第四节直线、平面垂直的判定与性质

1、创,新,方,案,系,列,丛,书,新课标高考总复习数学,创,新,方,案,系,列,丛,书,新课标高考总复习数学,创,新,方,案,系,列,丛,书,考纲要求：,1.,能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理,解空间中线面垂直的有关性质和判定定理,2,能运用公理、,定理和已获得的结论证明一些有关空间图形,的位置关系的简单命题,新课标高考总复习数学,创,新,方,案,系,列,丛,书,1,直线与平面垂直,(1),直线和平面垂直的定义,如果一条直线,l,与平面,内的,任意,直线都垂直，就说直线,l,与平面,互相垂直,新课标高考总复习数学,创,新,方,案,系,列,丛,书,(2),判定定理与性质定理,文字

2、语言,如果一条直线与,一个平面内的,判定定理,两条相交直线,都垂直，则该直,线与此平面垂直,图形语言,符号语言,a,、,b,?,?,?,a,b,O,?,?,l,a,?,?,l,b,?,?,l,新课标高考总复习数学,创,新,方,案,系,列,丛,书,文字语言,垂直于同一个平,性质定理,面的两条直线,平行,图形语言,符号语言,a,?,?,?,?,a,b,b,?,?,新课标高考总复习数学,创,新,方,案,系,列,丛,书,2.,平面与平面垂直,(1),平面与平面垂直的定义,直二面角,两个平面相交，如果它们所成的二面角是,，就说这,两个平面互相垂直,新课标高考总复习数学,创,新,方,案,系,列,丛,书,(

3、2),判定定理和性质定理,文字语言,一个平面过另一个,判定定理,平面的一条,垂直,，则这两个,平面互相垂直,图形语言,符号语言,l,?,?,?,?,?,l,?,?,新课标高考总复习数学,创,新,方,案,系,列,丛,书,文字语言,两个平面互相垂,直，则一个平面,性质定理,内垂直于,交线,的直线与另一个,平面垂直,图形语言,符号语言,?,?,?,l,?,?,a,?,?,l,a,?,?,l,新课标高考总复习数学,创,新,方,案,系,列,丛,书,自我查验,1,判断下列结论的正误,(,正确的打“”，,错误的打“”,),(1),已知直线,a,，,b,，,c,：若,a,b,，,b,c,，则,a,c,.(,)

4、,(2),直线,l,与平面,内无数条直线都垂直，则,l,.(,),(3),设,m,，,n,是两条不同的直线，,，,是两个不同的平面，若,m,n,，,m,，则,n,.(,),新课标高考总复习数学,创,新,方,案,系,列,丛,书,(4),设,l,为直线，,，,是两个不同的平面，若,，,l,，则,l,.(,),(5),若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于,另一个平面,(,),(6),若平面,内的一条直线垂直于平面,内的无数条直线，则,.(,),答案：,(1),(2),(3),(4),(5),(6),新课标高考总复习数学,创,新,方,案,系,列,丛,书,2,如图,P,为,ABC,所在平面

5、外一点,PA,PB,，,PB,PC,，,PC,PA,，,PH,平面,ABC,于,H,，则,H,是,ABC,的,_,心,答案：,垂,新课标高考总复习数学,创,新,方,案,系,列,丛,书,3.,如图，,PA,O,所在平面，,AB,是,O,的直径，,C,是,O,上,一点，,AE,PC,，,AF,PB,，给出下列结论：,AE,BC,；,EF,PB,；,AF,BC,；,AE,平面,PBC,，,其中真命题的序号是,_,新课标高考总复习数学,创,新,方,案,系,列,丛,书,解析：,AE,?,平面,PAC,，,BC,AC,，,BC,PA,?,AE,BC,，,故正确；,AE,PC,，,AE,BC,，,PB,?,

6、平面,PBC,?,AE,PB,，,AF,PB,，,EF,?,平面,AEF,?,EF,PB,，故正确；,AF,PB,，,若,AF,BC,?,AF,平面,PBC,，,则,AF,AE,与已知矛盾，,故错误；由可知正确,答案：,新课标高考总复习数学,创,新,方,案,系,列,丛,书,4,PD,垂直于正方形,ABCD,所在的平面，,连接,PB,，,PC,，,PA,，,AC,，,BD,，则一定互相垂直的平面有,_,对,解析：,由于,PD,平面,ABCD,，故平面,PAD,平面,ABCD,，,平面,PDB,平面,ABCD,，平面,PDC,平面,ABCD,，平面,PDA,平面,PDC,，平面,PAC,平面,PD

