA,?,i,AD,Z,1,B,M,DA,?,C,AD,?,?,1,M,AD,M,AC,M,A,A,M,AD,远端固定,C,Aj,1,?,2,远端滑动,C,Aj,?,?,1,远端铰支,C,Aj,?,0,M,AB,在等截面杆件中，弯矩传递系数,C,随远端的支承情况,而不同。三种基本等

8、截面直杆的传递系数如下：,例题：,用力矩分配法求图示结构弯矩图。,固定状态,:,M,F,AB,q,?,12,kN/m,M,M,F,BA,1,2,?,ql,?,100 kN,?,m,12,A,ql,2,/1,2,EI,B,EI,C,?,?,100 kN,?,m,F,CB,10,m,10,m,F,BC,?,M,?,0,q,?,12,kN/m,ql,2,/1,2,R,B,P,?,?,100 kN,?,m,放松状态,:,不平衡力矩变号，再乘以,分配系数即为分配弯矩,R,B,P,B,C,A,R,A,B,M,BA,?,?,BA,(,?,R,B,P,),?,57.1,?,M,BC,?,?,BC,(,?,R,

9、B,P,),?,42.9,?,B,P,?,?,R,B,P,C,最终状态,:,杆端弯矩固端,弯矩,+,分配弯矩,+,传递力矩,M,AB,?,100,?,28.6,?,128.6,M,BA,?,?,100,?,57.1,?,?,42.9,q,?,12,kN,/,m,A,ql,2,/1,2,EI,B,EI,C,10,m,10,m,q,?,12,kN,/,m,ql,2,/1,2,R,B,P,?,?,100 kN,?,m,R,B,P,B,C,A,M,BC,?,0,?,42.9,?,42.9,M,CB,?,0,A,R,B,B,P,?,?,R,B,P,C,q,?,12,kN,/,m,通常采用列,表方式计算,

10、A,EI,B,EI,C,10,m,10,m,?,M,F,100,0,.,571,0,.,429,?,100,0,57.1,42.9,0,0,分,配,传,递,28.6,M,128.6,?,42,.,9,42,.,9,128,.,6,42,.,9,0,M,练习：,用力矩分配法求图示结构弯矩图。,40,kN,q,?,10,kN/m,A,4,m,EI,B,4,m,EI,C,6,m,?,M,F,分,配,传,递,M,例题：,用力矩分配法求图示结构弯矩图,(EI=,常数,),。,q,B,结点,2ql,l,C,A,l,l,/,2,l,/,2,1,杆端,1,C,B,A,B1,A1,1A,1B,1C,C1,1/2

11、,3/8,1/8,?,M,F,S,1,B,?,3,i,S,1,A,?,4,i,S,1,C,?,i,分配,传递,?,1,A,?,1,B,4,i,?,?,1,/,2,4,i,?,3,i,?,i,3,i,?,?,3,/,8,4,i,?,3,i,?,i,M,?,1,C,i,?,?,1,/,8,4,i,?,3,i,?,i,q,B,ql,2,/8,结点,1,ql,2,/4,2ql,C,杆端,1,C,B,A,B1,A1,1A,1B,1C,C1,1/2,3/8,1/8,1/4,-1/4,-1/8,0,3,32,11,32,ql,2,/4,A,3,ql,2,/64,?,M,F,0,0,0,0,3,?,64,?,

12、3,64,ql,2,/64,分配,传递,3,16,?,1,16,9,64,1,64,3,64,3,64,B,1,ql,2,/16,A,C,M,11,ql,2,/32,M,所得结果是,近似解吗,?,练习：,用力矩分配法求图示结构弯矩图。,40,kN,M,?,10,kN,?,m,A,4,m,EI,B,4,m,2,EI,C,R,B,P,?,?,40,?,10,?,?,50 kN,?,m,注,1,、力偶不引起固端弯矩,注,2,、杆端最终弯矩,M,?,M,?,?,M,?,?,M,F,6,m,?,M,F,?,C,分,配,传,递,M,注,3,、由于内力只与各杆相,对刚度有关，故可用,相对值计算（,EI,可取

13、,任意值）,练习：,用力矩分配法求图示结构弯矩图,(,利用传递系数的概念,),。,10,kN,A,EI,B,EI,C,6,m,8,m,60kN.m,M,30kN.m,例题：,用力矩分配法求图示结构弯矩图,(,利用传递系数的概念,),。,100,A,M,?,100,kN,?,m,EI,1,5,B,0,.,7,0,.,3,50,0,EI,C,6,m,8,m,?,M,100,F,M,0,分,配,传,递,?,35,?,15,0,15,?,15,15,15,M,100,第三节,多结点力矩分配法,用力矩分配法计算多结点的连续梁和无侧移刚架，,只需人为制造只有一个分配单元的情形。,方法：,先固定，然后逐个放