7、B,，平面,PAB,平面,PAD,平面,PBC,平面,PDC,，共,7,对,答案：,7,新课标高考总复习数学,创,新,方,案,系,列,丛,书,典题,1,如图所示，在四棱锥,P,-,ABCD,中，,PA,底面,ABCD,，,AB,AD,，,AC,CD,，,ABC,60,，,PA,AB,BC,，,E,是,PC,的中点证明：,(1),CD,AE,；,(2),PD,平面,ABE,.,新课标高考总复习数学,创,新,方,案,系,列,丛,书,听前试做,(1),在四棱锥,P,-,ABCD,中，,PA,底面,ABCD,，,CD,?,平面,ABCD,，,PA,CD,.,AC,CD,，,PA,AC,A,，,CD,平

8、面,PAC,.,而,AE,?,平面,PAC,，,CD,AE,.,新课标高考总复习数学,创,新,方,案,系,列,丛,书,(2),由,PA,AB,BC,，,ABC,60,，可得,AC,PA,.,E,是,PC,的中点，,AE,PC,.,由,(1),知,AE,CD,，且,PC,CD,C,，,AE,平面,PCD,.,而,PD,?,平面,PCD,，,AE,PD,.,PA,底面,ABCD,，,PA,AB,.,又,AB,AD,且,PA,AD,A,，,AB,平面,PAD,，而,PD,?,平面,PAD,，,AB,PD,.,又,AB,AE,A,，,PD,平面,ABE,.,新课标高考总复习数学,创,新,方,案,系,列

9、,丛,书,(1),证明直线和平面垂直的常用方法：判定定理；垂直,于平面的传递性,(,a,b,，,a,?,b,),；面面平行的性质,(,a,，,?,a,),；面面垂直的性质,(2),证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则,需借助线面垂直的性质,因此，,判定定理与性质定理的合理转化,是证明线面垂直的基本思想,(3),线面垂直的性质，常用来证明线线垂直,新课标高考总复习数学,创,新,方,案,系,列,丛,书,(2016,深圳模拟,),如图，,在四棱锥,P,-,ABCD,中，,底面,ABCD,为菱形，,PB,平面,ABCD,.,(1),若,AC,6,，,BD,8,，,PB,3,，求三棱锥,A,

10、-,PBC,的体积；,(2),若点,E,是,DP,的中点，证明：,BD,平面,ACE,.,新课标高考总复习数学,创,新,方,案,系,列,丛,书,解：,(1),四边形,ABCD,为菱形，,BD,与,AC,相互垂直平分，,1,底面,ABCD,的面积,S,菱形,ABCD,6,8,24,，,2,1,S,ABC,S,菱形,ABCD,12.,2,又,PB,平面,ABCD,，且,PB,3,，,1,三棱锥,A,-,PBC,的体积,V,A,-,PBC,V,P,-,ABC,PB,S,ABC,12.,3,新课标高考总复习数学,创,新,方,案,系,列,丛,书,(2),如图，设,BD,与,AC,相交于点,O,，连接,O

11、E,，,O,为,BD,的中点，,E,是,DP,的中点，,OE,PB,.,又,PB,平面,ABCD,，,OE,平面,ABCD,.,BD,?,平面,ABCD,，,OE,BD,，,由,(1),知,AC,BD,，,又,AC,OE,O,，,BD,平面,ACE,.,新课标高考总复习数学,创,新,方,案,系,列,丛,书,ABCD,中，,AB,AC,，,AB,PA,，,AB,典题,2,如图，四棱锥,P,-,CD,，,AB,2,CD,，,E,，,F,，,G,，,M,，,N,分别为,PB,，,AB,，,BC,，,PD,，,PC,的,中点求证：,(1),CE,平面,PAD,；,(2),平面,EFG,平面,EMN,.