14、松。应用单结点的基,本运算，就可逐步渐近求出杆端弯矩。,第三节,多结点力矩分配法,经过一轮固定与放松，变形曲线与实际变形曲线已比较接,近，但还不是实际的变形，因为刚臂上还残存约束力矩，需要,再次进行一轮固定、放松过程。由于每次放松都是将一个约束,力矩分解（因为,?,1,，,C,1,），所以几个轮回约束力矩就会,小到可以忽略了。通过逐渐逼近的方式直接求出杆端力矩。,1 .,变形逐渐趋于真实变形；刚臂反力逐渐趋于零。,2 .,释放顺序是任意的，但通常先释放不平衡力矩较大的分,配单元（这样收敛快）,3 .,一般最终的杆端力矩与固端力矩是同量级的，要求精确,到三位有效数字，计算中取,4,位计算，以保证

15、前三位的,精确度,第三节,多结点力矩分配法,计算的指导思想由两个步骤说明：,固定状态的计算（与单点固定一样）。,即刚臂荷载固端力矩约束力矩；,放松状态的计算（与单点放松不同）。,力矩的分配和传递是在远端约束已知的情况下进行的，,因此，分配单元的相邻结点不应同时放松。每次只能,放松一个结点，同时相邻结点保持固定，所以，整个,放松过程是轮流放松每一个结点来逐步完成的。,第三节,多结点力矩分配法,计算过程详述,加入刚臂，锁住刚结点，将体系化成一组单跨超静定梁,（基本体系），计算各杆固端弯矩,M,F,，由结点力矩平,衡求刚臂内的约束力矩（称为结点的不平衡力矩），基,本体系与原结构的差别是：在受力上，结

16、点,1,、,2,上多了,不平衡力矩；在变形上结点,1,、,2,不能转动,.,为了取消结点,1,的刚臂，放松结点,1,（结点,2,仍锁住），,在结点,1,加上负的不平衡力矩，此时梁只有一个角位移，,并且受结点集中力偶作用，可按基本运算进行力矩分配,和传递。结点,1,处于暂时的平衡。此时,2,点的不平衡力矩,是原不平衡力矩加上,1,点传递来的传递力矩。,第三节,多结点力矩分配法,为了取消结点,2,的刚臂，放松结点,2,，在结点,2,加上新,的负不平衡力矩，为了只在,2,点产生一个角位移，结点,1,再锁住，按基本运算进行力矩分配和传递。结点,2,处,于暂时的平衡。,传递弯矩的到来，又打破了,1,点的

17、平衡，,1,点又有了新,的约束力矩,M,传，重复、两步，经多次循环后各结,点的约束力矩都趋于零，恢复到了原结构的受力状态和,变形状态。一般,2,3,个循环就可获得足够的精度。,(5),叠加：最后杆端弯矩：,M,=,M,F,+,M,分配,M,传递,例题：,用力矩分配法求图示结构弯矩图。,8 kN/m,A,EI=,1,6m,26,24,B,EI=,1,C,6m,80 kN,EI=,1,D,3m,3m,?,M,F,M,?,&,M,C,36,2.2,M,0.1,26.3,0.5,0.5,-24,19,24,-9,36,4.5,4.5,-0.6,0.3,0.3,-19.2,19.2,0.5,0.5,41

18、,-24,60,120,-18,-18,2.2,-1.1,-1.1,M,0.1,-40.8,40.9,-60,-9,70,-0.6,-69.6,例题：,用力矩分配法求图示结构弯矩图。,q,?,10,kN/m,2,.,5,m,3,.,5,m,?,1020,2,.,0,m,333,?,333,EI=const,4,.,8,m,?,M,M,?,?,f,0,.,513,0,.,487,?,781,1020,?,123,?,116,0,.,762,0,.,238,0,.,363,0,.,637,2880,?,58,?,972,?,1941,?,606,623,1 .,为避免小,数运算，可,先将固端弯,矩

19、扩大,100,倍；,对结果再缩,小,100,倍。,11.0,312,?,160,?,152,4.2,1094,21.2,2 .,不相邻,点可同时,释放,.,547,?,417,?,130,?,76,?,208,M,C,M,.,M,?,1095,1095,?,423,423,?,2118,2118,.,.,.,例题：,用力矩分配法求图示结构弯矩图,(,利用传递系数的概念,),。,A,1000,kN,?,M,F,B,3,B,是悬臂梁，,3,1,EI,2,EI,EI,转动结点,3,时，,10,m,10,m,10,m,1,m,悬臂可自由转,动，固其转动,0.43,0.57,0.5,0.5,1,0,10

20、00,刚度为零,1000,kN,EI,或,A,?,1000,kN,M,F,1,EI,2,EI,M,1000,3B,0.43,0.57,0.57,0.43,-500,-1000,例题：,有支座移动（已知结点线位移）,E,=200GPa,，,I,= 2500cm,4,绘制弯矩图。,A,EI,10m,B,EI,10m,C,?,=1cm,10m,0.571,0.429,3000,-1500,D,?,M,F,0.429,0.571,3000,N,m,?,M,F,M,?,&,M,C,0.429,0.571,3000,-1287,-1713,97,6,1,-184,105,-15,9,-2,1,1201,0.571 0.429,3000,-1500,-857,N,m,-367,-276,52,-30,5,-3,1801,-23,-2,-1801,M,C,-1201,N,m,kN,m,1.20,1.80,变形条件的校核：,M,ki,?,2,i,ik,?,ik,?,4,i,ik,?,ki,?,m,k