12、,新课标高考总复习数学,创,新,方,案,系,列,丛,书,听前试做,(1),法一：,取,PA,的中点,H,，连接,EH,，,DH,.,1,因为,E,为,PB,的中点，所以,EH,AB,，,EH,AB,.,2,1,又,AB,CD,，,CD,AB,，所以,EH,CD,，,EH,CD,，,2,因此四边形,DCEH,是平行四边形所以,CE,DH,.,又,DH,?,平面,PAD,，,CE,?,平面,PAD,，所以,CE,平面,PAD,.,新课标高考总复习数学,创,新,方,案,系,列,丛,书,法二：,连接,CF,.,1,因为,F,为,AB,的中点，所以,AF,AB,.,2,1,又,CD,AB,，所以,AF,

13、CD,.,2,又,AF,CD,，所以四边形,AFCD,为平行四边形,因此,CF,AD,.,新课标高考总复习数学,创,新,方,案,系,列,丛,书,又,CF,?,平面,PAD,，,AD,?,平面,PAD,，,所以,CF,平面,PAD,.,因为,E,，,F,分别为,PB,，,AB,的中点，,所以,EF,PA,.,又,EF,?,平面,PAD,，,PA,?,平面,PAD,，,所以,EF,平面,PAD,.,因为,CF,EF,F,，,故平面,CEF,平面,PAD,.,又,CE,?,平面,CEF,，,所以,CE,平面,PAD,.,新课标高考总复习数学,创,新,方,案,系,列,丛,书,(2),因为,E,，,F,

14、分别为,PB,，,AB,的中点，所以,EF,PA,.,又,AB,PA,，所以,AB,EF,.,同理可证,AB,FG,.,又,EF,FG,F,，,EF,?,平面,EFG,，,FG,?,平面,EFG,，,因此,AB,平面,EFG,.,又,M,，,N,分别为,PD,，,PC,的中点，所以,MN,CD,.,又,AB,CD,，所以,MN,AB,，所以,MN,平面,EFG,.,又,MN,?,平面,EMN,，,所以平面,EFG,平面,EMN,.,新课标高考总复习数学,创,新,方,案,系,列,丛,书,探究,1,在本例条件下，证明：平面,EMN,平面,PAC,.,证明：,因为,AB,PA,，,AB,AC,，且,

15、PA,AC,A,，,所以,AB,平面,PAC,.,又,MN,CD,，,CD,AB,，,所以,MN,AB,，,所以,MN,平面,PAC,.,又,MN,?,平面,EMN,，,所以平面,EMN,平面,PAC,.,新课标高考总复习数学,创,新,方,案,系,列,丛,书,探究,2,在本例条件下，证明：平面,EFG,平面,PAC,.,证明：,因为,E,，,F,，,G,分别为,PB,，,AB,，,BC,的中点，,所以,EF,PA,，,FG,AC,，,又,EF,?,平面,PAC,，,PA,?,平面,PAC,，,所以,EF,平面,PAC,.,同理，,FG,平面,PAC,.,又,EF,FG,F,，,所以平面,EFG

16、,平面,PAC,.,新课标高考总复习数学,创,新,方,案,系,列,丛,书,(1),判定面面垂直的方法：,面面垂直的定义；,面面垂直的判定定理,(,a,，,a,?,?,),(2),在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化,在一个平面内作交线的垂线，,转化为线面垂直，,然后进一步,转化为线线垂直,新课标高考总复习数学,创,新,方,案,系,列,丛,书,(2015,北京高考,),如图，,在三棱锥,V,-,ABC,中，,平面,VAB,平面,ABC,，,VAB,为等边三角形，,AC,BC,且,AC,BC,2,，,O,，,M,分别为,AB,，,VA,的中点,(1),求证：,VB,平面,MOC,；,(2),

17、求证：平面,MOC,平面,VAB,；,(3),求三棱锥,V,-,ABC,的体积,新课标高考总复习数学,创,新,方,案,系,列,丛,书,解：,(1),证明：因为,O,，,M,分别为,AB,，,VA,的中点，,所以,OM,VB,.,又因为,VB,?,平面,MOC,，,OM,?,平面,MOC,，,所以,VB,平面,MOC,.,(2),证明：因为,AC,BC,，,O,为,AB,的中点，,所以,OC,AB,.,又因为平面,VAB,平面,ABC,，且,OC,?,平面,ABC,，,所以,OC,平面,VAB,.,又,OC,?,平面,MOC,，,所以平面,MOC,平面,VAB,.,新课标高考总复习数学,创,新,

18、方,案,系,列,丛,书,(3),在等腰直角三角形,ACB,中，,AC,BC,2,，,所以,AB,2,，,OC,1.,所以等边三角形,VAB,的面积,S,VAB,3.,又因为,OC,平面,VAB,，,1,3,所以三棱锥,C,-,VAB,的体积等于,OC,S,VAB,.,3,3,又因为三棱锥,V,-,ABC,的体积与三棱锥,C,-,VAB,的体积相等，,3,所以三棱锥,V,-,ABC,的体积为,.,3,新课标高考总复习数学,创,新,方,案,系,列,丛,书,典题,3,如图，在三棱台,ABC,-,DEF,中，,CF,平面,DEF,，,AB,BC,.,(1),设平面,ACE,平面,DEF,a,，求证：,

19、DF,a,；,(2),若,EF,CF,2,BC,，,试问在线段,BE,上是否存在点,G,，,使得平面,DFG,平面,CDE,？若存在，,请确定,G,点的位置；,若不存在，,请说明理,由,新课标高考总复习数学,创,新,方,案,系,列,丛,书,听前试做,(1),证明：,在三棱台,ABC,-,DEF,中，,AC,DF,，,AC,?,平面,ACE,，,DF,?,平面,ACE,，,DF,平面,ACE,.,又,DF,?,平面,DEF,，平面,ACE,平面,DEF,a,，,DF,a,.,1,(2),线段,BE,上存在点,G,，且,BG,BE,，使得平面,DFG,平面,3,CDE,.,证明如下：,取,CE,的

20、中点,O,，,连接,FO,并延长交,BE,于点,G,，,连接,GD,，,CF,EF,，,GF,CE,.,新课标高考总复习数学,创,新,方,案,系,列,丛,书,在三棱台,ABC,-,DEF,中，,AB,BC,?,DE,EF,.,由,CF,平面,DEF,?,CF,DE,.,又,CF,EF,F,，,DE,平面,CBEF,，,DE,GF,.,GF,CE,?,?,GF,DE,?,?,GF,平面,CDE,.,CE,DE,E,?,?,新课标高考总复习数学,创,新,方,案,系,列,丛,书,又,GF,?,平面,DFG,，,平面,DFG,平面,CDE,.,此时，如平面图所示，,O,为,CE,的中点，,EF,CF,

21、2,BC,，,由平面几何知识易证,HOC,FOE,，,1,HB,BC,EF,.,2,BG,1,1,由,HGB,FGE,可知,GE,，即,BG,BE,.,2,3,新课标高考总复习数学,创,新,方,案,系,列,丛,书,同,“,平行关系中的探索性问题,”,的规律方法一样，,一般是先,探求点的位置，,多为线段的中点或某个三等分点，,然后给出符合,要求的证明,新课标高考总复习数学,创,新,方,案,系,列,丛,书,(2016,郑州模拟,),如图，,已知三棱柱,ABC,-,A,B,C,的侧棱垂直于,底面，,AB,AC,，,BAC,90,，点,M,，,N,分别为,A,B,和,B,C,的中,点,(1),证明：,

22、MN,平面,AA,C,C,；,(2),设,AB,AA,，当,为何值时，,CN,平面,A,MN,，试证明你,的结论,新课标高考总复习数学,创,新,方,案,系,列,丛,书,解：,(1),证明：如图，取,A,B,的中点,E,，连接,ME,，,NE,.,因为,M,，,N,分别为,A,B,和,B,C,的中点，,所以,NE,A,C,，,ME,AA,.,又,A,C,?,平面,AA,C,C,，,A,A,?,平面,AA,C,C,，,所以,ME,平面,AA,C,C,，,NE,平面,AA,C,C,，,所以平面,MNE,平面,AA,C,C,，,因为,MN,?,平面,MNE,，所以,MN,平面,AA,C,C,.,新课标高考总复习数学,创,新,方,案,系,列,丛,书,(2),连接,BN,，设,AA,a,，则,AB,AA,a,，,由题意知,BC,2,a,，,CN,BN,1,2,2,a,a,，,2,2,因为三棱柱,ABC,-,A,B,C,的侧棱垂直于底面，,所以平面,A,B,C,平面,BB,C,C,，,因为,AB,AC,，点,N,是,B,C,的中点，,所以,A,N,平面,BB,C,C,，所以,CN,A,N,，,新课标高考总复习数学,创,新,方,案,系,列,丛,书,要使,CN,平面,A,MN,，只需,CN,BN,即可，,所以,CN,